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1、工程力学,第十章变形与刚度计算,2,第十章 变形与刚度计算,10-1 轴向拉伸与压缩的变形,10-2 圆轴扭转变形及刚度计算,10-3 弯曲变形与刚度计算,10-4 能量法简介,10-5 简单静不定问题的求解,3,2-6 轴向拉伸与压缩的变形,一 纵向变形,E为弹性摸量,EA为抗拉刚度,4,二 横向变形,泊松比:,横向应变:,钢材的E 约为200 GPa，m 约为0.250.33,5,i)多力杆：,的应用推广：,6,讨论题 在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘帖两个应变片e1和e2，在F力作用下，若测得e1=-120106，e2=40106，则该试件材料的泊松比是。,(A)m=3；,(B)m=-
2、3；,(C)m=1/3；,(D)m=-1/3；,C,7,讨论题 图示阶梯形杆总变形l=。,A,8,讨论题.抗拉（压）刚度为EA的等直杆受力如图所示，试问：,（1）总伸长是否为？,如有错误，正确的算式是什么？,9,例10-1、阶梯杆所受载荷及尺寸如图示，E=200GPa,s=170MPa。试求：杆的总变形量。,解：轴力图如图所示,10,解：,1)计算轴向应变,2)计算横截面应力,3)计算横向应变,4)计算横向变形,压紧力：,11,10-2 圆轴扭转变形及刚度计算,1、变形计算,或,表示的是扭转角沿长度方向的变化率,12,距离为L的两个横截面之间的相对转角则为：,若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等
3、直杆,若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆,(单位：rad),(单位：rad),相对扭转角 GIP 称作抗扭刚度,13,2、刚度计算,(rad/m),(/m),或,注意区分两截面之间的相对扭转角与单位长度扭转角,14,例103 d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m，G=80GPa，=0.5/m，(1)试校核轴的刚度；(2)计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。,解：,Tmax=9560N.m,1、刚度计算,所以刚度符合要求。,MA=15.9kN.m,MB=MC=4.78kN.m,15,2、变形计算,计算变形时，扭矩T 应取代数值。,轴两端截面之间的相对扭转角为：
4、,16,例10-4、已知F=60kN，E=200GPa，G=0.4E，不考虑AB杆的变形，求B截面的垂直位移。,解：,17,1、挠度,一、基本概念,横截面形心 C(即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移,称为该截面的挠度。用w表示。,挠度：向上为正,向下为负.,10-3 弯曲变形与刚度计算,18,2、转角,横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。用 表示,自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。,19,3、挠曲线,挠曲线,式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度。,挠曲线方程为,梁变形后的轴线称为挠曲线。,20,4、挠度与转角的关系,21,二、用积分法求弯曲变形,推
5、导纯弯曲正应力公式时，得到：,横力弯曲时忽略剪力对变形的影响：,由数学知识可知：,略去高阶小量,22,在规定的坐标系中,x 轴水平向右为正,w 轴竖直向上为正.,曲线凸向上时：,曲线凹向上时:,23,由于弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了 项;,24,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,25,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,26,刚度条件,数学表达式,刚度条件的应用,(1)校核刚度,(2)设
6、计截面尺寸,(3)求许可载荷,27,例10-5、已知EIz为常数，M0，L，求qA，qB，及中点的挠度；若，试校核刚度。,解：,1、外力分析,挠曲线、转角、挠度方程,3、变形分析,2、内力分析,28,确定积分常数,得：,所以,求qA，qB，wL/2,29,4、刚度计算,所以，刚度满足要求。,校核刚度,30,1、叠加法原理（力的独立性原理）,在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时，如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、变形等)成线性关系,则各载荷与其产生的效果互不影响，各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单独作用时所产生的效果之和。,2、求梁的弯曲变形的叠加法,分
7、别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。,三、用叠加法求梁的弯曲变形,31,例106、一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图 所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转角 A,B。,解：,将荷载分为两项简单荷载,32,讨论：如何分解载荷？,分解原则：分解后每根梁只作用单个载荷。,33,讨论：如何分解载荷？,如何求B截面的挠度及转角？,34,如何用另一种方法求C截面及B截面的挠度及转角？,35,使用叠加法计算挠度和转角时，根据不同的载荷情况和梁的变形形式，可采取两种处理方式：,(1)载荷叠加：将载荷分解为几种基本载荷，梁某处的总变形等于
8、各基本载荷作用下在该处产生变形的代数和。,(2)变形叠加：将梁分解成以一定方式连接的几种受基本载荷作用的简单梁，利用变形积累的原理，求梁某处的变形。在将梁分解成简单梁时，要求各简单梁的内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束条件可以不同。,逐段刚化法,内力叠加法,36,例10-7、试用叠加法(变形叠加)求C 截面的挠度。,AC段,BC段,第1根,第2根,37,例10-8、试用叠加法(变形叠加)求C 截面的挠度。,解：,（1)BC段变形，AC段刚化,(2)AC段变形，BC段刚化,(3)总变形,思考题：求wB,38,例10-9、用叠加法(变形叠加)求B截面的挠度。,解：,（1)BC段变形，AC段刚
9、化,(2)AC段变形，BC段刚化,39,(3)总变形,40,例10-10、已知F=60N，E=210GPa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。,解：,1）AC段刚化,2）AB段刚化,41,例10-11、已知F=60N，E=200GPa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。,解：,1）AC段刚化,2）AB段刚化,42,降低梁的最大弯矩值,1、合理地布置梁的荷载,四、提高梁的承载能力措施,43,2、合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时,44,增大Wz,1、合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,45,工字形截面与框形截面类似.,2、合理的放置,46,普
10、遍形式的莫尔积分,注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力.,10-4 能量法简介,能量法,利用与功和能有关的一些定理（能量原理）求解可变形固体的位移、变形等的方法.,47,弯曲：,拉压：,扭转：,桁架：,48,利用莫尔积分求构件任意点沿任一方向的位移的步骤：,1、去掉原载荷，在所求位移点，沿所求位移方向加单位载荷,3、利用莫尔积分求位移,2、分别写出对应于原载荷及单位载荷的内力方程,弯曲,拉伸,扭转,位移等于原载荷的内力乘以单位载荷的内力除以刚度后乘以长度的微量再积分,49,A,例题1012 抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用莫尔定理求梁中点的挠度 fc
11、和支座A截面的转角。,q,B,C,l,l/2,解：,2、分别写出对应于实际载荷及单位力的弯矩方程,一、求C 截面的挠度,1、去掉实际载荷，在C点加垂直方向的单位力，,50,3、求位移,51,ql/2,A,A,B,二、求A截面的转角,1、去掉实际载荷，在 A 截面加一单位力偶,2、相应的弯矩为,q,C,l,l/2,（顺时针）,ql/2,3、求位移,52,例1013、刚架的自由端A作用集中力F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响.计算A点的垂直位移及B截面的转角。,解：一、计算A点的垂直位移,1、去掉实际载荷，在A点加垂直向下的单位力,2、写出相应的弯矩方程,AB:,BC:
12、,53,3、求位移,AB:,BC:,54,二、计算B截面的转角,AB:,BC:,2、写出相应的弯矩方程,3、求位移,1、在B上加一单位力偶矩,55,例1014、由三杆组成的刚架，B，C为刚性节点，三杆的抗弯刚度都是EI，试用莫尔定理求A1，A2两点的相对位移。,A1,A2,F,F,56,解：1、附加单位载荷,2、列出相应的弯矩方程.,A1B：,A1,A2,B,C,l,BC：,CA2：,3、求位移,57,1、附加单位载荷,2、列出相应的弯矩方程.,A1B：,BC：,CA2：,3、求位移,58,解法一：（莫尔积分）,BC:,AB:,在 C点加垂直方向单位力,例1015、图示为一水平面内的曲杆，B
13、处为一刚性节点,角ABC=90在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和GIp，求 C 点垂直方向的位移。,59,BC:,AB:,60,10-5 简单静不定问题的求解,静定问题：,未知力个数 独立的静平衡方程个数,静不定问题：,未知力个数 独立的静平衡方程个数,静定,静不定,静不定,静不定次数=未知力个数静力平衡方程的个数,1、静不定问题的定义：,61,2、静不定问题的一般解法,（1）静力平衡方程,（2）变形协调方程,（3）物理关系方程,（4）补充方程,联立求解,3、超静定问题解法举例,（变形比较法）,62,例题10-16、设 1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示,l
14、1=l2=l，A1=A2=A,E1=E2=E,3杆的长度 l3,横截面积 A3,弹性模量E3。试求在沿铅垂方向的外力F 作用下各杆的轴力.,解：,（1）研究节点A，,列平衡方程,（2）变形协调方程,由于问题在几何，物理及受力方面都是对称，所以变形后A点将沿铅垂方向下移。变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起,63,变形协调方程为,(3)补充方程,物理关系方程为,64,(4)联立平衡方程与补充方程求解,65,例10-17、图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为 A，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为.试求温度升高 T时杆内的温度应力.,66,解
15、:,变形相容条件是,杆的总长度不变，即,变形协调方程,1、外力分析,静力平衡方程：,2、内力分析,67,物理关系方程,补充方程,解得：,3、应力分析（计算温度应力）,68,图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，因而产生轴力.3杆的轴力为拉力，1，2杆的轴力为压力.这种附加的内力就称为装配内力.与之相对应的应力称为装配应力.,1、外力分析（略）,解：,2、内力分析（求轴力）,静力平衡方程,69,代表杆3的伸长,代表杆1或杆2的缩短,代表装配后A 点的位移,变形协调方程,物理关系方程,70,补充方程,联立平衡方程与补充方程解得,3、应力计算（略）,71,例题10-1
16、8、两端固定的圆截面杆AB，在截面C处受一个扭转力偶矩M 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP，试求杆两端的支反力偶矩。,72,解：去掉约束，代之以支反力偶矩,这是一次超静定问题，须建立一个补充方程。,固定端A相对固定端B的相对扭转角为零。,杆的变形相容条件是：,73,（1）变形几何方程,（2）由物理关系建立补充方程,解得,74,例题10-19 图示静不定梁抗弯刚度为EI，试求B处支座反力。,解：1、建立相当系统：,将可动绞链支座作看多余约束,解除多余约束代之以约束反力 FB。得到原超静定梁的相当系统。,2、列几何方程变形协调方程,变形几何方程为,75,3、列物理方程变形与力的关系,将变形与力的关系代入变形几何方程得补充方程,4、建立补充方程,由该式解得,76,5、求解其它问题（反力、应力、变形等）,只要求出了多余约束反力，求解其它问题与静定问题完全一致,第十章结束,
