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1、第五章 动态元件与动态电路导论,包含动态元件的电路称为动态电路。,5.1 电容元件5.2 电感元件5.3 动态电路导论5.4 动态电路的初始状态与初始条件5.5 一阶线性常系数微分方程的求解,1.电容元件的特性,重点：,2.电感元件的特性,返 回,3.动态电路方程的初始条件的确定,下 页,上 页,返 回,5.1 电容元件,电容器,在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的部件。,电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,1.定义,电容元件,储存电能的两端元件。任何时刻其储存的电荷 q(t)与其两端
2、的电压 u(t)能用qu 平面上的一条曲线来描述。,库伏特性,o,返 回,下 页,上 页,返 回,任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正比。qu 特性曲线是过原点的直线。,2.线性非时变电容元件,电容器的电容,如不加声明，电容都是指线性非时变电容,返 回,下 页,上 页,返 回,电路符号,F(法拉),常用F，pF等表示。,单位,1F=106 F1 F=106pF,返 回,下 页,上 页,返 回,3.电容的电压电流关系,电容元件VCR的微分形式,u、i 取关联参考方向,如不加声明，电容都是指线性非时变电容,返 回,下 页,上 页,返 回,当 u 为常数(直流)时，i=0。电容相当于开路
3、，电容有隔断直流作用；,表明,某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容是动态元件；,返 回,下 页,上 页,返 回,实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压 u 必定是时间的连续函数。,返 回,下 页,上 页,返 回,某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。,表明,研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需要知道t0时刻开始作用的电流 i 和t0时刻的电压 u（t0）。,电容元件VCR的积分形式,返 回,下 页,上 页,返 回,当电容的 u，i 为非关联方向时，上述微分和
4、积分表达式前要冠以负号;,注意,上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。,返 回,下 页,上 页,返 回,4.电容的功率和储能,当电容充电，p 0,电容吸收功率。,当电容放电，p 0,电容发出功率。,功率,电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是储能元件，它本身不消耗能量。,u、i 取关联参考方向,表明,返 回,下 页,上 页,返 回,从t0到 t 电容储能的变化量：,电容的储能,返 回,下 页,上 页,返 回,电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变；电
5、容储存的能量一定大于或等于零。,表明,返 回,下 页,上 页,返 回,例,求电容电流i、功率P(t)和储能W(t),电源波形,解,uS(t)的函数表示式为:,返 回,下 页,上 页,返 回,解得电流,0,返 回,下 页,上 页,返 回,吸收功率,发出功率,返 回,下 页,上 页,返 回,返 回,下 页,上 页,返 回,若已知电流求电容电压，有,0,返 回,下 页,上 页,返 回,实际电容器的模型,返 回,下 页,上 页,返 回,实际电容器,返 回,下 页,上 页,返 回,电力电容,返 回,下 页,上 页,返 回,5.2 电感元件,电感线圈,把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈，当电流通过线
6、圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。,(t)N(t),返 回,下 页,上 页,返 回,1.定义,电感元件,储存磁能的两端元件。任何时刻，其特性可用i 平面上的一条曲线来描述。,韦安特性,o,返 回,下 页,上 页,返 回,任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁链 成正比。i 特性为过原点的直线。,2.线性非时变电感元件,返 回,下 页,上 页,返 回,电路符号,H(亨利)，常用H，mH表示。,单位,电感器的自感,1H=103 mH1 mH=103 H,返 回,下 页,上 页,返 回,3.线性电感的电压、电流关系,u、i 取关联参考方向,电感元件VCR的微分关系,根据电磁感应
7、定律与楞次定律,返 回,下 页,上 页,返 回,电感电压u 的大小取决于i 的变化率,与 i 的大小无关，电感是动态元件；,当i为常数(直流)时，u=0。电感相当于短路；,实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数.,表明,返 回,下 页,上 页,返 回,电感元件VCR的积分关系,表明,某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有电流值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电感元件也是记忆元件。,研究某一初始时刻t0 以后的电感电流，不需要了解t0以前的电流，只需知道t0时刻开始作用的电压 u 和t0时刻的电流 i（t0）。,注意,当电感的 u，i 为非关联方向时，
8、上述微分和积分表达式前要冠以负号;,上式中 i(t0)称为电感电压的初始值，它反映电感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。,返 回,下 页,上 页,返 回,4.电感的功率和储能,功率,u、i 取关联参考方向,当电流增大，p0,电感吸收功率。,当电流减小，p0,电感发出功率。,电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。,表明,返 回,下 页,上 页,返 回,从t0到 t 电感储能的变化量：,电感的储能,返 回,下 页,上 页,返 回,电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储
9、能不能跃变。电感储存的能量一定大于或等于零。,表明,返 回,下 页,上 页,返 回,实际电感线圈的模型,返 回,下 页,上 页,返 回,贴片型功率电感,贴片电感,返 回,下 页,上 页,返 回,贴片型空心线圈,可调式电感,环形线圈,立式功率型电感,返 回,下 页,上 页,返 回,电抗器,返 回,下 页,上 页,返 回,包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为动态电路。,1.动态电路,5.3 动态电路导论,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,特点,返 回,下 页,上 页,返 回,返 回,下 页,上 页,返 回,例,过渡期为
10、零,电阻电路,i=0,uC=Us,i=0,uC=0,k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：,k未动作前，电路处于稳定状态：,电容电路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,返 回,下 页,上 页,返 回,uL=0,i=Us/R,i=0,uL=0,k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：,k未动作前，电路处于稳定状态：,电感电路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,返 回,下 页,上 页,返 回,k未动作前，电路处于稳定状态：,uL=0,i=Us/R,k断开瞬间,i=0,uL=,工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电
11、压和过电流现象。,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,返 回,下 页,上 页,返 回,换路、暂态与稳态的概念,换路：电路结构或参数发生突然变化。,稳态：电路微分方程解中的暂态分量已衰减到零。有两类稳态电路：,返 回,下 页,上 页,返 回,暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。,过渡过程产生的原因：外因换路；内因有储能元件。,返 回,下 页,上 页,返 回,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量：,2.动态电路的方程,例,RC
12、电路,返 回,下 页,上 页,返 回,应用KVL和电感的VCR得：,若以电感电压为变量：,RL电路,返 回,下 页,上 页,返 回,一阶电路,结论,含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。,返 回,下 页,上 页,返 回,二阶电路,RLC电路,应用KVL和元件的VCR得：,含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。,返 回,下 页,上 页,返 回,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,描述动态电路的电路方程为微分方程；,动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。,二阶电路,二阶电路
13、中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,结论,返 回,下 页,上 页,返 回,高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；,返 回,下 页,上 页,返 回,复频域分析法,时域分析法,求解微分方程,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,返 回,下 页,上 页,返 回,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,直流时,返 回,下 页,上 页,返 回,t=0与t=0的概念,认为换路在t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,5.4 动态电路的初始状态与初始条件,初始条件为 t=0时u，
14、i 及其各阶导数的值。,注意,0,0,t,返 回,下 页,上 页,返 回,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,解,特征根方程：,通解：,代入初始条件得：,在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,明确,返 回,下 页,上 页,返 回,t=0+时刻,电容的初始条件,当i()为有限值时,证：由于有限电流 ic 在无穷小区间内的积零，因此,返 回,下 页,上 页,返 回,q(0+)=q(0),uC(0+)=uC(0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,电荷守恒,结论,返 回,下 页,上 页,返 回,电感的
15、初始条件,t=0+时刻,当u为有限值时,返 回,下 页,上 页,返 回,L(0)=L(0),iL(0)=iL(0),磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论,返 回,下 页,上 页,返 回,换路定律,电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,换路定律反映了能量不能跃变。,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,电路初始值的确定,(2)由换路定律,uC(0+)=uC(0)=8V,(1)由0电路求 uC(
16、0),uC(0)=8V,(3)由0+等效电路求 iC(0+),例1,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,iL(0+)=iL(0)=2A,例 2,t=0时闭合开关k,求 uL(0+),先求,应用换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,由0+等效电路求 uL(0+),注意,返 回,下 页,上 页,返 回,求初始值的步骤:,1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2.由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。,3.画0+等效电路。,4.由0+电路求所需各变量的0+值。,b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a.换路后的电路,（
17、取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,小结,返 回,下 页,上 页,返 回,iL(0+)=iL(0)=iS,uC(0+)=uC(0)=RiS,uL(0+)=-RiS,求 iC(0+),uL(0+),例3,解,由0电路得：,由0+电路得：,返 回,下 页,上 页,返 回,例4,求k闭合瞬间各支路电流和电感电压,解,由0电路得：,由0+电路得：,返 回,下 页,上 页,返 回,求k闭合瞬间流过它的电流值,解,确定0值,给出0等效电路,例5,返 回,下 页,上 页,返 回,返 回,下 页,上 页,返 回,电路的换路定则,证：由于有限电流 ic 在无穷小区间内的积零，因此,电容的
18、换路定则若换路瞬间电容电流 ic 为有限值，则,返 回,下 页,上 页,返 回,电感的换路定则若换路瞬间电感电压 uL 为有限值，则,返 回,下 页,上 页,返 回,根据换路前的电路求出 uc(t0-)和 iL(t0-)。,初始状态与初始条件的确定,对 t0 等效电路求解，求出所需初始电流和电压。,根据下述方法画出 t0 时刻的等效电路：换路后的电路；每一电感用一电流源替换，其值为 iL(t0)；每一电容用一电压源替换，其值为 uc(t0)；若独立源为时间函数，则取 t0 时刻的函数值；,依据换路定则确定 uc(t0)和 iL(t0)。,返 回,下 页,上 页,返 回,例1：电路如图，已知电路
19、换路前已达稳态，求 uc(0)和 ic(0)。,解：,由于换路瞬间 ic 不可能为无穷大（否则电阻上有无穷大电压，KVL将不成立。），因此,由0等效电路可求得,返 回,下 页,上 页,返 回,例2：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求 uL(0)、i(0)、i1(0)和iL(0)。,解：,由于换路瞬间 uL 不可能为无穷大（否则4电阻有无穷大电流，KCL将不成立。），因此,由0等效电路可求得,返 回,下 页,上 页,返 回,5.5 一阶线性常系数微分方程的求解,一阶齐次方程的求解,其中 x(t)为待求变量，A 及X0 均为常数。,方程和初始条件,返 回,下 页,上 页,返 回,（16）式为微分
20、方程的特征方程，其根称为微分方程的特征根或固有频率。可求得,求通解（满足（11）式且含有一个待定常数的解。）,返 回,下 页,上 页,返 回,确定待定常数K将初始条件（12）式代入通解（13）式，得,即,于是得到原问题的解。,例：求解方程,返 回,下 页,上 页,返 回,其中 x(t)为待求变量，w(t)为输入函数，A、B 及X0 均为常数。,方程和初始条件,一阶非齐次方程的求解,返 回,下 页,上 页,返 回,求 xh(t)前已求得其中 s 为微分方程的特征根。,求 xp(t)特解 xp(t)的 形式与输函数 w(t)的形式有关,返 回,下 页,上 页,返 回,确定待定常数K,求得 xh(t)和 xp(t)后，将初始条件代入通解（23）式，可确定待定常数K，从而得到原问题的解。,例：求解方程,解：特征方程,特征根,设,求得,通解,代入初始条件，得,原问题的解为,返 回,下 页,上 页,返 回,
