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1、,第八章,*二、全微分在数值计算中的应用,应用,第三节,一元函数 y=f(x)的微分,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本节内容:,一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定义,定义:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(
2、x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证:由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反例:函数,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,注意:定理1 的逆定理不成立.,偏导数存在函数 不一定可微!,即:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数,在点,可微
3、.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到,故有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(可用于近似计算;误差分析),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解:已知,即受压后圆柱体体积减
4、少了,例3.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则,高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求此圆柱体,例4.计算,的近似值.,解:设,则,取,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别表示 x,y,z 的绝对误差界,2.误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为,z 的相对误差界约为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以
5、 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.在直流电路中,测得电压 U=24 伏,解:由欧姆定律可知,(欧),所以 R 的相对误差约为,0.3+0.5,R 的绝对误差约为,0.8,0.3;,定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差.,相对误差为,测得电流 I=6安,相对误差为 0.5,=0.032(欧),=0.8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求用欧姆,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.P72
6、 题 1(总习题八),函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,2.选择题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,也可写作:,当 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 时 z=0.02,d z=0.03,3.P73 题 7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.设,解:,利用轮换对称性,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(L.P245 例2),注意:x,y,z 具有 轮换对称性,答案:,作业 P24 1(3),(4);3;5;8;10,5.已知,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,在点(0,0)可微.,备用题,在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1),因,故函数在点(0,0)连续;,但偏导数在点(0,0)不连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明函数,所以,同理,极限不存在,在点(0,0)不连续;,同理,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目 目录 上页 下页 返回 结束,4)下面证明,可微:,说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目 目录 上页 下页 返回 结束,
