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1、1.2 充分条件与必要条件,同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这是我的孩子”呢？,不会了！为什么呢？,因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件。,【实例引入】,真命题,假命题,【问题探究】,如果命题“若p则q”为真，则记作,如果命题“若p则q”为假，则记作,定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件,【定义得出】,充分性：条件是充分的，也
2、就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p q）的形式,即“有之必成立”。,必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p”为真（非q 非p）的形式，即“无之必不成立”。,注：,p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“p q”的不同表达方法。,解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.,【典例演练】,练习1：(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；,(2)若x 5，则x 10。,解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 所以命题（1）中的p是q的充分条件。,解：命题（1）（2）
3、是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。,解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题，所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。,分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。,练习3，判断下列命题的真假：（1）x=2是x2 4x+4=0的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；（3）sinA=sinB是A=B的充分条件；（4）ab0是a 0的充分条件。,命题（2）为真命题；,命题（3）为假命题；,命题（4）为真命题。,命题（1）为真命题；,思考分析:,已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2
4、和3的倍数，那么p是q的什么条件？,q又是p的什么条件?,推进新课:,称:p是q的充分必要条件,简称充要条件.,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.,p与q互为充要条件,(也可以说成”p与q等价”),即学即练:,下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p:b0,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；(2)p:x 0,y 0,q:xy 0；(3)p:a b,q:a+c b+c；(4)p:x 5,q:x 10;(5)p:a b,q:a2 b2.,推进新课:,从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:,(1)若p q,q p,则p是q的.,充分不必要条件,(2)若p q,q p,则p是q的
5、.,必要不充分条件,(3)若p q,q p,则p是q的.,充分必要条件,(4)若p q,q p,则p是q的.,既不充分也不必要条件,即学即练:,必要不充分条件,充分不必要条件,充要条件,充要条件,推进新课:,从集合与集合的关系看充分条件、必要条件.,充分不必要条件,必要不充分条件,既不充分也不必要条件,一般情况下若条件甲为x，条件乙为x,4)若A=B，则甲是乙的充要条件.,例4 已知:O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.求证:d=r是直线L与O相切的充要条件.,应用示例:,知能训练:,变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充 要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的_,充分不必要条
6、件,1.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？,充要条件,充要条件,必要不充分条件,注、定义法（图形分析）,知能训练:,2.已知p是q的必要而不充分条件，那么p是q的_.,充分不必要条件,注、等价法（转化为逆否命题）,3.若A是B的充要条件,C是B的充要条件,则A为C的（）条件.A.充要 B.必要不充分C.充分不必要 D.不充分不必要,充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,不充分不必要条件,课时小结:,认清条件和结论;,可先简化命题;,将命题转化为等价的逆否命题后再判断.,否定一个命题只要举出一个反例即可;,p是q的什么条件,一共有四种情况;,课后作业:,习题1.2 A组 2.3.4,
