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1、九年级数学(下)第三章 圆,2.圆对称性(1)垂径定理,3.2圆的对称性,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).,经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).,AM=BM,垂径定理,AB是O的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,作直径CD,使CDAB
2、,垂足为M.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,由 CD是直径,CDAB,题设,结论,垂径定理,如图,小明的理由是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理三种语言,定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理的逆定理,AB是O的一条弦,且AM=BM.,
3、你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,由 CD是直径,AM=BM,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,练一练：试 金 石,你可以写出相应的命题吗?,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所
4、对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,CD是直径,AM=BM,CDAB,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,注意,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,如图,M为O
5、内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,2、如图4，在O中，AB为O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。,3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,G,a,b,c,d,a=b，c=d,a c=b-d,线段加减,圆弧加减,挑战自我垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,驶向胜利的彼岸,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
6、,老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,讲解,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？,圆的两条平行弦所夹的弧相等,如何找圆心？,当未知一个圆或一条弧的圆心时，如何把它找出来？,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线
7、段有:.图中相等的劣弧有:.,3、已知：如图，O 中，AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D，AB=6cm，CD=1cm.求O 的半径OA.,4、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。,1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米),4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,已知：AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，O的半径为5cm，,思考题：,（1）请根据题意画出符合条件的图形,（2）求出AB、与CD间的距离。,（1）,（2）,学生练习,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,
