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1、1,第八章 固体中的热传导Chapter 8 Conduction of Heat in Solids,2,8.1 傅立叶导热定律及导热系数Fouriers Law and Thermal Conductivity of Materials,一、傅立叶导热定律(Fouriers Law)傅立叶导热定律是描述以导热方式传热热流密度的基本表达式。傅立叶导热定律是个实验定律，即根据实验规律总结出的一种定律。在导热传热中，将y方向上的导热热流密度(the rate of heat flow)写为：(7-1)上式为一维方向上的傅立叶导热定律的形式。,3,在三维空间中傅立叶导热定律的表达式为：(1)式中q
2、热流密度w/m2；导热系数w/mk(7-1)式和(1)式表明：某方向上的导热热流密度与该方向上的温度梯度成正比；负号表明传热方向与温度梯度方向相反，即导热热流方向为温度降低的方向；系数为导热系数，它表明物体的导热能力的大小，取决于导热物质的物理性质，通常取温度T变化。=(T)w/m(1)式还表明物质中某点P处最大导热热流的方向为P所在等温面的法线方向。,4,由(1)还可知：即导热系数(thermal conductivity)在数值上等于物质中在单位温度梯度下产生的热流密度。在一定范围内，可以认为固体导热系数是温度的线性关系。=a+bT a温度为0时的导热系数 b取决于物体本身的系数,5,如改
3、写傅立叶定律：式中：导温系数（热扩散系数 thermal diffusivity）pcT 温度为T的物体的单位体积的热焓量 导热多，热量传输慢。,6,二、不同物理状态下的物质导热系数 Thermal Conductivity of Materials in Different States,1、固体的导热系数 Thermal Conductivity of Solids 固体的导热能力主要取决于晶体晶格振波的传递能力，及自由电子的传热能力（对金属、导电体）。大多数固体的导热能力主要由晶格的振动来导热，大 多数金属也是如此，图8-1给出了不同金属的导热系数随温度的变化曲线，可见大多数金属的都是随
4、T(T 晶格节点分子/原子的振动能力增大，破坏了晶格的完整性，有碍于晶格波的传播，所以)。,7,8,9,造型材料的导热系数Thermal conductivity of mould materials,10,11,2、气体的导热系数Thermal Conductivity of Gases,气体中分子/原子之间的间距较大，气体的导热是气体分子/原子的激烈热运动和碰撞传递能量。可见温度T越高，气体分子/原子的碰撞越频繁，导热能力越强，因而导热系数越大。T 气 气 与压力无关 T0=273K，0为273K时的导热系数,12,3、液体的导热系数 Thermal Conductivity of Liq
5、uids 人们目前对液体的结构尚不十分清楚，还无法给出液体物质导热机制和能力大小的完整的数学描述。一般来讲液体的导热传热机制介于固体和气体之间，由于液体属于凝聚态物质，即密度与固体相近，近程有序的晶格波振动传输对液体的导热作用更大，近年来的研究也支持这一观点。如图所示：Al固相导热系数和液相导热系数在熔点上有一间断，突然下降，熔化使完整的晶格破坏为近程有序的晶格，晶格波传递能力下降。,13,14,15,固体中的导热规律及温度的分布和变化的定量分析，对于冶金和材料热加工工艺过程的控制具有很重要的意义。事实上在热处理和锻造热加工工艺中，热传导是工件内部加热和冷却过程中的唯一传热方式，在焊接和铸造工
6、艺中焊件和铸件凝固冷却过程的热量，均要通过工件的固相区中的纯导热方式散走。即使在液相区中有金属液对流传热方式，但液态金属的导热也起重要的作用，热传导是各种传热现象中最基本但最重要的传热方式。因此，研究固体中的导热传热，特别是导热热量传输率及对工件固相中的温度分布形式的定量描述，对于掌握传热过程的分析原理及认识传热现象的内在规律都具有重要意义。,16,8.2 导热微分方程及传热边界条件Energy Equation for Conduction and Boundary Conditions in Heat Transfer,一、传热体系的热能平衡关系式(Energy Balance)建立定量描
7、述某一体系中传热规律方程所基于的是传热体系的热能守恒定律(即能量守恒原理)。对于图示意的一个传热系统，其热能平衡(守恒)关系的文字表达为：传入体系的热量从体系传出的热量体系的热量增加量 Qin-Qout=Q,17,上述热能守恒关系式对任何不稳定传热系统(任何传热方式)都是成立的。对于稳定的传热体系，Q=0，则热能守恒关系式为：Qin-Qout=0()下面基于传热体系热能平衡基本关系导出固相体系以导热方式的基本导热微分方程，也称傅立叶导热第二定律。,18,二、导热微分方程傅立叶导热第二定律 General Differential Equation for Conduction,在以纯导热方式传
8、热的三维物系中任意一点P处，取一边长各为x,y,z的矩形六面微元体，如图示：V=xy z 设：固体的导热系数，密度p,比热cp（均为常数，各向同性）；体系中无热源 微元体与环境的导热热流见图,19,对于三维不稳定导热热能守恒，()式可写成：Q=Qin-Qout x+Qin-Qout y+Qin-Qout z 其中：1、增量Q=xyz(pCpT)t+t(pCpT)t 2、x方向传入、传出热量的净差值：（入为正，出为负）Qin-Qout x=yzt(qx-qx+x)3、y方向传入、传出热量的净差值：Qin-Qout y=xzt(qy-qy+y)4、z方向传入、传出热量的净差值：Qin-Qout z
9、=xyt(qz-qz+z),20,将以上各项代入()式，两边同时除以xyz t，得：取极限t,x,y,z0，得：,21,因是纯导热问题，qx,qy,qz可用傅立叶定律表示：将x,y,z三方向上的傅立叶第一导热定律式代入上式，得到描述三维不稳定导热的微分方程：(1)或,22,当 p,cp和均设为常数时，以上方程为：(2)或：式中：=/pcp 称为导热物质的“热扩散系数”m2/s(1)式或(2)式，称为导热微分方程（傅立叶导热第二定律）,（是T有关t,x,y,z的抛物型二阶段偏微分方程）,23,柱坐标及球坐标 Cylindrical and Spherical Coordinates 圆柱坐标:球
10、坐标:当稳定导热(Steady State Conduction)时:带热源的方程（见书上P146：8-11,8-13,8-14）,24,三、三类基本传热边界条件Three Types of Boundary Conditions,应用(1)式或(2)定量描述导热物体温度场分布时，还需要具体的问题“初始条件”：如T0=f(t=0,x,y,z)(I.C.)和“边界条件”(B.C.)，才能构成对具体导热问题定解方程组。传热物质体系与环境之间的传热边界条件，可分为以下三种基本类型：(1)第一类边界条件(Boundary Condition Type I)边界上的温度已知，即T|=Tb(t,x,y,z
11、)(x,y,z)当T|=0时，称为齐次第一类边界条件,25,(2)第二类边界条件(Boundary Condition Type II)边界上法线方向上的温度已知，即热流密度q|已知 即：(x,y,z)当 时，称为齐次第二类边界条件 如在对称的导热物体的对称面(线)，即是如此，它代表了绝对面,26,(3)第三类边界条件(Boundary Condition Type III)边界上一点的温度与该点温度处法向导数的线性之和是已知的，即：(x,y,z)上式第三类边界条件表达式的物理意义是固体在表面上的导热热流通量通过对流换热方式传给温度为T=f(t,x,y,z)/h 的流体环境中，即 当 时，称为
12、齐次第三类边界条件 其物理意义是边界热流以对流方式传给温度为零的流体环境中。,27,注：上述三类边界条件与温度的关系都是线性的。当边界为辐射传热时，边界条件是非线性的。如：,28,8.3 一维稳定导热Steady State One-Dimensional Systems,一、稳定导热方程(Steady State Equation for Conduction)在稳定导热情况下，导热物体内部的温度场不随时间变化，即：T=T(x,y,z)。此时物体内部任意一点均有，也就是说在稳定导热物体中任何位置都没有热能的积蓄(此时，由()式知：导入某体系的热能量与导出的热量相等)。描述物体中稳定导热方程，
13、可由导热微分方程(2)式，令，简化后，直接得到，即：2T=0，或,29,二、无限大平壁导热 Infinite Flat Plate,1、单层无限大平壁导热(Single Layer Wall),30,边界条件：x=0,T=T1 和 x=,T=T2 积分上式：dT=C1dx T=C1x+C2 代入边界条件，得平壁内温度分布表达式：T1=C2 T2=C1+C2 或 即大平壁内稳定导热时，其中温度呈线性分布。,31,比较欧姆定律：,32,2、多层无限大平壁导热 Series Composite Wall,由多层不同材料组成的多层平壁如图8-6所示，在稳定导热情况下，经过各层平壁的热流量Q都是相同的，
14、根据单层导热的热流量表达式(8-17)，可以求得各层的热流量表达式：,33,34,35,三、热阻的概念 Thermal Resistance,(8-17)式表示的大平壁中的导热传热热流量Q与平壁两表面温差(T1-T2)及/F项的函数关系可与一个描述简单电路中，（如图）电流与电压关系的欧姆定律相类比：即在电势差E1-E2作用下，通过电阻R的电流I为：欧姆定律：欧姆定律式中的电流I项通过平壁的传热量Q 电势差E1-E2 平壁两表面上温差(T1-T2)电阻R/F项,36,称/F为热阻，记为：这可得下式：可见(8-17)式与欧姆定律式具有相同的形式。在欧姆定律中电阻R是对电流的一种阻力，而在(8-17
15、)中Rt对在温差(T1-T2)驱动下的热流Q也是一种阻力，在电阻式中：增加了传热距离整块平壁的热阻Rt：平壁的导热能力下降整块平壁的热阻Rt F：平壁导热总面积减小，导热能力下降整块平壁的热阻Rt,37,热阻的概念在计算通过多层不同材料(不同)组成的复合，热传导体系的导热热流量是十分方便的。不同传热方式的热阻可具有不同的表达形式，欧姆定律式是针对平壁导热的热阻。固体壁表面与流体间进行以对流换热方式传热时，牛顿对流换热式：Q=Ah(Ts-T)也可等效为：的形式 温差(Ts-T)产生热流q的驱动力 热阻Rt=1/(hA)(为h的倒数，h对流换热系数)Rt=1/(hA)称为对流的传热热阻，h，Rt；
16、q(Ts-T)不变)串联热阻：R=R1+R2+R3+R4 并联热阻：,38,四、多层平板的稳定导热 Series Composite Wall with Convection Boundaries,设有一个由三种不同材料板叠成三层复合板，如图示这三种材料的导热系数分别为1,2,3，厚度分别为L1,L2,L3，复合板的面积为A。另一方面，复合板的左侧和右侧分别与温度为T1和T2的流体对流换热(稳定的)。求：由温度为T1的流体通过面积为A的复合板传到温度为T2的流体中的热流量Q。解：对于这样一种由多层材料稳定热传导，并通过板两侧对流换热，将热量从左流体传到右流体的热流量计算，可分别在各个传热环节上
17、列传热热流计算式。,39,首先需要设板的左侧外表面温度，板1与板2的界面温度，板2与板3的界面温度及右侧外表面的温度分别为T1,T2,T3,和T4，都为未知温度：左侧表面对流换热环节：Q1=h1A(T1-T1)(1)板1内的导热环节：板2内的导热环节：板3内的导热环节：左侧表面对流换热环节：Q5=h2A(T4-T2)(5),40,由热能守恒原理，上述五个传热环节是串联关系，热流量均相等，即：Q1=Q2=Q3=Q4=Q5=Q 由(1)-(5)式，得：T1-T1=Q/h1A(1)T1-T2=Q/(A 1/L1)(2)T2-T3=Q/(A 2/L2)(3)T3-T4=Q/(A 3/L3)(4)T4-
18、T2=Q/h2A(5)(1)+(2)+(3)+(4)+(5)，得：,41,利用热阻的概念，与串联电路类比，则可方便地解出传热热量Q。根据串联电路求电流的计算原理如图示，其中：R1=1/(h1A)R2=L1/(1 A)R3=L2/(2 A)R4=L3/(3 A)R5=1/(h2A)将复合材料板及两侧对流传热，系统的总的传热热流量可方便的解出为：,R1 R2 R3 R4 R5T 1 T2 T1 T2 T3 T4,42,五、单层组合平壁Single Layer Composite Wall,43,与电阻并联有一致的形式所以式中总电阻其值由两个热阻并联得到。,44,六、无限长圆筒壁导热 Infinit
19、e Cylindrical Wall,设有一无限长圆筒，可看作一维导热，筒内外表面的温度分别为T1和T2(T1 T2)，并保持不变，圆筒内外半径分别为 r1和 r2，图8-7所示。由(8-13)式得到：面积 T=C1lnr+C2,45,边界条件：将上式积分得：由式(8-23)，在无限长圆筒内，温度分布是半径的对数函数。,46,注意：在稳定条件下，通过圆筒壁的热流量 Q 是个常量，而热流密度 qr 是个与导热面积 r 有关的变量。r 越大，qr 越小。,47,在工程上，为了简化计算，对于直径较大而厚度较薄的圆筒壁可以作为平壁处理，采用下式计算热流量：,48,对两侧有不同温度的流体进行换热,49,
20、对于由不同材料组合成的多层圆筒，其壁内温度分布是由各层内温度分布对数曲线所组成，图8-8所示。按照串联热阻叠加特性，可得长度为L多层圆筒导热热流量计算式：对于多层圆筒，表面有换热情况下：(8-29),50,51,52,七、球壳壁导热 Spherical Wall,积分上式：带入边界条件：,53,式(1)-(2),得：,54,55,八、接触热阻Interfacial Thermal Resistance,56,57,58,间隙热阻包括气体层热阻和涂料层热阻两部分：式中g,g气体层的厚度及导热系数 c,c涂料层的厚度及导热系数可用一个综合换热系数 h 表示间隙传热特性：h 并不是一个物性值，其值随
21、条件不同而变化。,59,8.4 二维稳定导热的分析解法 Steady State,Two-Dimensional Heat Flow,60,半无限大平板稳定导热分析解法Semi-Infinite Plate,61,62,63,64,65,66,8.5 不稳定导热Unsteady State Heat Conduction,一、不稳定导热的基本概念 Basic Concepts for Unsteady State Heat Conduction 稳定导热时，物体内部热焓值保持不变，由高温面流入，低温面流出（相等）。在不稳定导热状态下，单位时间所传递的热量Q 不是常数，而是时间的函数。不稳定导热
22、时，物体内能 T 的变化速度它的导热能力（即导热系数）成正比，与它的蓄热能力（单位容积热容量Cp）成反比，故在不稳定状态下的热过程速度取决于热扩散系数：Cp,67,68,物体在加热或冷却时，其温度场的变化可分为三个阶段：,(1)过程开始阶段：温度场一层一层地逐渐从表面深入内部，物体内各点温度变化均不相同温度场初始温度影响较大。(2)正常情况阶段：此时，物体内各点的温 度变化速率具有一定的规律。一般认为此时过余温度 T-T 的自然对数值随时间 t 呈直线变化(图8-18)，即：,69,上式中：m为一正数，对物体内部任一点来说，m都保持为恒定。它表明物体加热速度（或冷却速度）的大小，称为加热率（或
23、冷却率）。(3)新的稳定阶段：重新达到热平衡阶段，理论上需要经历无限长时间 t=，建立稳定导热平衡。求解不稳定导热的目的就是找出温度及热流量随时间变化的规律：求得物体达到预定的温度所需要的时间；或者经历一定时间后，物体所能达到的温度。求得物体的温度场后，可以用傅立叶定律来确定热流量变化规律。求解不稳定导热有以下几种解法：1、数学解析法；2、数值法；3、图解法；4、实验法。,70,二、第一类边界条件下的一维不稳定导热One-Dimensional Transient Heat Conduction with B.C.Type I,图(8-21)所示为平面厚度方向(x方向)板内 T 温度随时间 t
24、 的分布情况。导热方程为：初始条件：t=0,T=T0；边界条件：x=0,T=Ts；(t 0时)x=,T=T0 由数学解析法求得：T=Ts+(T0-Ts)erf()式中erf()为高斯误差函数,71,可根据 的值查表，书上附录4(p361)高斯误差函数表。半无限大平板温度场表达式：由此可计算在给定时间及深度 x处的温度，也可计算在x处到达某一温度所需的时间。图8-22为式(8-58)的图解,72,利用(8-58)式及傅立叶定律可以求出通过平板受热表面(x=0)处的热流密度：,73,三、第三类边界条件下的一维不稳定导热 One-Dimensional Transient Heat Conducti
25、on with B.C.Type III,74,在讲到三类基本传热边界条件时，曾提到相应的齐次边界条件。具有齐次形式的边界条件，能使定解导热方程组求解简单，上述中引入了相对温度的概念，相对温度也称为；“过余温度”。引入过余温度=T-T，将边界条件化为齐次，即：(3)式(4)式分别为齐次第二类和齐次第三类边界条件。,75,采用分离变量法求解上述齐次边界条件的定解一维不稳定导热方程。取相对温度（t 和x 的函数）为两个分别只与x 和t 有关的单变量函数 X(x)和G(t)的乘积，即：(t,x)X(x)G(t)代入方程(1)，得：(5)式方程的左、右只与 x 和 t 有关，即左端与 t 有关，而右端
26、与 x无关，所以方程(5)两端只能等与一常数：,76,由（5）式方程可得到如下两个常微分方程：可见采用分离变量法，可将一维不稳定导热的偏微分方程化为两个独立的常微分方程，从而采用解析法求解。(6)式和(7)式方程的两个通解分别为：X(x)C1 cos(x)+C2 sin(x)G(t)exp(-2t)通解X(x)和G(t)共含三个待定常数C1、C2 和，可利用初始条件(2)和两个边界条件(3)和(4)式定出。（见G.H.Geiger and D.R.Poirier著的Transport Phenomena in Metallurgy的pp.295-297）,77,78,79,80,81,82,8
27、3,84,8.6 金属凝固过程传热 Solidification Heat Transfer,一、金属凝固过程传热特点 Thermal Characteristics in Metal Solidification Process,85,(3)铸件与铸型之间是有接触热阻的传热,86,二、由铸型热阻控制的金属凝固传热 Solidification in Sand Moulds,当砂型、石膏型等导热系数比较小的铸型，且铸件比较厚大，属于该种情况。,87,88,89,90,91,92,93,三、间隙热阻控制的金属凝固传热 Solidification in Metal Moulds,无过热金属浇入导热系数很大的铸型中，金属铸型初始温度为T0,并在铸件凝固中保持不变，图8-31所示。,94,95,四、凝固层热阻控制的金属凝固传热 Solidification in Water Cooled Moulds,主要是在水冷型中凝固，传热特点如图(8-33)。铸型壁薄，导热热阻小，主要热阻集中在凝固金属层中。,96,由凝固层构成半无限大物体，界面初始温度为T0,并在随后保持不变的非稳定导热情况。其方程及条件为：,97,
