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1、二次函数最值专题,三亚市实验中学 王迎春,1（2010湖南常德）如图9,已知抛物线与轴交于A(4，0)和 B(1，0)两点，与轴交于C点（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标;（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此 时P点的坐标,解：（1）由二次函数 与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点可得：解得：故所求二次函数的解析式为,SCEF=2 SBEF,BEFBAC,得,故E点的坐标为(,0).,EF/AC,（3
2、）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则点C的坐标为（0，2）若设直线AC的解析式为，则有解得：故直线的解析式为若设P点的坐标为，又点Q是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则点Q的坐标为（则有：=即当 时，线段PQ取大值，此时点P的坐标为（2，3）。,2（2010山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点
3、P的坐标,E,解：（1）抛物线经过点C（0，3）C3，yax2+bx-3，又抛物线经过点A（1，0），对称轴为x=1，所以抛物线的函数关系式为yx22x-3（2）点A（1,0），对称轴为x=1，点B（3，0）设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得 直线BC的函数关系式为y=x3，当x=1时，y2，点M的坐标为（1，2）（3）如图，过点P作PDOC，设P（1，y），则PE|y|，DC3y，在RtPEB中，PB222+|y|24+y2，在RtPCD中PC212+|3y|210+6y+y2,在RtOBC中，BC232+3218，PCB90，PB2=PC2+BC2，4+y2=10+6y+y2
4、+18，解得y=-4 P（1,-4）,3.（2010 四川绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积,解：（1）由题意，得 解得，b=1所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（1，）,2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG
5、的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=而 CDH的周长最小值为CD+DR+CH=设直线BD的解析式为y=k1x+b，则 解得，b1=3 所以直线BD的解析式为y=x+3由于BC=2，CE=BC2=，RtCEGCOB，得 CE:CO=CG:CB，所以 CG=2.5，GO=1.5G（0，1.5）同理可求得直线EF的解析式为y=x+联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H（，）,（3）设K（t，），过K作x轴的垂线交EF于N则 KN=yKyN=（t+）=所以 SEFK=SKFN+SKNE=KN（t+3）+KN（
6、1t）=2KN=t23t+5=（t+）2+即当t=时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（，）,4（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.,解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，则有 解得 抛物线的解析式y=x2+x4（2）过点M
7、作MDx轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.则AD=m+4，MD=n，n=m2m4.S=SAMD+S梯形DMBOSABO=(m+4)(n)(n4)(m)44=2n-2m-8=2(m2m4)-2m-8=m2-4m(4 m 0).S最大值=4,A,M,3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4，4），（4，-4），（-2+，2），（-2，2）,1.(2008 四川 广安)如图，已知抛物线 经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式（2）设此抛物线与直线 相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线 与抛物线交于点M，与直线 交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含 的代
8、数式表示）（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在 的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由,解：（1）由题意得 解得b2，c4 此抛物线的解析式为：yx22x42（2）由题意得解得点的坐标为(4，4)将xm代入yx条件得ym点的坐标为（m,m）同理点的坐标为（m,m22m4），点的坐标为(m,0)PNm,MP|m22m4|MNPNMP,2.(2008年福建省福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC
9、边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由,解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=90，所以EF=.设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0)如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-
10、1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=(舍去)当EF=EP时,EP=3,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2,解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=90，所以EF=.设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0)如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a
11、=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=(舍去)当EF=EP时,EP=3,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2,(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/=5.又因为EF=,所以FN+MN+M
12、E+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值为5+.,3.（山东德州市2010）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值,解：(1)二次函数 的图
13、象经过点C(0，-3)，c=-3将点A(3，0)，B(2，-3)代入 得解得：a=1，b=-2 配方得：，所以对称轴为x=1,(2)由题意可知：BP=OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形,设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG点M为FG
14、的中点 S=由=S=又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0t20当t=20秒时，面积S有最小值3,4.（2011年河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E.设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.,解：（1）对于，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-.A点坐标为（2，0），B点坐标为由抛物线经过A、B两点，得,
