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1、同角三角函数的基本关系式,广东省佛山市高明区技工学校 钟美珍,说课内容纲要,1、教材分析2、学生分析3、教学目标4、教学重点和教学难点5、教学方法6、学法7、教学设计8、课堂小结9、板书设计,一、教材分析,本节课内容是在学生学习任意角的三角函数的基础上，进一步了解同角而不同名的三角函数上提出来的，为下面有关三角函数内容打下基础，因此这一节内容起到一个承上启下的作用。学习这一节内容，不仅可以帮助我们根据一个角的某一个三角函数值，直接求出这个角的其它三角函数值，而不必求这个角；同时还可以用来化简三角函数式及证明其他一些三角恒等式等等。提高了学生利用知识解决实际问题的能力。,本人担任的技校一年级的数
2、学课，技校学生对数学还是有一定的兴趣，在学习中，能够认真、积极配合老师，但学习比较被动，自主学习能力不强，有大部分同学对学习数学没有真正掌握正确的学习方法，并且比较依赖于老师。于是，我设计的教学过程要显浅而懂，同时要直观生动，并帮助学生充分利用六边形来记忆和灵活运用同角三角函数的基本关系式，其中有些内容学生通过自己的思维都能做得出来的，老师尽量少讲，交给学生自己去发现，从而获得知识，充分发挥学生的主体地位。,二、学生分析,三、教学目标,让学生掌握公式的推导过程，熟记基本关系式的内容，明确基本关系式在三个方面的应用：（1）知道一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值，（2）化简三角函数式
3、（3）证明三角恒等式。,培养学生由特殊结论-猜想一般规律-进行严格证明的科学思维方式；通过用单位圆推导公式培养学生用数形结合思想处理数学问题的能力；通过求值、化简、证明培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力和分析解决问题的能力。,培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感,培养学生学习数学的兴趣和信心。,四、教学重难点,一、教学重点:,同角三角函数基本关系式推导及应用。,知识技能线,情感态度线,过程方法线,观察分析特殊到一般,灵活运用能力及应用意识,创设情景引入课题,公式推导,公式运用,探究尝试数形结合,灵活运用化归、方程思想,突重点,观察能力,合作交流，
4、归纳猜想能力,抓三线、,四、教学重难点,二、教学难点:,关系式在解题中的灵活选取，及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论。,抓两点、破难点,情感、思维的兴奋点,知识层层深入,五、教学方法,（一）讲授法：教师能在较短的时间内通过口头语言，简洁地传授数学知识信息。（二）谈话法：就是教师根据学生已有的知识和经验，帮助学生发现问题，让学生基于以往的经验，依靠他们的认知能力、形成对问题的解释、提出他们对问题的假设的方法。（三）任务驱动法：在讲授完新知识后，必须由学生做相关的练习，并以完成此任务为目标，通过任务驱动法可以使学生能自主学习，并培养他们的创新能力。,六、学 法,（一）知识迁移法
5、：在本节内容中，它与前面的内容息 息相关，并在原有的知识的基础上推导出来的，所以要学会思维的迁移。（二）探究法：在老师的指引下，学生要学会探索同角三角函数的基本关系式。（三）自主学习法：提出以完成任务为目标，要求学生独立练习来获得新知识，从而提高独立解决问题的能力。,七、教学过程分析,教学目标重点难点,教学过程,练,学,导,探,引,创设情境,探究问题,引导学生,掌握,反思提炼,延,作业布置,过程分析,创设情景引入课题,气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本
6、意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化。蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索。从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节课的课题。,一、推导同角三角函数的关系式,（一）倒数关系：请同学们观察上述六个三角函数的定义，哪些互为倒数关系？（学生在草稿纸上演算，教师巡视）因此倒数关系是：,过程分析,对于三种关系的推导，我是这样处理的：倒数关系由学生自己推导，
7、商数关系引导学生推导，平方关系由老师帮助推导。,（二）商数关系：首先要让学生明白涉及到商，应该与除法有关，而作为分子、分母都是比值的除法，要想化简最后的结果，最好是要找分母相同的比值。在上面六个比值中，分母相同的分别有三组。然后要求学生在草稿纸上算。学生的结果估计是这样的：,过程分析,再提示学生思考除了以上三个之外，还可以将三条式子的分子与分母的位置调换，于是又多了三条式子：,总结商数关系一共有六条，告诉学生常用的的第一和第四条：化切为弦。,（三）平方关系：这种关系学生不易找出来，教师提示：x2+y2=r2,而且还可以得到r2-y2=x2，r2-x2=y2。因此它们还存在平方关系，要求学生算出
8、sin2+cos2=1,再将sin2+cos2=1作恒等变形，当cos20时，等式两边同除以cos2，得，所以tg2+1=sec2,同理当sin20时，等式两边同除以sin2得到ctg2+1=csc2。因此有：,过程分析,平方关系：sin2+cos2=1 tg2+1=sec2 ctg2+1=csc2,过程分析,（四）帮助学生更灵活地记忆上述三种关系式，给出右图，让学生思考怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系？（上弦中切下割左正右余）1、在对角线上两个三角函数值乘积等于1，有倒数关系。2、六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。3、带有阴影的三
9、个倒三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平方关系。,过程分析,为了加深对关系式的认识，在公式给出后设置了三点注意：,1、同角的理解：,2、是 的简写形式，与 不同。,3、公式可以变形使用,过程分析,例题讲解提高能力,例1：（1）已知，试求cos和tg的值。,例2：（2）已知，求的其它三角函数值。,引导学生充分利用六边形中关系式的关系，寻找多种解题的思路，以下是几种角题的顺序：（tgctgseccossincsc）（tgctgcscsincossec）（tgsecsincsccosctg）说明：通过例题的讲解，使学生明白到运用平方关系式时涉及到开方问题，就要考
10、虑符号的正负。,过程分析,例题2、化简,化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，,过程分析,例题3、求证：,（1）让学生思考讨论找解决办法，由题目的多种解法总结三角恒等式证明的三种基本思路：一边化一边；作差比较；两边化为同一式。（2）设置目的；通过一题多解，培养学生的发散思维，提高学生思维的深刻性、敏捷性。（3）小结：由繁到简；化弦法；盯住目标、逐步靠拢；注意“1”的变形运用；,过程分析,课堂练
11、习,1、已知，试求sin和tg的值。,2、化简下列三角函数式：,八、课堂小结,在公式的推导中，教师是用创设问题的形式引导学生去发现关系式，多让学生动手去计算，体现了教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展的教学思想。在记忆关系式时，我不要求学生死记硬背，而是充分利用六边形来灵活记忆。在解题的过程，我要求学生利用六边形来分析，进而寻找解题的思路，这样就把抽象的问题具体化，并可以找出多种的解题思路，这样做使学生不感到困难，而且使枯燥的内容生动化、直观化，培养学生解题的信心。通过两种不同的例题的对比，让学生能够明白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的角限有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了。最后的练习可以检测学生对本节课内容掌握的情况，另外还可以发现学生在解题中存在的问题，教师加以评讲，这样就使学生的认识再上一个台阶。,九、板书设计,3.2 同角三角函数的基本关系式,1、倒数关系2、商数关系3、平方关系,例1,例2,例3,练习题,谢谢指导,
