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1、1,第5章 刚体力学基础 动量矩 1刚体和刚体的基本运动 2 刚体定轴转动的运动定律 3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律 刚体的定点运动-回转仪的旋进,2,角动量定理 角动量守恒定律一、质点对定点的角动量二、力对定点的力矩三、质点的角动量定理 角动量守恒定律四、质点系的角动量问题,3,思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同一、质点对定点的角动量t 时刻(如图),定义,为质点对定点o 的角动量,方向：垂直 组成的平面,SI,大小：,量 纲：,4,t 时刻 如图,定义,为力对定点o 的力矩,二、力对定点的力矩,大小：,中学就熟知的：力矩等于力乘力臂,方向：垂直 组成的平
2、面,量纲：,5,1）物理量角动量和力矩均与定点有关，角动量也称动量矩，力矩也叫角力；2）对轴的角动量和对轴的力矩 在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。(见 6 7 8 页),6,：质点对x轴的角动量,：质点对 x轴的力矩,某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：,分量中，涉及的位矢分量为x,y,涉及的力的分量为Fx,Fy,例如：力矩,下面，用图示形象说明，加深理解该计算过程,7,用图示加深理解计算过程,思路：设坐标原点o是求力 矩的定点 某时刻 质点位矢是,受力是,然后将位矢和力向xy平面和z方向两个分向分解最后得出结果,8,求力对 z 轴的力矩的简化步
3、骤：第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点垂直转轴的平面，即过质点的xy平面）第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量第3步，算出力对z轴的力矩,结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩（或角动量）,9,角动量守恒定律,微分形式,角动量定理,10,1）角动量守恒定律的条件,2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律,3）有心力 力始终过某一点 central force,行星在速度和有心力所组成的平面内运动,角动量守恒,如行星运动,动量不守恒角动量守恒,11,开普勒第二定律,掠面速度,角动量守恒就是掠面速度相等,常矢量,例题5.8,5.9(173),12,四、质点系的角动量问题 1.对定
4、点的角动量,2.定理和守恒定律,内力对定点的力矩之和为零,质点系内的重要结论之三(自证),13,形式上与质点的角动量定理完全相同内力对定点的力矩之和为零只有外力矩才能改变系统的总角动量,角动量守恒定律,14,盘状星系角动量守恒的结果,15,比较 动量定理 角动量定理,形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。（趣称 头上长角 尾部添矩）,16,力,力矩或角力,动量,角动量,或动量矩,力的冲量,力矩的冲量,或冲量矩,17,基本方法：质点系运动定理 加 刚体特性,刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理,平动：动量定理,可以解决刚体的一般运
5、动（平动加转动）,刚体力学基础,18,1 刚体和刚体的基本运动 一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法,19,刚体：在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。,质元：把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。,一、刚体的平动（最简单）,1.定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的 位置都保持平行。如沿直线轨道运动的车厢,2、特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！,刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同(证明见书149页)。在刚体平动时,只要知道刚体上任意一点的运动,就可以完全确定整个刚体的运动.因此，常
6、用“刚体的质心”来研究刚体的平动：,20,3、平动的自由度：3个,自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量。,独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数。,21,二、刚体的定轴转动,1、定义若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作转轴。,2、特点,刚体中始终保持不动的直线就是转轴。,刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。,和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。,22,3、定轴转动刚体的角坐标,如图示：建立O-xyz系，z轴与转轴重合，O点任意选取，截取刚体
7、一个剖面o-xy平面，此位置只要确定，刚体的位置就确定了，除O点外，再选一个A点，此图形的位置可由矢量来确定，而 矢量的大小是不变的，方向只需由 矢量与x轴的夹角来确定，此角称为：绕定轴转动刚体的角坐标。,角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，角为正，否则角为负。,23,4、定轴转动刚体运动的描述,运动学方程：，即：角坐标随时间的变化规律。,描述刚体整体运动的物理量角量，包括：角位移，角速度，角加速度。,角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量。,任意质元的角位移是相同的是一整体运动的量。,面对z 轴观察：逆时针转动，；反之，。,角速度：在这一过程中，,即：瞬时角速度等于角
8、坐标对时间的导数。,面对z轴观察逆时针转动时：；反之，。,24,角加速度：,即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。,加速转动，与同号，；反之，。,25,5 定轴转动刚体角量和线量关系(1).各点运动的特点,转动平面,在自己的转动平面内作圆周运动,(2).描述的物理量,任一质点圆周运动的线量和角量的关系,26,由定轴转动刚体角量和线量关系可知：,27,28,6 刚体绕定轴转动的匀速和匀变速运动,刚体绕定轴转动的匀速和匀变速运动基本公式的推导与质点匀速直线运动和质点匀变速直线运动的基本公式推导类似 基本公式(书151页),转速n:每分钟转过的圈数 单位 r/min,例题5.1(152页),5.2
9、(154页),29,三、解决刚体动力学问题的一般方法 原则:质点系的三个定理 利用刚体的特征化简到方便形式(简便 好记)1.刚体的平动 质点模型 运用质心运动定理 2.刚体的定轴转动 利用刚体的模型(无形变)化简角动量定理 功能原理 方便的形式,30,2 刚体定轴转动的运动定律 3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律 一、刚体定轴转动 二、转动惯量的计算(*)三、刚体定轴转动的角动量定理(*)四、角动量守恒定律 五、刚体定轴转动的能量关系,31,一、刚体定轴转动的转动定律(质点系角动量定理微分形式的简化)质点系角动量定理微分形式：,1.化简过程定轴转动,所以，可直接写分
10、量式,32,=?,因为各质元角动量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加,任一质量元的角动量大小为,因为,所以,33,定义刚体对定轴的转动惯量,进一步化简,则刚体对定轴的角动量,或写为,34,2.刚体定轴转动的转动定律,定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。,见181页5.1选择 题(1),35,二、转动惯量的计算 1.定义,例：如图质点系,36,例5.3(159页)已知一质量为M、长为L的均质细棒,求杆对通过杆的一端并与杆垂直的轴的转动惯量.解 取棒的一端为坐标原点，沿棒长方向取x轴，在棒上离原点x处取一段dx，则
11、dx段的质量为,根据公式，有,若轴通过中心，则,y,x,L,x,dx,在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小,y,37,2.计算 1)对称的 简单的 查表(161页)2)平行轴定理 parallel axis theorem,y,x,L,x,dx,y,38,J 和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的,39,哪种握法转动惯量大？,40,例5.4(162)已知:定滑轮,解:受力图,轻绳 不伸长 无相对滑动,求：1）物体加速度a,2）绳子的张力T,3)滑轮转动的角加速度,得解,41,三、刚体定轴转动的角动量定理(积分形式),一般的质点系,一个刚体,四.角动量守恒定律,由多个刚体组成的刚
12、体体系,42,演示(一)茹可夫斯基凳,花样滑冰 跳水,(二)自行车转盘,43,五、刚体定轴转动的能量关系1.动能定理,化简1）用转动惯量表达刚体定轴转动的动能,质点系动能定理,理解(164页),44,2）用角量表示的力作功的形式,3）刚体定轴转动的动能定理形式(167页),2.重力场中,机械能守恒定律系统-刚体+地球,了解(165页),例题5.6(168),例题5.5(166页),45,例 质点与质量均匀的细棒相撞(如图),解：过程1 质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为,设，完全非弹性碰撞,求：棒摆的最大角度,所以，系统对o点的角动量守恒。即，,46,细棒势能,质点势能,过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球，只有保守内力作功，所以机械能守恒。设末态为势能零点,两式联立得解,47,刚体的定点运动(了解)一、基本特征 二、现象 三、解释,48,一、基本特征回转仪 绕对称轴高速旋转 陀螺 top1)对称轴 高速 2)定点 外力对定点求力矩二、现象对称轴绕定点旋转,演示,49,三、解释 1）必须具有对称轴 2）高速旋转,每瞬时外力矩只改变角动量的方向不改变角动量的大小,重力对定点o 的力矩,第5章结束,50,51,作业：5.18 5.19 5.20 5.21,
