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1、,1.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，A90，ABAD，DECD交AB于E，DF平分CDE交BC于F，连接EF证明：CFEF,解：过D作DGBC于G由已知可得四边形ABGD为正方形，DEDC ADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A=DGC且AD=GD，ADEGDC，DE=DC且AE=GC在EDF和CDF中EDF=CDF，DE=DC，DF为公共边，EDFCDF，EF=CF,2.已知：在ABC中，A=900，AB=AC，D是AC的中点，AEBD，AE延长线交BC于F，求证：ADB=FDC。,证明：过点C作CGCA交AF延长线于GG+GAC=90又AEBDBDA+GAC=90
2、综合，G=BDA在BDA与AGC中，G=BDA BAD=ACG=90 BA=CABDAAGCDA=GCD是AC中点，DA=CDGC=CD由1=45，ACG=90，故2=45=1在GCF与DCF中，GC=CD 2=45=1 CF=CFGCFDCF G=FDC,又G=BDA ADB=FDC,3.如图，梯形ABCD中，ADBC，CDBC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OFOE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，求证：OE=OF,提示：由条件知BCD为等腰Rt，连接OC，可证OCKODH(AAS)，得OK=OH，再证FOHEOK(AAS)，
3、得OE=OF,4.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CNDM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由,解：四边形ABCD是正方形，DC=BC，DCM=NBC=90，又CNDM交AB于N，NCM+CMD=90，而CMD+CDM=90，NCM=CDM，DCMCBN，CM=BN，再根据四边形ABCD是正方形可以得到OC=OB，OCM=OBN=45，OCMOBNOM=ON，COM=BON，而COM+MOB=90，BON+MOB=90MON=90OM与ON之间的关系是OM=ON；OMON,5.如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延
4、长线上（CGBC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N探究：线段MD、MF的关系，并加以证明,证明：根据题意，知ADBCEAD=AEN（内错角相等），DMA=NME（对顶角相等），又M是线段AE的中点，AM=MEADMENM（ASA）AD=NE,DM=MN（对应边相等）连接线段DF，线段FN，线段CE是正方形的对角线，DCF=NEF=45，根据上题可知线段AD=NE，又四边形CGEF是正方形，线段FC等于FEDCFNEF（SAS）线段FD=FNFDN是等腰三角形线段MD线段MF,6.如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角NDM，角的两边
5、分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明,证明：BM+CN=NM延长AC至E，使CE=BM，连接DE，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，ABC是等边三角形，BCD=30，ABD=ACD=90，DB=DC，CE=BM，DCEBMD，MDN=NDE=60DM=DE（上面已经全等）DN=ND（公共边）DMNDENBM+CN=NM,7.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G判断CF与ED的位置关系，并说明理由,解：垂直理由：四边形ABCD为正方形，ABD=CBD，AB=BC，BF=B
6、F，ABFCBF，BAF=BCF，在RTABE和DCE中，AE=DE，AB=DC，RTABEDCE，BAE=CDE，BCF=CDE，CDE+DEC=90，BCF+DEC=90，DECF,8.如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45，BDCD过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF求证：CF=AB+AF,证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，BDCD，BECE，EBF+EFB=90，DFC+DCF=90，EFB=DFC，EBF=DCF，DB=CD，BA=CH，ABDHCD，AD=DH，ADB=HDC，ADBC，ADB=DBC=45，HDC=45，HDB=B
7、DCHDC=45，ADB=HDB，AD=HD，DF=DF，ADFHDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+AF，CF=AB+AF,9.如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；,证明：AC=BC，ACB=90，CAB=ABC=45CAD=CBD=15，BAD=ABD=30AD=BD在DE上截取DM=DC，连接CM，AD=BD，AC=BC，DC=DC，ACDBCDACD=BCD=45CAD=15，EDC=60DM=DC，CMD是等边三角形CDA=CME=120CE=CA，E=CADCADCEMME=ADDA+DC=M
8、E+MD=DE即AD+CD=DE,10.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分DAE，求证：AE=EC+CD,证明：AF平分DAE，D=90，FHAE，DAF=EAF，FH=FD，在AHF与ADF中，AF为公共边，DAF=EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等），AHFADF（HL）AH=AD，HF=DF又DF=FC=FH，FE为公共边，FHEFCEHE=CEAE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，AE=EC+CD,11.已知梯形ABCD中，ABCD，BDAC于E，AD=BC，AC=AB，DFAB于F，AC、DF相交于DF的中点O求证：AB
9、+CD=2BE,证明：过D作DMAC交BA的延长线于M梯形ABCS中，AD=BC，BD=AC又CDAM，DMAC，四边形CDMA为平行四边形DM=AC，CD=AMMDAC，又ACBD，且AC=BD，DMBD，DM=BD，DMB为等腰直角三角形又DFBM，DF=BFBM=2DF=2BFAM+AB=2BFCD=AM，AB+CD=2BFAC=BD=AB，在BEA和BFD中，BEABFDBE=BFAB+CD=2BF，AB+CD=2BE,12.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E求证：AD=DE,证明：（1）CF平分BCD，BCF=DCF
10、在BFC和DFC中，BFCDFCBF=DF，FBD=FDB连接BDDFAB，ABD=FDBABD=FBDADBC，BDA=DBCBC=DC，DBC=BDCBDA=BDC又BD是公共边，BADBEDAD=DE,13.如图，在直角梯形ABCD中，ADDC，ABDC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AGBC于E求证：CF=CG；,证明：连接AC，DCAB，AB=BC，1=CAB，CAB=2，1=2；ADC=AEC=90，AC=AC，ADCAEC，CD=CE；FDC=GEC=90，3=4，FDCGEC，CF=CG,14.如图，已知P为AOB的平分线OP上一点，PCOA于C，
11、PA=PB，求证AO+BO=2CO,证明：过点P作PQOB于Q，则PQB=90OP平分AOB，且PCOA，PQOBPC=PQ在RtPOC与RtPOQ中，PC=PQ PO=PORtPOCRtPOQ（HL）OC=OQ2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在RtPCA与RtPQB中，PC=PQ PA=PBRtPCARtPQB（HL）CA=QB又2OC=OC+OB+BQ2OC=OC+OB+CA=OA+OB,15.已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC求证：BG=FG；,证明:ABC=90，DEAC于点F，ABC=AFEA
12、C=AE，EAF=CAB，ABCAFEAB=AF连接AG，AG=AG，AB=AF，RtABGRtAFGBG=FG,解：ABE、ADF是等边三角形FD=AD，BE=ABAD=BC，AB=DCFD=BC，BE=DCB=D，FDA=ABECDF=EBCCDFEBC，AF=FD，AE=DC，EF=CFEAFCDFCDF=EAF，AFC=AFE+EFD+DFC，AFE+EFD=60AFC-DFC=60AFE=DFCEFC=60同理，FEC=60CF=CEECF是等边三角形,16.如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边ABE、ADF，连接CE、CF，求证：CDFEBC；CDF=EAF
13、；ECF是等边,17.已知正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，过F点作EFBA于E，G为DF中点，连接EG，CG求证：EG=CG；,证明：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在DCG与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMGMF=CD，FMG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MF=CB，EF=BE，MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC为直角三角形MG=CG，EG=MC，EG=CG,18.如图，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB，求证：AC=AE+CD,解：在AC上
14、取AF=AE，连接OF，则AEOAFO（SAS），AOE=AOF；AD、CE分别平分BAC、ACB，ECA+DAC=（180-B）=60则AOC=180-ECA-DAC=120；AOC=DOE=120，AOE=COD=AOF=60，则COF=60，COD=COF，又FCO=DCO，CO=CO，FOCDOC（ASA），DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CD,19.已知：如图，ADBC，AE平分BAD，AEBE；说明：AD+BC=AB,解：如图，在AB上截取AF=AD，AE平分BAD，DAE=FAE，AF=AD，AE=AE，DAEFAE，D=AFE，DEA=FEA，ADBC，DAB+CBA
15、=180，AEBE，BAE+ABE=90，DAE+CBE=90，ABE=CBE，同理，FEB=CEB，BE=BE，BEFBEC，BF=BC，AB=AF+FB=AD+BC,20.如图，已知RtABCRtADE，ABC=ADE=90，BC与DE相交于点F，连接CD，EB求证：CF=EF,证明：RtABCRtADE，AC=AE，AD=AB，CAB=EAD，CAB-DAB=EAD-DAB即CAD=EABCADEAB，CD=EB，ADC=ABE又ADE=ABC，CDF=EBF又DFC=BFE，CDFEBFCF=EF,21.将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F求证：AF+EF=DE,证明：连接BFABCDBE，BC=BE，AC=DEACB=DEB=90，BCF=BEF=90BF=BF，RtBFCRtBFECF=EF又AF+CF=AC，AF+EF=DE,
