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1、,问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？,分析:给座位编号有2类方法,第一类方法,用英文字母，有26种号码;第二类方法,用阿拉伯数字，有10种号码;所以 有 26+10=36 种不同号码.,请思考:,问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，或者也可以乘汽车。一天中，火车有4 班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析:从甲地到乙地有2类方法,第一类方法,乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;所以 从甲地到乙地共有 4+2=6 种方法.,你能说出这两个问题的共同特征吗?,请思考:,问题:你能否
2、发现这两个问题有什么共同特征？,1、都是要完成一件事,2、用任何一类方法都能直接完成这件事,3、都是采用加法运算,分类加法计数原理,完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。,2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.,1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理,说明,例1：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体如下:,如果这名同学只能选一个
3、专业，那么他共有多少种选择呢？,分析:两大学只能选一所一专业,且没有共同的强项专业,5,4,+,=9,这名同学可能的专业选择共有9种,变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:,如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?,N=5+4+5=14(种),完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法。那么完成这件事共有_种方法.,做一件事情，完成它可以有n类方案,在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案
4、中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法,N=m1+m2+mn,分类加法计数原理的推广,N=m1+m2+m3,问题3：用前6个大写英文字母和19个阿拉伯数字,以A1,A2,B1,B2的方式给教室的座位编号.,总共能编出多少个不同的号码?,A1A2A3A4A5A6A7A8A9,9种,9种,6 9=54,请思考:,问题4：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,分析:从A村经 B村去C村分 两 步,第一步,由A村去B村有 3 种方法,第二步,由B村去C村有 2 种方法,所以从A村经 B村去C村共有 3 2=6 种不同的方法,
5、你能说出这两个问题的共同特征吗?,请思考:,分步乘法计数原理,完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.,2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.,1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理,说明,例2：设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?,分两步进行选取,男,女,30,24,=720,再根据分步乘法原理,若再要从语,数,英三科科任老师中选出一名代表参加比赛
6、,那又共有多少种选法?,老师,3,=2160,如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有_种不同的方法.,N=m1m2m3,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有_种不同的方法.,N=m1m2mn,分步乘法计数原理的推广,例3：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.,(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?,有3类方法，根据分类加法计数原理,N=4+3+2=
7、9,(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?,分3步完成,根据分步乘法计数原理,N=432=24,解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.,解：需先分类再分步.,（3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同的取法?,根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=43+42+32=26,第一类：从一、二层各取一本，,有43=12种方法；,第二类：从一、三层各取一本，,有42=8种方法；,第三类：从二、三层各取一本，,有32=6种方法；,答:从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.,例3：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放
8、有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.,1有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？2集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 从A,B 中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？,练一练,979575143,(1)344324,(2)22228,例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？,甲,乙,丙,解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：,第一步，从3幅画中选1
9、幅挂在左边墙上，有3种选法；,第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法。,根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=32=6.,思考：还有其他解答本题的方法吗？,例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？,甲,乙,丙,解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：,第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法；（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）,第二步，将选出的2幅画挂好，有2中挂法,根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=32=6.,用来计算“完成一件事”的方法种数,每类方案中的每一种方法都能_ 完成
10、这件事,每步_才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）,类类相加,步步相乘,独立,依次完成,分类完成,分步完成,思考：两个计数原理的共同点是什么？不同点什么？,例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？,分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。,解：首字符共有7+613种不同的选法，,答：最多可以给1053个程序命名。,中间字符和末位字符各有9种不同的选法,根据分步计数原理，最多可以有13991053种不同的选法,例6.核糖核酸（RNA）
11、分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？,分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。,解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有,种不
12、同的RNA分子.,例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？,如00000000，10000000，11111111.,例8.计算机编程人员在编写好程序
13、以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？,分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。,再测试各个模块之间的信息交流是否正常，
14、需要测试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。,这样，测试整个模块的次数就变为 172+6=178（次）,2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：,18+45+28+38+43=172。,例9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯
15、数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?,练习1、(1)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？(2)五名学生争夺四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？,解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为44444=种.,（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5=种.,补充练习：,在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,分析1:按个位数字是2,3,
16、4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是:1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).,分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是:8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个),练习2,练习3.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？,答：符合题意的没有重复数字的三位偶数共有 544444=52（个）。,或者 54244=52（个）。,何时用加法原理、乘法原理呢?,加法原理,完成一件事情有n类不同的方案,若每一类方案中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.,乘法原理,完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.,分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”,解答计数问题的一般思维过程：,完成一件什么事,描述分类计数原理和分步计数原理的诗：,两大原理妙无穷，解题应用各不同；多思慎密最重要，茫茫数理此中求。,
