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1、第二章 导数、微分、边 际与弹性,函数的微分,中央财经大学,若 y=f(x)在点 x0 处有(有限)导数,则,现在反过来想一想：,若在 x0 点处 y=f(x)的增量 y 可以,表示为 一个线性函数与一个高阶无穷小量,之和的形式,回忆讲过的函数的增量与导数之间的关系,那么,我们自然要问 A=?,就是说,在点 x0 处若可用关于自变量的增量 x 的线性函数逼近函数的增量 y 时,其关系式一定是 y=f(x0)x+o(x)我们称 f(x0)x(或 Ax)为函数在点 x0 处增量的线性主部,通常将它记为 dy=f(x0)x(dy=Ax).,微分,一.函数的微分,1.微分的概念,y=Ax+o(x),此
2、时,称 f(x)在点 x0 处可微。,设 y=f(x)在 U(x0)有定义,给 x0 以增量,x,且 x0+x U(x0)。,如果函数相应的增量可表示为,则称 y 的线性主部为 f(x)在点 x0 处的微分,记为 d y=Ax,其中,A 叫微分系数。,2.可微与可导的关系,y=f(x0)x+o(x),dy=f(x0)x,也就是说,f(x)在点 x0 处的可微性与,可导性是等价的,且 f(x)在点 x0 处可微,则,解,什么意思？,自变量的增量就是自变量的微分：,函数的微分可以写成:,该例说明:,此外,当 x 为自变量时,还可记,即函数 f(x)在点 x 处的导数等于函数的,微分 d y 与自变
3、量的微分 d x 的商,故导数也,可称为微商.,哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.,3.微分的几何意义,微分的运算法则,1.微分的基本公式,微分的基本公式与导数的基本公式相似,微分公式一目了然,不必讲了.,基本初等函数的导数(微分)公式：,一阶微分形式不变性(复合函数微分法则),在点 x0 处可微.,按微分的定义,但,故,说明什么问题？,我们发现 y=f(u),当 u 为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同,均为 dy=f(u)du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性.,解,故,解,三.二阶微分,其二阶微分为,设函数 y=f(x)二阶可导,当 x 为自变量时,由此看出,当 x 为自变量时,除法,类似可定义 n 阶微分:,注意这里 x 是自变量,四.微分在近似计算中的应用,函数增量的近似值：,函数值的近似值：,解,所以,球的体积增量大约为,得,解,例7,解,谢谢大家！,中央财经大学,
