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1、二次函数图象和性质,知识回顾,1、二次函数的一般形式是怎样的？,y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0),探究新知,你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：,9,4,1,1,0,4,9,描点,连线,y=x2,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线,这条抛物线关于y轴对称,y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,议一议,(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？,观察图象,回答问题
2、：,(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？,当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小,当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.,抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,做一做,你能根据表格中的数据作出猜想吗？,(2)先想一想，然后作出它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,在学中做在做中学,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y
3、=-x2,当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.,当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.,y,抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.,画一画,在同一坐标系中画出函数y=3x2和y=-3x2的图象,desmos演示,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减
4、小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,归纳,做一做,(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的；在对称轴的右侧,y随着x的,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x 0时,y0.,解:(1)列表,(2)描点,
5、(3)连线,y=x2,画最简单的二次函数 y=x2 的图象,列表时应注意什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,二次函数 y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y=x2，,二次函数y=x 2 的图象是轴对称图形，,一般地，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c,抛物线 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线 的顶点,它是抛物线 的最低点,实际上,二次函数的图象都是抛物线，,对称轴是y轴,这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什
6、么？,抛物线与对称轴有交点吗？,巩固练习,例1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图象,解:(1)列表,(2)描点,(3)连线,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,观察,共同点:,不同点:,开口都向上;,顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a|越大，,在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。,在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
7、,抛物线的开口越小。,desmos演示,desmos演示,解:(1)列表,(2)描点,(3)连线,-,-2.25,-,-0.25,-0.25,-,-2.25,-,-2,-2,-,-,-,-,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-4.5,-4.5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,观察,函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,共同点:,开口都向下;,不同点:,顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a|越大，
8、,在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。,在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。,抛物线的开口越小,desmos演示,对比抛物线，y=x2和y=x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=ax2呢？,在同一坐标系内,抛物线 与抛物线 是关于x轴对称的.,1、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y
9、的值最大，最大值是，当x 0时，y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,练习巩固,向上,向下,(0,0),(0,0),y轴,y轴,当x0时，y随着x的增大而减小。,当x0时,y随着x的增大而增大。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2(a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,归纳小结,当x0时，y随着x的增大而增大。,当x0时，y随着x的增大而减小。,抛物线的开口就越小.,|a|越小,抛物线的开口就越大.,1、二次函数y=ax2的图象是什么？,2、二次函数y=ax2的图象有何性质？,3、抛物线y=ax2
10、 与y=-ax2有何关系？,小结,归纳,二次函数 的图象及性质：,1.图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点。,归纳,二次函数 的图象及性质：,2.当a0时，开口向上，顶点是最低点，a值越大，抛物线开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。,归纳,二次函数 的图象及性质：,3.当a0时，开口向下，顶点是最高点，a值越大，抛物线开口越大；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。,巩固,1、说出下列函数图象的性质：,2、已知二次函数 的图形经过点(-2，-3)。(1)求a的值，并写出函数解析式；(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；,巩固,巩固,3、若抛物线 的开口向下，求n的值。,巩固,4、若抛物线 上点P的坐标为(2，-24)，则抛物线上与P点对称的点P的坐标为。,巩固,5、若m0，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、,y1、y2、y3的大小关是。,(m+3，y3)在抛物线 上，则,
