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1、方程的根与函数的零点,邯郸市荀子中学-胡明,“巍巍深山藏古寺，寺内不知几多僧，寺内有碗三百六十四，看看用尽不差争。三僧共用一碗饭，四僧同用一碗羹。寺中僧人有几何？”,问题1,+,=364,x=624,设有x个僧人,我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法,花拉子米(约780约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。,阿贝尔(18021829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。,方程解法史话:,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,f(x)=x22x3,f(x)=x22x+1,函数,函
2、数的图象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,f(x)=x22x+3,问题2：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并写出函数图象与x轴交点的坐标。,方程ax2+bx+c=0(a0)的根,函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象,判别式=b24ac,0,=0,0,函数的图象与 x 轴的交点,有两个相等的实数根x1=x2,没有实数根,(x1,0),(x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等的实数根x1、x2,问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方
3、程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,结论：二次函数ax2+bx+c=0(a0)图象与x轴交点的横坐标就是相应方程f(x)=ax2+bx+c(a0)的实数根。,推广：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？,结论:函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根。,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,函数零点的定义：,注：（1）函数零点是一个实数，不是一个点坐标；（2）函数的零点也就是函数图象与x轴交点 的横坐标；（3）求零点就是求方程f(x)=0的实数根。,方程f(x
4、)=0有实数根,等价关系,1.观察下面函数y=f(x)图象：哪个函数在区间(a,b)内有零点？,练习：,2.函数 的零点是:（）A.（-1，0），（3，0）；Bx=-1；C x=3；D-1和3,练习：,D,示例练习,1.求下列函数的零点（1）（2）（3）（4）,2,2,3,0,无零点,2.函数 有一个零点为，则()A.0 B.10 C.-3 D.由m而定的其他常数,A,小结：求函数零点的方法：,代数法,图象法,问题4：函数y=f(x)在某个区间上是否一定有零点？,怎样的条件下，函数y=f(x)一定有零点？,0,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,x,y,
5、探究,(1)观察二次函数 的图象：,1.在区间 上有零点_；_0（或）.2.在区间 上有零点_；_0（或）,-1,3,（2）观察下面函数y=f(x)图象,1.在区间 上_(有/无)零点；_0（或）2.在区间 上_(有/无)零点；_0（或),有,有,(3)观察下面函数y=f(x)图象：哪个函数在区间(a,b)内有零点？满足什么条件函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点？,结论:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,函数y
6、=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,试一试：1.对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a).f(b)0(a,b R,且ab),则函数y=f(x)在(a,b)内（）A.只有一个零点 B.至少有一个零点C.无零点 D.无法确定有无零点,B,例题解析：画出函数 的图象，判断函 数在以下区间（-1.5，-1），（0，0.5），（0.8，1.5）内有无零点，并判断零点的个数。,试一试：2.已知函数，问方程 在区间-1,0内有没有实数根？为什么？,试一试：3.函数 在（-1，1）上存在，使，则a的取值范围是（）A.-1 C.a D.a-1,C,4.若方程 在R内恰有一解，则a的取值情况是（）A.a-1 B.a=C.-1a1 D.0 a1,B,5.若方程 在（0，1）内恰有一 解，则a的取值范围是（）A.a1 C.-1a1 D.0 a1,B,1、函数y=f(x)的零点的定义。,2、三个等价关系。,3、函数y=f(x)的零点存在性的判定。,小结,布置作业：,P88 练习 第1题 第2题,函数零点方程根，形数本是同根生。函数零点端点判，图象连续不能忘。,一首小诗,谢谢！,再见,
