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1、第一篇 工程力学基础第一章 刚体的受力分析及其平衡规律,1-1力及其性质,一.力和力系的概念力-物体间的一种相互作用。力使物体的运动状态或形状发生改变。力的效应 外效应使物体的运动状态发生改变 内效应使物体产生变形,小车的运动,吊车梁变形,理论力学主要研究力的外效应。力对物体的效应取决于力的三要素：大小；方向；作用点。力是一个具有固定作用点的定位矢量。,力的表示法：（1）黑体字母，如：R、F 等。相应的普通体字母R、F 表示其大小。（2）有向线段:,说明：以解析法计算力的大小时，线段AB长度可不按比例画出。,力通过物体直接接触或通过物体和场（重力场、电磁场等）的相互作用而产生。力的作用点即力的
2、作用位置 一般并非一个点。如两物体直接接触时的压力为面分布力，重力为体积分布力。若分布面积很小或研究力对物体的外效应时可将其简化为作用于接触面中心或重心的集中力。力的单位集中力：N、kN；面分布力：N/m2（Pa）、MPa、GPa,力系-作用在物体上的许多力。平衡力系-若物体在力系的作用下处于平衡状态，则这个力系成为平衡力系。平衡-物体相对于地面静止或做匀速直线运动。等效力系-两个力系对同一刚体的作用效果相同，称为等效力系。刚体-尺寸和运动范围远大于其变形量时可视为刚体。如机器上的轴：挠度5/1000跨距；转角（0.5 1）/m。,变形固体-研究物体变形时不能将物体视为刚体。合力与分力-如一力
3、与一力系等效则此力称为此力系的合力，此力系中各力称为此力之分力。力的合成-由分力求合力。力的分解-由合力求分力。,1、力的可传性-作用在刚体上的力，可沿其作用线移到刚体上任意一点而不改变此力对刚体的外效应（只适用于刚体）。,二、力的性质,2、力的成对性（作用与反作用定律）-两个物体之间的作用力与反作用力总是成对存在，且等值、反向、共线，分别作用在两个物体。3、力的可合性-作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。此合力也作用在该点，其大小和方向由这两力为邻边构成的平行四边形的主对角线确定。,力的平行四边形法则或三角形法则,4、力的可分性-利用平行四边形法则也可将作用于物体上的一个力分解为两
4、个力（有无穷多解）。工程上常将一力分解为互相垂直的两个分力（正交分力），称为正交分解。如下图所示：,F-切削力（横向切削即切槽）；Ft=Fsina切削抗力；Fr=Fcosa吃刀抗力。,5、力的可加可消性（加减平衡力系原理）,对受力刚体，可加上或去掉一个平衡力系，而不改变原力系对刚体的外效应（作用在刚体上的平衡力系中各力的外效应互相抵消了）。即，只相差一个平衡力系的两个力系作用效果相同（等效），可以相互替换。力的可传性原理可用其加以证明。,在研究力对物体的运动效应时，力可沿其作用线滑动，故将力视为滑动矢量。在研究力对物体的变形效应时，力的可传性原理不成立，此时力的作用点是决定力的作用效果的要素，
5、必须将力视为固定矢量。,注意：,三、力的平衡条件（物体平衡时所受力应满足的条件）,1、二力平衡定理作用在刚体上的两个力使刚体保持平衡的充要条件为：等值、反向、共线,如用钢丝绳起吊重物：（1）T=G 匀速升降或静止；（2）TG 加速上升；（3）TG 加速下降。,注意：,对非刚体，二力平衡条件必要而不充分-如柔索受拉、压。二力体（杆）-只受两个力作用而保持平衡的物体（或杆件）。二力杆未必为直杆。二力杆上两外力的作用线与两力作用点而与杆的实际形状无关。,二力构件,-刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点。利用力的可传性、可合性及力的平衡定理可证。,2、三力平衡汇交定理,三力汇交
6、一点,1-2刚体的受力分析,一、约束与约束反力自由体：能在空间沿任何方向，不受限制地自由运动的物体。如飞机、气球等。非自由体：运动在某些方向上受到限制而不能完全自由地运动的物体。约束对物体运动起限制作用的其他物体。被限制运动的物体称为被约束物。,约束力或约束反力约束给被约束物体的力。如：轴受轴承限制只能转动，轴称为约束，轴是被约束物体；机床工作台受床身导轨限制只能沿导轨纵向移动，床身导轨是约束，工作台是被约束物。约束力的方向 与该约束所能限制物体运动的方向相反，大小一般未知，需由平衡条件求出。主动力（载荷、给定力）约束力以外的所有力。如：重力、切削力、电磁力、弹簧力，等等。一般为已知，或可测定
7、，或可用静力学以外的方法计算。,1、柔软体约束（链条、皮带、钢丝绳等）理想柔索不可伸长，只能受拉，无抗弯、承压能力。柔索给被约束物体的力，方向一定沿着柔索，并且只能是拉力。,用钢丝绳通过定滑轮匀速起吊重物,吊环及重物受力,机械设备上常见的约束,胶带构成的约束,2、光滑接触面约束,面间摩擦力远小于其它各力时可忽略不计而认为接触面是光滑的。光滑接触面给被约束物体的力，方向必沿着接触面在接触点的公法线，并且只能是压力（不能互相嵌入）。,如搁在V形铁上的圆棒：,3、滑铰链约束-约束和被约束物以光滑圆柱面联结,固定支座-约束物固定不动的铰链。如轴承座即此。根据光滑接触面约束力的特点：光滑铰链给被约束物体
8、的力必沿着接触点的公法线，且只能是压力。由于接触点在圆周上的位置不易确定，所以可将约束力用两个正交分力Nx、Ny表示。,固定铰链支座底座固定在支承面上可动铰链支座底座下面安放辊轴，只能阻止物体沿垂直于支承面的方向运动。约束反力方向：垂直于支承面并指向非自由体。,铰链支座约束,铰链约束,铰链支座,简图和约束力画法：,1约束；2被约束物,二、受力分析和受力图,受力分析-研究某一指定物体的受力情况。研究对象或分离体-为研究方便，将所研究的物体从与之有关的物体中分离出来，并将其所受各种力画在图上。这样被分离出来的物体称为研究对象或分离体。受力图-画有分离体及其所受各力的图。,画受力图的步骤,（1）确定
9、研究对象（一般应单独画出）。研究对象为受力物，与之有关的其它物体为施力物。（2）画给定力。按已知条件画在研究对象上。（3）画约束力。判明约束的个数、种类，以约束力代替约束。注意：以物系（多个物体组成之系统）为研究对象时，受力图上不画内力（成对出现，对物系整体运动物影响）。内力-系内物体之间的作用力。外力-系外物体对物系的作用力。,例1：圆柱O重G，杆AB、BC自重不计。画圆柱O、AB杆及圆柱O和AB杆组成的物系的受力图。,解：1、以圆柱O为研究对象；画主动力重力G；解除两处约束（均为光滑面）代之以约束力。,2、AB杆,注意：BC为二力杆NB方向；三力平衡汇交定理NA方向。3、O与AB构成的物系
10、注意：ND为内力，不必画出。铰链A处约束力方向未知，可用正交分力表示。,例2：梯子放在光滑地面上，AC、BC各重W，彼此用销钉C和绳子EF相连，今有一人重G站在D处，试分析整个梯子以及AC、BC部分的受力情况。,解：分别以整个梯子、以及AC、BC为研究对象，画受力图如下：,1-3平面汇交力系的简化与平衡,平面力系-力系中各力作用线在同一平面内。平面平行力系-各力作用线互相平行的平面力系（上例中整个梯）。平面汇交力系-各力作用线汇交于一点的平面力系。平面共点力系-各力作用于一点的平面力系。平面一般力系-各力作用线任意分布的平面力系（上例中半梯受）。,一、平面汇交力系的简化,1、概述力系的简化求一
11、力与一力系等效。即求力系的合力。,可传性原理,可合性,平面汇交力系,平面共点力系,合力,结论：平面汇交力系合成的结果为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和。即,平面汇交力系平衡的充要条件是力系的合力为零，即,几何条件为力多边形自行封闭。,平面汇交力系平衡的几何条件,设力F作用在刚体上的A点，在力F作用线所在平面取x轴，过F始点A和终点B向x轴引垂线，得垂足a、b，则线段ab的长度冠以适当的正负号称为力F在x轴上的投影，用X表示。从a到b与x轴正向一致时X为正，反之为负，故力的投影为代数量。,2、力在坐标轴上的投影,可以看出：X=Fcos；Y=Fsin；-
12、F与x轴所夹锐角。若已知X、Y，则F的大小和方向为：F从原点画出时所在象限由X、Y正、负号判断。,3、合力投影定理,设平面共点力系、（与某汇交力系等效）作用在刚体上的A点，由图可知：ag=ab+be-eg=ab+ac-ad，即RX=X1+X2+X3,结论：合力在某一坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,-合力投影定理,得到Rx、Ry后，即可求出合力的大小和方向：,a-与x轴所夹锐角。,之方向根据a 和Rx、Ry的正负号判断。,例3：已知F1=100N，F2=100N，F3=150N，F4=200N，求合力。,解：,二、平面汇交力系的平衡方程,1、平衡方程-平衡条件的解析表达式平面
13、汇交力系的平衡条件为其合力等于零，即由此可得：即力系中各力在两个任选的互相垂直的坐标轴上投影的代数和均为零。平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可求解两个未知量。,2、解题步骤,（1）确定研究对象；（2）受力分析、画受力图；（3）选坐标轴计算各力投影（尽量使未知力平行于坐标轴）；（4）列平衡方程求解未知力。对物系平衡问题，有时需对不同的研究对象列平衡方程。,例4:圆筒形容器重G，置于托轮A、B上，求托轮对容器的约束反力。,解：以容器为研究对象，画受力图。取坐标系xoy，由平衡方程,X=0，NAsin30o-NBsin30o=0 NA=NB Y=0，2NAcos30o-G=0，NA=G/2cos3
14、0o=G/=0.58G,例5：均质球放在板AB与墙AC之间，AB自重不计，求A处约束反力及绳子BC的拉力。,解：求T及RA，所以首先应以板AB为研究对象，画受力图（由三力平衡汇交定理确定RA方向）。但、均为未知力，无法求解。所以应先以圆球为研究对象，画受力图，建坐标系。,由Y=0得：,再以平板为对象，由,1-4力矩、力偶、力的平移定理,一、力矩的概念设刚体受力F，在F 作用面内任取一点O称为矩心，矩心O到力F 作用线的垂直距离h称为力臂，则力F 对同平面内点O（矩心）的矩定义为,规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时力矩为正，反之为负。单位：SI制：牛顿米，Nm,力使物体绕矩心逆转为正，反之为
15、负。显然，F=0 或 h=0时，；所取矩心位置不同，力臂大小不同，力矩及其转向都可能改变，所以：同一力对不同距心的矩一般并不相等。力矩是力使物体绕矩心转动效应的度量。,（平汇力系）合力对平面内任一点的矩，等于各分力对同一点矩的代数和。即：若，则,合力矩定理：,二、力偶,1、力偶的概念力偶一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系，用(F,F)标记。力偶臂力偶中两力线间垂直距离d。力偶中两力不满足二力平衡条件，故在力偶作用下刚体不能保持平衡。力偶只能使物体产生转动效应。,电机转子,汽车方向盘,力偶对物体的作用效应（转动效应）用力偶矩来度量。力偶矩定义：力偶中一力的大小与力偶臂的乘积，即规定：使物体
16、逆转为正“+”。力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩。证：在作用面内任取一点O：,2、力偶的性质,（1）等效变换性只有力偶矩才唯一地决定力偶对物体的作用。力偶的等效条件为：力偶矩彼此相等。A、只要保持力偶矩大小及其转向不变，力偶可在其作用面内任意转移（转动或移动）。B、只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用。,因此，力偶可用标明力偶矩的弧形箭头表示。,平面力偶等效变换,（2）基本物理量,一个力偶在任何情况下都不能与一力等效，也不能被一力平衡（合成一个合力）。力偶只能与力偶等效或平衡。力偶具有基本物理量的属性。（3）可合成性（等效取代）平面力偶系
17、：作用在刚体上同一平面内的若干个力偶。平面力偶系只能与一个力偶等效，这个力偶称为该力偶系的合力偶。合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和，即：平衡条件:,3、力的平移定理,平移定理：作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意指定点，但必须同时附加一力偶，此力偶的力偶矩等于原来的力对指定点的矩。,力的平移定理反映了力与力偶这两个基本物理量的等效取代关系。例：丝锥扳手单侧受力容易将孔攻偏。,1-5平面一般力系的简化与平衡,在工程计算中常将空间力系的平衡问题转化为平面力系处理（如机床主轴传动力、切削力和支反力构成空间力系）。平面一般力系在工程中极为常见，分析和解决平面一般力系问题的方法又具有普遍性，因此在静
18、力学中占有重要地位。,一、平面一般力系向一点简化,平面一般力系,平汇力系+平面力偶系,结论：平面一般力系向其作用面内任一点O简化，可以得到一个力和一个力偶，这个力矢等于力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢；这个力偶的力偶矩等于力系中各力对简化中心O的矩的代数和，称为原力系对O点的主矩。即平面一般力系对刚体的作用与主矢RO和主矩mO等效。,注意：力系主矢的大小和方向均与简化中心O的位置无关，而主矩的大小和转向与简化中心O的位置有关。,力系对不同简化中心的主矩,二、平面一般力系简化结果的讨论,由前可知，平面一般力系向任选的简化中心简化一般来说可以得到一个力RO和一个力偶mO，但这并非最后结果，实际
19、可能出现以下几种情况。,1、简化为合力,当RO0，mO=0时，原力系与RO等效，RO=Fi，作用线通过简化中心。当RO0，mO0时，可应用平移定理将作用在同平面内的RO和mO合成一个合力：,利用上述讨论可将合力矩定理推广到平面一般力系：mO(R)=Rd=Rd=mO，而已知mO=mO(Fi)，所以 mO(R)=mO(Fi)。合力矩定理：平面一般力系的合力对其作用面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和。利用合力矩定理，将力分解为分力求矩有时可使计算简化。,2、简化为力偶：,RO=0，mO0原力系与力偶mO等效，这时主矩mO即为原力系的合力偶矩。这时简化结果与简化中心的位置无关。3、力系平
20、衡：RO=0，mO=0 这时力系必定平衡。,综上可知，平面一般力系简化的最后结果有三种可能：,（1）平衡；（2）简化为合力；（3）简化为合力偶。换言之：平面一般力系若不平衡，则只可能简化为一合力或合力偶。,三、平面一般力系的平衡条件与平衡方程,平衡条件：力系的主矢和对任一点的主矩都分别为零，即：平衡方程（一般形式）：可求解三个未知量。,平面一般力系平衡的充要条件：力系中各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和为零，以及各力对任一点O的矩的代数和也等于零。两力矩式（两点式）：注意：AB连线不与x轴垂直。三力矩式：注意：A、B、C三点不能共线。,平面平行力系、汇交力系及力偶系均为平面一般力系的特殊情况
21、，所有平面力系的平衡问题均可用平面一般力系的平衡方程求解。平面平行力系：（取y轴与各力平行，则 自然满足）平面汇交系：（以汇交点为简化中心，则不管是否平衡 均成立，不再是平衡的必要条件，故可舍去）。平面力偶系：（自然满足）,例6：均质杆AB重Q，=30,=60求绳拉力和铰A约束反力。,解：以杆AB为研究对象，画受力图，取坐标系xAy，由可得所以（负号表示与实际方向相反）,例7：折梯放在光滑水平面上，铅垂力F及、h、a、为已知，不计梯重，求绳DE的拉力。,解：以折梯整体为研究对象，受力如图。由MB=0得,再以右半梯AC为研究对象，受力如图。以两未知力交点A为矩心，由,例8：管道支架ABC，A、B
22、、C均铰接，已知支架承受两管道的重量均为G=4.5kN，图中尺寸均为mm。试求AB、BC杆受力。,解：以杆AB为研究对象，受力如图（杆BC为二力杆-不计自重）由 得：,四、固定端约束,固定端约束-既不能移动，又不能向任何方向转动的约束。如：,在给定力F 作用下A端既有移动又有转动的趋势，各点约束力大小及方向各不相同，构成一平面一般力系，向A点简化，得约束力主矢FA与主矩 MA，主矢FA 也可用两个正交分力表示。,五、静定与静不定问题,静定问题未知力数独立平衡方程数，利用平衡方程可解出全部未知力。静不定问题未知力数独立平衡方程数，必须增列补充方程才能解出全部未知力。求解静不定问题的方法将在材料力
23、学中介绍。,例9：求镗杆固定端约束力。已知Fx=3000N，Fy=600N，l=200mm，D=50mm。镗杆自重不计。,解：以镗杆为对象，画受力图，取坐标系xAy，并以A为矩心。由X=0,例10：伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重G=2200N，吊车D，E连同吊起重物各重F1=F2=4000N。有关尺寸为：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，=25。试求铰链A对臂AB的水平和铅直约束力，以及拉索BF的拉力。,解：1.取伸臂AB为研究对象。2.受力分析如图。,3.选如图坐标系，列平衡方程。,4.联立求解。FB=12 456 N FAx=11 290 N FAy=4 936 N,如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。,例 题 4,例题,平面任意力系,2.列平衡方程,3.解方程,1.取梁为研究对象，受力分析如图,解：,例 题 4,例题,平面任意力系,
