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1、图片欣赏,为了纪念法国数学家Gston Julia发现了在数论中有名的julia序列,在学习微积分,函数的导数时,我们知道:存在处处不可微的连续函数.但它的图形会是什么样子?,分形介绍,An introduction to Fractals,20世纪有四项发明、发现足以影响后世：相对论、量子论、分形、混沌；其中，前两项属于物理，后两项属于数学。美国物理学家约翰惠勒（J.A.Wheeler）说：“在过去，一个人如果不懂得熵，就不能说是科学上有教养；在将来，一个人如果不熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。”,分形艺术作品欣赏,数学家的模式，就像画家与诗人的一样，必须是美的，数学概念同油彩或语
2、言文字一样，必须非常协调。美是第一性的，丑陋的数学在数学上不会有永久的位置。G.H.哈代 下面请大家欣赏一组神奇美丽的分形图，感悟数学美,美丽的四季,春 夏,美丽的四季（秋，冬）,雨季的丁香,傍晚,蝴蝶之树,炫目的分形艺术作品,分形入门,在一个充满新奇的几何学世界.，我们碰到的将不再是欧几里得几何学的直线、圆、长方体等简单规则的图形，而是海岸线、云彩、花草树木等复杂的自然形体，它们被称为分形（fractal）.这些形体，传统的欧氏几何图形已无法对它们进行恰当的模拟，遗憾地留下了一道道各学科的难题.,分形几何学另辟蹊径，用新的观念，从新的角度，为解决这些难题提出了新的思路和方法，在许多领域获得了
3、意想不到的成功.分形成为当代科学最有影响和感召力的基本概念之一，分形几何学成为探索复杂性的有效工具.,引 言,美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于本世纪70年代中期开创了分形几何（fractalgeometry。分形几何中的主要角色都是由传统数学中的“病态”结构或数学“怪物”所扮演的：三分康托（G.Cantor）集、维尔斯特拉斯（K.Weierstrass）函数、科 赫（Koch）雪花曲线、皮亚诺（G.Peano）填充空间的曲线等等。曼德尔布罗特把它们放在分形几何中统一处理，使人们看到了过去那些被认为是“病态”的“怪物”展现出新的规则和奇妙无比的美。,另一方面，使科学家
4、们惊讶并欢迎的是，分形几何为研究自然界中形形色色的复杂形状和结构提供了十分简洁的工具，因而在天文、地学、物理、化学、生物、医学、材料乃至语言学、经济学等领域得到了十分广泛的应用。从80年代中期开始，分形“热”了，成了科学界叫得最响的名词，吸引了几乎所有领域科学家和社会工作者的注意。有关分形出版了上百部专著，在国际期刊上发表了几千篇专业论文,复杂的大自然与欧氏几何的局限性,人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界丰富 多彩的现象。传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规
5、则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。,英格兰的海岸线到底有多长？,美国数学家B，Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战，此外，在湍流的研究、自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学分形几何学。,分 形 世 界,分形是以无穷多的形
6、状呈现出来的美妙物体。欧内斯托切萨罗（意大利科学家，18591906）写过这样一段关于几何分形即科克雪花曲线的话,分形的本质,这个曲线最使我注意的地方是任何部分都与整体相似。要想尽可能完全地想像它，必须意识到这个结构中的每一个小三角形包含着以一个适当比例缩小的整体形状。这个形状包含每一小三角形的缩小形式，后者又包含缩得更小的整体形状，如此下去以至无穷。就是这个在它所有无论怎样小的部分都能保持的自相似性质，使这曲线看上去如此奇妙。要是它在现实中出现，那就必须把它完全除去才能摧毁它，因为否则的话，它将会从它的三角形的深处重新不停地生长起来，就像宇宙本身的生命一样。,什么是分形?,在数学上说，分形是
7、一种形式，它从一个对象例如线段、点、三角形开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷。这个规则可以用一个数学公式或者用文字来描述。我们可以把分形当作不断生长的曲线。要观察一个分性，你必须真的看到它在运动中。它是连续不断地发展着的。,当我们观察一张分形图片或照片时，我们看到的是它在某一瞬时的样子它冻结在成长过程中的一个特定阶段。实质上正是这一成长或变化的思想把分形与自然界戏剧性地联系了。因为在自然界中有什么不是变化着的呢?甚至一块岩石在分子层次上也是变化着的。分形可以被设计得对你能想像出的几乎任何形状进行模拟。分形不一定受制于仅仅一个规则、而可以是一系列的规则和规定，它们形成制约它的总规则。试
8、着创造你自己的分形。选取一个简单的对象，设计一个规则应用于其上。,分形初探,科克雪（瑞典，1904年）花曲线的作法,第一步，先给出一个正三角形（记为P1，）；然后把三角形的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，这一操作称作迭代规则，于是生成了一个有6个角12条边的对象（记为P2）；,雪花曲线的作法,第二步，在对象P2的基础上，将每条小边三等分，然后以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又生成一新对象（记为P3）；以后重复此操作，如此一直进行下去，最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花曲线”。,雪花曲线的数学探究,一、雪花曲线的形的
9、特点从形的角度，粗略的看，“雪花曲线”是一条封闭的连续的折线；不光滑（“到处都长满了角”），当迭代次数增多时，“角”的个数增多，“角”越来越小，曲线向外生长变得越来越慢等。,二、从数的角度，怎样精确刻画其特征？首先，应从哪些方面刻画？确定研究突破点：可研究“雪花曲线”的边长和边数；“角”的个数；周长和面积 下面，我们就从边长、边数、周长和面积等数量方面入手，来研究“雪花曲线”的特性。,联想与建模,通过思考：“迭代”与所学的那种知识类似？（函数的迭代、数列的递推表示）从而引入“数列模型”表示。设原三角形P1的边长为 a1，边数为 b1，周长为L1，面积为 S1。依次所得的“雪花曲线”（Pn）的边
10、长为an，边数为bn，周长为 Ln，面积为 Sn。通过操作观察n1、2、3时，an、bn、Ln、Sn的表达式及其相互关系,下面分步研究 an与 an-1的边长之间的关系:由 得bn 与bn-1的边数之间的关系：因为每操作一次，原来一条边变为4条边，所以从而,Pn 与Pn-1 的周长之间的关系：,Pn 与Pn-1的面积之间的关系：,P 是在P1 的每条边上再生成一个小三角形，,同理，对象Pn 是在Pn-1的每条边上再生成一个小正三角形，于是对象Pn 的面积等于Pn-1 的面积加上bn 个新增小正三角形的面积，即,用叠加相消法，得,探求面积关系中，Pn 和Pn-1 的之间的递推关系：P 的面积等于
11、Pn-1的面积加上bn-1 个新增小正三角形的面积。,利用你所学的知识，分析数列an、bn、Ln、Sn 的性质 数列an、bn、Ln、Sn都是等比数列；数列bn、Ln、Sn 都是递增数列；数列an是递减数列；由于bn、Ln 的公比大于1，an 的公比小于1，随着n 趋近于，bn、Ln 的值趋于，an的值趋于0；Sn的公比小于1，随着n趋于，Sn 的值趋于,科赫Koch曲线一条具有有限面积和无穷周长的曲线。海岸线问题的数学化,1904年，瑞典数学家冯科赫(HVKoch)构造著名的魔线：,(图9),构造方法:取单位长度线段E0，将其等分为三段，中间的一段用边长为E0的1/3的等边三角形的两边代替得
12、到E1，它包含四条线段，对E1的每条线段重复同样的操作后得E2，对E2的每条线段重复同样的操作后得E3，继续重复同样的操作无穷次时所得的曲线F称为科赫曲线(图9).由上可知，科赫曲线是对E0“”反复实施变换“,”形成的，我们称E0“”为初始元，“,”为生成元（或分形元）.,前面介绍的科赫雪花曲线:若把初始元(或生成元)E0“”改为边长为1的等边三角形，对它的三边都反复施以同样的变换，直至无穷，最后所得图形称为科赫雪花曲线（图10）.它被用作晶莹剔透的雪花模型.,（图10）,在科赫曲线构造过程的每一步，每次去掉中间 的1/3，用边长为初始元E0 的1/3等边三角形的两边来代替时，如果用掷硬币的方
13、法来决定新添上的部分位于被去掉部分的“上边”或“下边”，经过几步后，会得到一个看起来相当不规则的随机科赫曲线，用它来模拟海岸线、国境线和城市边界线会更贴切.,随机科赫曲线和随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗（R.Brown）粒子运动的轨迹（图11-A），只要有足够高的分辨率就可以发现，原来的直线段部分，其实都是由大量更小尺度的折线连接而成的（图11-B），它们在形态上有（统计）自相似性，这种轨迹在物理学、化学和生物学中非常重要.,（图11）,分形的创始人 伯诺瓦曼德布罗特,我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出了 fractal（分形）这个词。相应的拉丁文动词frager
14、e 的意义是“使碎裂”：造成不规则的碎片。多么符合我们的需要啊！这样，除了“分裂的”（像在“分数”或“折射”中那样），fracus 还应该有“不规则的”之意，这两个意义都继承保留了下来。伯诺瓦曼德布罗特,什么是分形?,严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。（曼德布罗特在1986年提出的定义是：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。原文是：A fractal is a shape made of parts similar to the
15、 whole in some way.)也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。,分形的诞生,分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。海岸线具有自相似性，曼得勃罗特就是在研究海岸线时创立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质就叫做自相似性。部分以某种形式与整体相似的形状就叫做分形。,分形的创立时间表,（1）曼德勃罗在美国科学杂志上 发表论文 英国的海岸线有多长震惊学术界（1967年）（2）法兰西学院 讲演报(197
16、3年)（3）“病态”“数学怪物”命名分形（Fractal）（1975年）（4）法文版分形对象：形、机遇和维数出版（1975年）（5）英文版分形：形、机遇和维数出版（1977年）（6）英文版大自然的几何学出版（1982年）。,谁创立了分形几何学,分形论的逐步成熟时基于一大批科学家历经约30年的不懈努力的结果，而曼德布罗特的开创性工作功不可没。1973年，曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在
17、自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。,曼德布罗特以此为突破口，进行了艰难的探索，在前人研究成果的基础上，创立了 分形几何，并于1975年以分形：形、机遇和维数为名发表了他的划时代的专着，第一次系统地阐述了分形几何的内容、意义、方法和理论。在数学史上作为一门独立学科的分形几何就这样正式诞生了。分形几何的创立，以美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年发表的分形：形、机遇和维数为标志，但形成分形几何思想的根源却可上溯一个世纪.,Fractal（分形）一词的由来,据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余
18、偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。,曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼
19、花 撩乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。,分形之父曼德布罗特简介,1.生平简介 1924年出生在华沙的一个犹太家庭中，父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。1936年迁往巴黎。他受的教育很不正规，时断时续，他自己说从来没有学过字母表。他当过车窗维修学徒工。然而当他回忆起个人的艰辛历程时，始终记住在学校里与老师成为朋友，其中有几位是因战争而流落的杰出学者。,巴黎解放后，由于他天赋好，虽然缺乏准备，却通过了高等师范和高等工业学院的严格考试，笔试和口试经长达一个月，还包括绘画课。他在临摹维纳斯雕像是表现出潜在的灵巧。数学考试他成功的靠几何知觉掩盖了缺乏训
20、练。不管给出什么解析问题，他几乎总可以用脑海中的形象加以思考。给出一个图形，它可以设法变换它，改变它的对称，使他更为和谐。他的变换往往直接导致问题的解决。在此后的学业和工作中，他沿着自己的路走去。由于学术思想上的尖锐冲突，他离开法国到美国居住。1958年，他接受国际商用机器公司（IBM）沃森研究中心的聘请，开始他的异国科学研究生涯。,2.博学、执著的科学探险者,他孤独的搜寻道路。他尝试过语言学，解释词的一种分布规律，在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学，等等。他自己说过：“当我听到过去从事过的一连串职业时，常常怀疑自己是否存在，这些集合的交集肯定是空集。”他在
21、IBM公司工作的初期，主要是研究商品价格.,不久碰上公司非常关心的一个实际问题。工程师们被计算机和计算机之间通讯用的电话线中的噪声问题所困扰。工程师们采用加强信号来淹没噪声的方法，但某些自发噪声怎么也无法消除，而且偶尔会抹掉信号，而造成误差。他提出一种描述误差分布的方式，可以对观察到的模式作出预言。,这种描述，正是以19世纪数学家康托尔命名的抽象构造。这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的。分析表明，不应靠加强信号来淹没噪声，而应采用适当的信号为好。弯弯曲曲的海岸线，蜿蜒起伏的山峦轮廓线，变换飞渡的浮云，袅袅上升的烟柱，一泻千里的江河，他反复观察，持续思考，试图从中悟出大自然的真谛。196
22、7年，他在美国科学杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多长？”的论文。他对海岸线的本质作了独特的分析而震惊学术界。这篇论文成为分形诞生的标志。,3.成功者荣誉的光环,1977年，他出版了奠基性著作：分形：形、机遇与维数（Fratal：Form，Chance and Dimension,Freeman,San Francisco,1977),提出了分形的三要素，即构形、机遇和维数。紧接着于1982年又出版了自然界的分形几何学（The Fractal Geometry of Nature,Freeman,San Francisco,1982)。这两部著作的发表标志着分形论迈进了现代新兴科学之林。,
23、曼德布罗特的持续奋斗，获得了巨大的成就，赢得了崇高的荣誉。他是IBM公司的高级研究员，哈佛大学应用数学教授，美国国家科学院院士，美国艺术与科学研究员院士。近年来，他获得了许多荣誉奖。获1985年巴纳德奖，以表彰他以科学造福于人类取得新成就；1986年获富兰克林奖；1988年获科学为艺术奖等。,分形思想的形成,一、萌芽,分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异
24、性质的三分康托集。,1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。,1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagi
25、n）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。,二、分形思想的形成,（1）齐普夫词频实验规则研究（1951年）（2）棉花价格变化研究（1960年）1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。(3)计算机通讯线路噪音研究（1962年）,噪音分布示意图,一天-把一天按小时分|-|-|-|有
26、误差的小时为|-|-|把有误差的小时按每15分钟分|-|-|有误差的15分钟曼德勃罗在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列，发现康托尔三分集可以作为描述噪音分布的粗略模型。,（4）海岸线长度研究英国科学家理查逊海岸线长度经验公式设 r 为测量海岸线的尺度，N(r)为量出的步数，海岸线总长度L（r）=N（r）r 由于尺度与步数成反比例 经改变r的大小反复测量发现：代入上式，得（k为常数，a为量规维数）。,（5）科赫曲线长度研究科赫曲线长度一览表尺度 段数 长度1/3 4 4/31/9 42(4/3)21/3n 4n(4/3)nL（r）=（4/3）n（1）r=（1/3
27、）n 取对数：n r=n n（1/3）(2)n=-n r/n 3(2）式代入（1）式：L（r）=（4/3）-n r/n 3(3),(3)式两边取对数n L(r)=（-n r/n 3）（n4/3）=（-n r/n 3）（n 4-n 3）=（n rn 4）/n 3+n r=n r(1-n 4/n 3)令n 4/n 3=a，上式为：n L(r)=（1-a）n r=n r(1 a)因此 L(r)=r(1 a)科赫曲线长度公式与理查逊海岸线长度经验公式几乎一致曼德勃罗把科赫曲线当成海岸线的数学模型,1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误
28、差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的分析中，发现类似规律。,总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。,分形的定义和性质,1.芒德勃罗给出的二种定义（1977年、1982年）英国数学家法尔科内给出的定义（1990年）（分形具有五个基本特征或性质）,分形是具有如下性质的集合F：,F具有精细的结构，即在任意X的尺度之下，它总有复杂的细节；（结构的精细性）F是不规则的，它的整体与局部都不
29、能用传统的几何语言来描述；（形态的不规则性）F通常具有某种自相似性，这种自相似可以是近似的或者统计意义下的；（局部与整体的自相似性）F的某种定义下的分形维数通常大于其拓扑维数；（维数的非整数性）F常常是以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生（生成的迭代性）,分形几何与传统几何相比有什么特点？,从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述
30、一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。,芒德勃罗集（简称M集）,曼德尔布罗特集（Mandelbrot集，简称M集，图1）是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形.它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果,它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目而这种放大可以无限地进行下去,无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体不完全相同，又有某种相似的地方
31、，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。,分形的量化分数维,1.欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效 如何研究分形？维数是几何 学和空间理论的基本概念。欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。,2.维数观念的历史回顾,（1）传统的欧氏维数欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念点-0维；线-1维；面-2维；体-3维。在欧氏几何学中，要确定空间一个点的
32、位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。相应地，直线的维数为1，点的维数为0。这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。它的值为整数。,（2）传统维数观念的危机（1890年）（3）维数研究的重要成果拓扑维数这是数学的一个重要分支拓扑学中的维数概念。拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或
33、折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。对于任何一个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。拓扑维数Dt的值也为整数。,（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，
34、将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。分形是与欧氏几何图形截然不同的另一类图形，它的维数一般是分数，所以分形的维数被称为分数维。由于分形又分为规则分形、不规则分形等许多种类，所以为了测出各类不同分形的维数往往必须使用不同的方法，因而得出多种不同名称的维数。在这些维数中，最重要的是豪斯多夫维数。它之所以重要，是因为它不仅适用于分形，也适用于欧氏几何图形。只不过当它用于欧氏几何图形时，值为整数，而用于分形时，值一般为分数。,3.分数维数的合理性,（1）直观几何的启示一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数
35、值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式:log4/log2=2 log8/log2=3,这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。,豪斯多夫维数的基本思想,分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，
36、我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为21、22和23个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。,一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：aD=b,?D=logb/loga 的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样
37、的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。,与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维其实，Koch曲线的维数是1.2618。,如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：aD=bD即维数 D=logb/loga分数维是衡量分形的基
38、本参数之一。（3）对单位直线段n等分，每段长为r，有n r 1=1 对单位正方形n等分，小正方形边长为r，有n r 2=1 对单位正方体n等分，小正方体边长为r，有n r 3=1 三个等式中r 的幂次实际上是该几何体能得到定常度量的空间维数，一般地 n r d s=1 ds=-n n/In r,ds称为相似维数,分数维的计算,1）对科赫曲线：n=4 n，每段长(1/3)n ds=-n 4 n/n(1/3)n=n 4/n 3 1.2618（2）对谢尔宾斯基垫片：n=3 n，每边长(1/2)n ds=-n 3 n/n（1/2）n=n 3/n 2 1.5850（3）对康托尔三分集：n=2 n，每段长
39、(1/3)n ds=-n 2 n/n（1/3）n=n 2/n 3 0.6309（4）对门杰海绵：n=20 n，小正方体每边长(1/3)n ds=-n 20 n/n(1/3)n=n 20/n 3 2.7268,分形的计算机生成,1.L系统：字符串替换算法(1)字符串替换算法的主要思想 例 已知科赫曲线的初始元是“”，生成元是“”请按字符串替换法的规则约定记号，写出其初始元和生成元的字符串，产生出其第二步图形的字符串,并画出其图形.解：约定如下记号：a：沿逆时针方向旋转b：沿顺时针方向旋转 c：从当前点沿当前方向画一长度为L的线段 则初始元“”可用字符表示为“c”.生成元“”可用字符串表示为“ca
40、cbbcac”.将以上字符串“cacbbcac”中的“c”再用字符串“cacbbcac”替换，便得第二步图形的字符串：E(2)$=cacbbcacacacbbcacbbcacbbcacacacbbcac.,2.迭代函数系统（IFS）,（1）迭代函数系统的基本思想：迭代函数系统IFS(Iteration Function System)最早是由Hutchinson于1981年提出的，现已成为分形几何中的重要研究内容之一。IFS是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有自相似结构，经过迭代而产生的。仿射变换是对图形所作的绕原点旋转、比例放大及平移等操作。几何图形的全貌与局部，在仿射变换下，具
41、有自相似结构.,Mandelbrot集,（Mandelbrot集）,Mandelbrot集,Julia 集合,生活中的分形,分形已经达到被称为自然界的几何学的地步了。虽然自然界中有丰富的 欧几里德几何对象的例子（六边形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形），但是自然界的随机性似乎常常常常产生无法用欧几里德几何描述的对象。在这些场合，分形是最好的描述工具。,我们知道欧几里德对于描述爆玉米花、烘焙食品、树皮、云、姜根和海岸线则是困难的。几何分形用来描述蕨叶或雪花等对象，而随机分形则可由计算机生成，用来描述熔岩和山地。如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似
42、特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。,什么是分形几何?,通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。（1）什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；,一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言,自然界中的分形,高山的表
43、面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。,天空中的云朵,股票价格曲线例如，在道琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。岩石裂缝金属损伤裂缝道路分布神经末梢的分布,动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。,分形的应用,分形在股票市场的应用 股票交易收益实例分析表,分形在地震预报中的应用 分形生长及其应用（1）癌症增殖模型艾登模型（2）DLA模型（3）渗流模型,分形几何的价值与研究,分形几何的基本思想（1）客观事物具有自相似的层次结构，局部
44、与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性（2）分数维是刻划分形的特征量,分形几何与欧氏几何的比较,描述对象 特征长度 表达方式 维数欧氏几何学 人类创造的 有 用数学公式 0或正整数 简单的标准物体（1或2或3）分形几何学 大自然创造 无 用迭代语言 一般是分数 的复杂的真实物体（也可以是整数）,分形在哲学上的意义,复杂与简单的统一：分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关
45、系的生动例子。分形高度复杂，又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.,分形在认知哲学上的意义分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。超级观察者是传统哲学和经典物理学的一个基本前提，即假定有一位理想的观察者能够不受观察对象的任何影响，经过精密观察和严密思考能够对观察对象的属性给出绝对正确的界定。从笛卡尔以来，这个超级观察者基本上已被等同于人类理性，而当理性难以说明问题的时候，哲学家和科学家都不约而同地抬出上帝的观念来搪塞
46、。比如牛顿为了解决第一推动力的问题，不得不回到神学。爱因斯坦反对量子力学的重要理由就是“上帝不掷骰子。”然而，这种超级观察者神话在现代物理学那里，已经遭到了决定性的打击。,1：观察尺度著名的海岸线问题：英国的海岸线有多长？这个问题是没有答案的，它完全取决于观察尺度的选取。显然，用人的脚步来测量，和让一只蚂蚁来测量，得出的结果将有天壤之别，因为蚂蚁会爬过比人多得多的弯曲，从而测量的结果将比人的结果大得多。假设有一种无限小的生物，那么测量结果将是无穷大。不要忘了，在蚂蚁眼中，我们是比鲸还要大的庞然大物。关于观察尺度，格列佛游记里面有精彩的描述。当格列佛到了巨人国，他发现没有一个女人是漂亮的，因为在
47、他小小的眼睛里，女人每一个狰狞的毛孔他都看得清清楚楚。作为阅读对象的文本可以比作英国的海岸线，说文本无定解，不是说文本什么都不是，它是英国的海岸线，可是它究竟有多长，不同的读者有不同的测量结果。可是以谁为准？蚂蚁的结果就不算数吗？,分形美丽新世界：“世界是非线性的”，分形无处不在。分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界。当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构。例如，地学方面：海岸线，岛屿，国界，山谷，河流，路面等弯弯曲曲凹凸不平的形状；生物方面：人的肺，血管，人脑，表面形状，大多数树木花草地分岔结构；在宇宙方面：天体在宇宙空间中的分布，月坑的直
48、径分布以及作为月坑成因地陨石和小行星的大小分布，空中的云块边界雪花的表面；在物理化学方面：物体的表面由细微粒子集聚成的凝聚体，闪电，多孔吸附材料的表面，蛋白质高分子的结构分形学家说，自然界处处有分形，这从物体形态结构方面说明，世界本质上的非线性。,分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，并为之感动。分形使人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，它搭起了科学与艺术的桥梁。历史上笛卡尔和开普勒也是艺术家，前者是法国新时代小说的奠基人之一，后者写的登月科幻小说比凡尔纳的早得多，当然凡尔纳这位
49、大师既懂艺术也懂科学。豪斯道夫不但在拓扑学上留下深深的足迹，也写过不错的剧本。,列夫托尔斯泰也懂得物理学和数学，并且编写过科学著作,还尝试将微积分运用到历史研究当中去。激素的想法首先是由法国作家巴尔扎克提出来的。卡罗尔的童话故事流露着新科学的天才猜想，并以更喜闻乐见的形式表达出来,流芳百世，其实他本来就是数学家和逻辑学家。至于达芬奇、歌德和罗蒙诺索夫这样伟大的人物，我们甚至不好称他们是艺术家还是科学家。他们身兼二职，科学因素使他们的艺术更真实，艺术因素在他们的内心唤起自由和思想解放的精神,原来世界可以这样：分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面
50、，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。我们拥有的这个新几何，甚至可以描述变化的宇宙。站在这个巨人的肩膀上，我们可以实现许多原来被我们视为奇异或是不可能实现的东西，不觉中人们感叹原来世界可以这样由于分形能够用递推函数加以描述，所以用计算机生成的分形十分理想。特别是迭代函数系统具有很高的压缩比，可达1：1000，在图象及通讯方面具有广阔的应用。像电影星际旅行：可汗的愤怒中新行星的诞生以及吉地的返回中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的。,由计算机模拟制作的山峰，也已被IBM公司应用于广告宣传中。分形
