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1、第四章 动力学分析和力,机器人静力平衡拉格朗日动力学方程,主要内容：,机器人静力平衡,机器人与环境之间存在相互作用力和力矩；机器人各关节的驱动力通过连杆传递到机器人手；在静止状态下，机器人各关节传递到机器人手的力和力矩与外界作用在机器人手上的力和力矩构成平衡关系。因此，关节力和力矩与机器人手受到外界力和力矩所作的功相等。,机器人静力平衡,机器人静力平衡,虚功原理：,微分运动：,结 论：,根据虚功原理求关节力与机器人手受力之间的关系,对上式变换：,机器人静力平衡,这就是关节空间与直角坐标空间之间力的相互变换！,例题,机器人静力平衡,如图所示，一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力，求相应的关
2、节力矩。,坐标系间力和力矩的变换,机器人静力平衡,虚功原理：,微分运动：,力：,机器人静力平衡,当其中一个坐标系为参考坐标系时：,当已知机器人手在参考坐标系中施加的力和力矩转换为相对于手自身坐标系的力和力矩！,机器人静力平衡,例题P128,为什么要使用动力学分析,位置运动学解决的主要问题；微分运动学解决的主要问题；静力学分析解决的主要问题；,可是，在考虑加、减速过程、摩擦等情况下，前面所学知识并不能解决关节力与关节运动之间的关系！,汽车加速过程是怎样的？,机器人动力学分析的作用,用于机器人机械结构、驱动器、减速机构等的选型和设计；对于给定的机器人系统，用于校核机器人运动目标是否能实现；其它分析
3、，如不同关节之间运动和力的相互影响等。,归结为两个问题,给出已知的轨迹点上的、，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量。这可用于驱动器选型。已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量,求机器人所产生的运动、及。这对模拟和优化机器人的运动是非常有用的。,动力学分析方法有多种，如：拉格朗日(Lagrange)方法，牛顿-欧拉(NewtonEuler)方法，高斯(Gauss)方法，凯恩(Kane)方法等。拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较明确，对理解机器人动力学比较方便。,动力学分析方法,拉格朗
4、日方程,拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能 和势能 之差，即,动能和势能怎样计算？,式中,为系统动能总和；,为系统势能总和。,拉格朗日方程：,求力,求力矩,拉格朗日方程,公式的合理性解释！,滑动关节,转动关节,用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤：(1)选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量(2)选定相应的关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时,则Fi为力,当qi正是角度变量时,则Fi为力矩。(3)求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。,拉格朗日方程,拉格朗日动力学方程实例,分别用拉格朗日动力学和牛顿力学方法
5、推导如图所示的动力学方程。,1、拉格朗日法,拉格朗日方程,2、牛顿法,自己看懂P109的例2！,如图所示，选取坐标系。连杆1和连杆2的关节变量分别为转角 和，相应的关节1和关节2的力矩是 和。连杆1和连杆2的质量分别是 和，杆长分别为 和，质心分别在 和 处，离关节中心的距离分别为 和。,杆1质心k1速度平方为,杆2质心k2速度平方为,因此，杆1质心 的位置坐标为：,含有 或 的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中：含有 和 的项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩项;含有 的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项：含有 的项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。
6、,拉格朗日动力学方程分析,拉格朗日动力学方程分析,含有 和 的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：含有 的项表示关节2速度引起的向心力对关节l的耦合力矩项；含有 的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项。,含有 的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,其中：含有 的项表示哥氏力对关节1的耦合力短项；含有 的项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。,拉格朗日动力学方程分析,只含关节变量 和 的项表示重力引起的关节力矩项。其中：含有 的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项；含有 的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。,拉格朗日动力学方程分析,从上面推导可以看出，很简单的二自由
7、度平面关节机器人其动力学方程已经很复杂了，很多因素都在影响机器人的动力学特性。,对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方程更庞杂，推导过程也更麻烦。不仅如此，对机器人实时控制也带来不小的麻烦。通常，有一些简化问题的方法：当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有、等项可以省略；当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含、的项有可能给予省略。,拉格朗日动力学方程分析,绕固定轴转动的连杆动能,分解为刚体上以某点为参考点的平动动能和绕该参考点的转动动能。,例4：连杆不再简化成质点，而是有分布质量,自行练习！,多自由度
8、机器人的动力学方程,求解思路是一样的，仍然按照前述步骤；当自由度增多时，求动能K采用更通用的方法。求动能的思路是：通过对每个连杆的每个微元求动能，然后积分。通过先求连杆某一点位置坐标的方法求解该点速度。连杆某点的位置坐标采用第二章的运动学方程。,第二章回顾：,多自由度机器人的动力学方程,连杆坐标变换,机器人手位姿,连杆I任一点在参考坐标系中的坐标：,涉及运动学方程对时间t求导,多自由度机器人的动力学方程,连杆某点速度：,其中：,因此有：,多自由度机器人的动力学方程,某一连杆上任一点速度为：,多自由度机器人的动力学方程,所以：,微元动能：,某一连杆质量单元动能为：,多自由度机器人的动力学方程,机器人总动能为：,多自由度机器人的动力学方程,若考虑电机转子及减速机构在内：,机器人总势能为：,拉格朗日函数：,多自由度机器人的动力学方程,P119开始看书，直到P125！,
