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1、,动力学普遍方程 和拉格朗日方程,经典动力学的两个发展方面,拓宽研究领域,矢量动力学又称为牛顿欧拉动力学,牛顿运动定律由单个自由质点 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础),欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流体,寻求新的表达形式,将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 建立分析力学的新体系,拉格朗日力学,考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有,令系统有任意一组虚位移,系统的总虚功为,动力学普遍方程,系统的总虚功为,利用理想约束条件,得到,动力学普遍方程,任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。,动力学普遍方程的直角
2、坐标形式,动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。,动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。,应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。,由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。,应用 动力学普遍方程，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移
3、，并正确计算相应的虚功。,动力学普遍方程的应用,解：1、分析运动，施加惯性力,2、本系统有一个自由度，令其有一虚位移 x。,3、应用动力学普遍方程,其中：,例 题 2,离心调速器,已知：,m1球A、B 的质量；m2重锤C 的质量；l杆件的长度；O1 y1轴的旋转角速度。,求：,的关系。,解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标 q=,1、分析运动、确定惯性力,球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。,球A、B的惯性力为,2、令系统有一虚位移。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、rC。,3、应用动力学普遍方程,根据几何关系，有,3、应用动力学普遍方程,求：
4、1、三棱柱后退的加速度a1；2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。,解：1、分析运动,三棱柱作平动，加速度为 a1。,圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae=a1；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。,解：2、施加惯性力,解：3、确定虚位移,考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。,第一组,第二组,二自由度系统具有两组虚位移：,解：4、应用动力学普遍方程,令：,解：4、应用动力学普遍方程,令：,解：5、求解联立方程,拉格朗日(Lagrange)方程,主 动 力,虚 位 移,广义坐标,第i个质点的位矢,由动力学普遍方程，得,广义力,第一个Lagrange经典关系(消点),对任
5、意一个广义坐标 qj 求偏导数,如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求导数，则得到,第二个拉格朗日关系式,此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。,如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力,引入拉格朗日函数,LTV,得到主动力为有势力的拉格朗日方程,对于只具有完整约束、自由度为 N 的系统，可以得到由 N 个拉格朗日方程组成的方程组。,应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：,首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。,其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。,按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。
6、,将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的应用,解：1、系统具有一个自由度，取 为其广义坐标。,2、计算系统的动能：,其中：,3、计算广义力：,4、应用拉格朗日方程,解：1、系统具有二个自由度，取 x、为其广义坐标。,2、计算系统的动能：,其中：,3、计算广义力：,(1)令：,(2)令：,4、应用拉格朗日方程,解得：,例 题 6,质量为m、长度为l 的均质杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动。A端的小圆轮与刚度系数为k 的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为l0。,求：系统的运动微分方程,k,解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广
7、义坐标选择为q=(x,),x 坐标的原点取在弹簧原长的下方。,解：3、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为AB杆的动能,速度vC的确定,系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以O点为共同的势能零点：,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x,),x 坐标的原点取在弹簧原长处。,3、计算系统的动能：,速度vC的确定,系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成：,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。,2、系统具有两个
8、自由度，广义坐标选择为q=(,)。,3、计算系统的动能：,由运动学可知：,建立随质心O1平动的坐标系O1 x1 y1,3、计算系统的动能：,系统的势能：,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,拉格朗日(Lagrange)方程的初积分,（1）循环积分（广义动量守恒）,（2）能量积分（广义能量守恒）,当 L 函数不显含某一广义坐标 qj 时，qj _称为循环坐标，此时，有循环积分：,系统主动力有势，L 函数不显含时间t，约束是定常的，即有机构能守恒：,由能量积分得：,因 L 函数不显含，故 为循环坐标，系统存在循环积分：,结论与讨论,达朗贝尔原理、虚位移原理与 拉格朗日方程,达
9、朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。,虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。,通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。,结论与讨论,第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。,达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。,结论与讨论,第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。,基本形式,主动力有势形式,结论与讨论,结论与讨论,（1）循环积分（广义动量守恒）,（2）能量积分（广义能量守恒）,
