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1、第四节 无穷小与无穷大,本节概要,无穷小是微积分中非常重要的概念，这是因为无穷小与函数极限有着密切关系，并在函数极限的讨论中起着重要作用。从某种意义上讲，微积分也可称作无穷小分析。无穷大概念由于其和无穷小概念有着密 切联系，因而也在微积分讨论中起着重要作用。,(1)无穷小的概念,无穷小对应于函数极限为零的情形，但这一特殊极限却可用来表达一般的极限过程，且极限的概念、运算规则及分析证明常常都可归结为无穷小的讨论。它在微积的讨论中有着特殊重要作用。无穷小概念与自变量的一定变化趋势相对应，以下就两种主要的情形给出无穷小的定义。,(2)无穷小的定义,如果 x x 0 时，函数(x)的极限为 0，那么(
2、x)叫做 x x 0 时的无穷小。如果 x 时，函数(x)的极限为 0，那么(x)叫做 x 时的无穷小。如果 n 时，数列 x n 的极限为0，那么 x n 叫做 n 时的无穷小。,(3)无穷小举例,因为，故函数 f(x)=sin x 是 x 0 时的无穷小。因为，故函数 f(x)=a-x 是 x+时的无穷小。因为当|q|1 时，故数列 q n(|q|1)是 n 时的无穷小。因为 l i m 0=0，故常数 0 是无穷小。,例：根据定义证明：当 x 3 时，是无穷小。按定义证明当 x 3 时，给定函数是无穷小，就是对任意给定的正数，要设法说明存在正数，使得当 0|x-3|时有 要说明这样的 存
3、在，最直接的办法就是将 找出来。为确定 的值，关键是导出关系式,因为故对任意给定的正数，要使 取=，则当 0|x-3|时有由无穷小的定义：当 x 3 时，是无穷小。,无穷小的重要性在于它与函数极限有着密切关系，这种关系对函数极限的讨论具有重要意义。同时，无穷小又具有简单的运算性质，利用这些性质可方便地讨论函数极限的运算性质。在自变量的某个变化过程中，函数 f(x)有极限 A的充分必要条件是 f(x)=A+(x)，其中(x)是同一变化过程中的无穷小。,(1)无穷小与函数极限的关系,就 x x 0 的情形证明。设，要证 f(x)=A+(x)，其中 因为，故对 0，存在 0，使得 当 0|x-x 0
4、|时，|f(x)-A|.令：(x)=|f(x)-A|，则由极限定义有且有 f(x)=A+(x).,必要性,充分性,设 f(x)=A+(x)，要证 由条件有|f(x)-A|=|(x)|.因为 故由无穷小的定义知：对 0，存在 0，使得当 0|x-x 0|时有|f(x)-A|=|(x)|.由极限定义知,(2)无穷小的代数运算性质,以三个无穷小的情形为例，定理可叙述为：在自变量的某个变化过程中，若 lim(x)=0，lim(x)=0，lim(x)=0，则 lim(x)(x)(x)=0.此处的无穷小之和实际是代数和，按归纳法原理，为证有限个无穷小的代数和仍是无穷小，只需证明两个无穷小的代数和是无穷小。
5、为体会证明方法，考虑以三个无穷小的情形证明。,证明 x x 0 时的情形。设 由极限定义，对 0，存在 1,2,3 0，使得 当 0|x-x 0|1 时，|(x)|/3；当 0|x-x 0|2 时，|(x)|/3；当 0|x-x 0|3 时，|(x)|/3.取=Min 1,2,3，则当 0|x-x 0|时有|(x)(x)(x)|(x)|+|(x)|+|(x)|/3+/3+/3=.由极限定义有,按归纳法原理，由两个无穷小的和是无穷小就可推广到有限个无穷小的和也是无穷小，但不能推广到无穷的情形，即无穷多个无穷小的和未必是无穷小。反例：设，则对每个 k 有 记：，则有故无穷多个无穷小的和未必是无穷小
6、。,函数的有界性概念是对数集而言的，对给定函数，按所对应的数集的不同有相应不同的有界性意义，因而对于给定无穷小的不同形式，定理意义也相应不同。若(x)当 x x 0 时为无穷小，u(x)在 x=x 0 的邻域内有界，则 u(x)(x)当 x x 0 时为无穷小。若(x)当 x 时为无穷小，u(x)当|x|大于某正数 X 时有界，则 u(x)(x)当 x 时为无穷小。,x x 0 时的情形,x 时的情形,函数在区间(a,b)内有界,函数在点 x 0 邻域内有界,函数当 x 的时有界,若(x)当 x x 0 时为无穷小，u(x)在 x=x 0 的邻域内有界，则 u(x)(x)当 x x 0 时为无
7、穷小。,设 u(x)在 x=x 0 的某邻域内有界，要证 因为 u(x)在 x 0 的某邻域内有界，由相应有界性定义，存在 M、1 0，使得当 0 0，存在 2 0，使得当 0|x-x 0|2 时，取=Min 1,2，则当 0|x-x 0|时有即有,若(x)当 x 时为无穷小，u(x)当|x|大于某正数X 时有界，则 u(x)(x)当 x 时为无穷小。,例：证明函数 是 x 0 时的无穷小。因为 函数 在点 x 0=0 的邻域内有界。由为无穷小性质知，函数 当 x 0 时为无穷小。,例：证明函数 是 x 时的无穷小。因为 u(x)=arctan x 2即 u(x)=arctan x 有界。由为
8、无穷小性质知，函数 当 x 时为无穷小。,由于常数是自变量任意趋向下的有界函数，因此常数与无穷小的乘积是对应于该无穷小的自变量趋向下的无穷小。由于无穷小总是自变量一定趋向下的有界函数，因此两个无穷小的乘积是无穷小。由归纳法原理，有限个无穷小的乘积也是无穷小。需注意的是，推论 2 只能推广到有限个无穷小的情形，即无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小。,例：两个无穷小的商是否一定是无穷小？试举例说明。两个无穷小的商就是在自变量的同一趋向下的两个无穷小之比。由无穷小的性质知，常数与无穷小的乘积是无穷小。因此，只要两个无穷小成比例，且比值不为零，即 lim(x)=0，lim(x)=0，(x)/(x)=k，
9、则两个无穷小的商就不会是无穷小。由此可推断，两个无穷小的商不一定是无穷小。,例：考虑极限 因为由此可以推断应有 并考虑用定义证之。对任意给定的正数，要使只需取=，则当 0|x-3|时有由极限的定义知,(1)无穷大的概念,函数只有当极限存在时讨论其极限才有意义，因此人们通常关注的是函数极限存在的情形。然而，有一类极限不存在的情形也受到人们的特别关注，这就是函数趋于无穷的情形。在此情形下，函数极限虽不存在，但却具有和存在极限时类似的性质。此外，这种函数值趋于无穷的变化趋势还和无穷小有着密切的联系。,(2)无穷大的定义,设函数 f(x)在点 x 0 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 M
10、(无论它多么大)，总存在正数，使得对于适合不等式 0 M，那么就称函数 f(x)当 x x 0 时为无穷大，记作：,x x 0 时的无穷大,设函数 f(x)在|x|大于某正数时有定义，如果对任意给定的正数 M(无论它多么大)，总存在正数 X，使得对于适合不等式|x|X 的一切 x，对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)|M，那么就称函数 f(x)当 x 时为无穷大，记作：,x 时的无穷大,例：根据定义证明：当 x 0 时，是无穷大。又问，x 只要满足什么条件，就能使 y 10 4？按定义证明当 x 0 时，给定函数是无穷大，就是对任意给定的正数 M，要设法说明存在正数，使得当 0|x-0
11、|=|x|时有 要说明这样的 存在，最直接的办法就是将 找出来。由于式子 是随 x 的变化而变化的，故可考虑从所证式子 出发确定.,因为故对任意给定的正数 M，要使，则当 0|x-0|时有由无穷大的定义：当 x 0 时，是无穷大。,证给定函数当 x 0 时为无穷大,对 M=10 4 求相应 的值,由上讨论，对给定的正数 M=10 4，取则当 时有,C.P.U.Math.Dept.杨访,无穷大与无界函数都对应于函数 y=f(x)的函数值变化可无限增大的情形，但二者在概念上却是不同的。为弄清这两个概念的区别与联系，将 x x 0 时的无穷大量与在点 x 0 的邻域内的无界函数的定义重述如下：对 M
12、 0，存在 0，使得对满足 x U(x 0,)的一切 x 有|f(x)|M.对 M 0 及 0，总存在一个 x*U(x 0,)使得|f(x*)|M.,无穷大与无界函数的区别和联系,x x 0 时的无穷大,点 x 0 的邻域的无界函数,x x 0 时 f(x)为无穷大,U(x 0,)内g(x)为无穷大,无穷大量必为无界函数，而无界函数未必是无穷大.数列 x n 为无穷大 x n 的任何子列 x n k 都以 为极限。数列 x n 无界 x n 存在趋于无穷的子列 x n k.,例：证明数列 x n=n(-1)n 无界，但不是无穷大量。为论证本例的两个命题首先应理解数列无界与数列趋于无穷的区别。所
13、谓数列 x n 无界就是对任意的 Mi 0，一定存在该数列中的某一项 x i，使得 x i Mi.显然，这一点是不难说明的。因此，关键的问题是说明该数列不是无穷大，即当n 时，不会有 x n.要说明不会有 x n，就是要说明随着n 的不断增大，该数列的某些项 x j 始终不会变得“很大”。由上分析，要证明本例的两个命题，只需设法找出其一个趋于无穷的子数列和一个趋于有限值的子数列。,取给定数列 x n=n(-1)n 的偶数项构成子数列 x 2k=(2k)(-1)2k=2k.易看出，当 k 时，x 2k=2k，故原数列 x n=n(-1)n 无界。再取给定数列的奇数项构成子数列 x 2k-1=(2
14、k-1)(-1)2k-1=1/(2k-1).易看出，当 k 时，x 2k-1=1/(2k-1)0，故原数列 x n=n(-1)n 不可能是无穷大。,无穷大是极限不存在的特殊形式,记号 并不表示当 x 时，f(x)的极限存在，而是极限不存在的一种特殊形式。之所以采用这种记法，其原因是无穷大量虽不能趋于一个确定的数,但却有确定的变化趋势，此时它具有和函数极限存在的情形相类似的性质。从几何上看，若，则当 x x 0 时，函数 y=f(x)图形向直线 x=x 0 不断靠近，故此时称直线x=x 0 称为函数 y=f(x)的图形的一条铅直渐近线。,x x 0 时无穷大量的几何特征 铅直渐近线,铅直渐近线
15、x=x 0,无穷大的重要性除了它是一种极限不存在的特殊形式外，还在于它与无穷小有着密切的联系，这种联系对函数极限的讨论和计算有重要作用。在自变量的同一变化过程中，如果 f(x)为无穷大,则 为无穷小；反之，如果 f(x)为无穷小，且 f(x)0，则为无穷大。,证明 x x 0 时的情形。设 要证 当 x x 0 时为无穷小。对 0，由无穷大定义，对 存在 0，使得当 0|x-x 0|时有所以 当 x x 0 时为无穷小。,无穷大的倒数为无穷小,非零无穷小的倒数为无穷大,设 且 f(x)0，要证 当 x x 0 时为无穷大。对 M 0，由无穷小定义，对 存在 0,使得当 0|x-x 0|时有所以 当 x x 0 时为无穷大。,定理2可简单地理解为，在自变量的同一趋向下，无穷大和无穷小互为倒数关系，即 但在此关系中需注意条件 f(x)0 的意义。条件 f(x)0 的意义为：在上述无穷大和无穷小的关系中必需排除两类无穷小，即在自变量的一定趋向下恒为零的常数无穷小 f(x)0 和在趋于的过程中总有零点的无穷小 f(x).,
