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1、广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,弹簧振子,简谐振动微分方程,一、简谐振动的基本特征,6-1 简谐振动（simple harmonic motion),其通解为：,谐振动运动方程,运动学定义:,动力学定义:,1、简谐振动的定义,运动方程,振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.,频率 单位时间内振动的次数.,角频率,周期T 物体完成一次全振动所需时间.,初相位,相位 t,决定谐振动物体的运动状态,2、描述简谐振动的特征量,3.振动速度及加速度,简谐振动的加速度和位移成正比而反向.,4.振动初相及振幅由初始
2、条件决定,初始条件：当t=0时,x=x0，v=v0,代入,得,=arctan,例6-1.一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A=0.12 m，周期T=2 s，当t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06 m,此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。,解,取平衡位置为坐标原点。,由题设T=2 s，则,A=0.12 m,由初条件 x0=0.06 m，v0 0,得,简谐振动的表达式为,设简谐振动的表达式为,例6-2.如图所示，倔强系数为 8103Nm-1的轻质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。质量 m=0.01kg的子弹以水平速度v=103 ms-
3、1 射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、向右为x轴正方向，求其振动方程。,解：mv=(m+M)V,0.01103=(4.99+0.01)V,V=2m.s-1,A=0.05m,二、简谐振动的旋转矢量表示法,1.简谐振动与匀速圆周运动,匀速圆周运动在x轴上的投影（或分运动）为简谐振动：,2.简谐振动的旋转矢量表示法,3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference）,两个谐振动,相位差,两同频率的谐振动的相位差等于它们的初相差。,=2 1,0,x2超前x1,=0,同相,=，反相,4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,例6-3
4、.以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，求此简谐振动的表达式。,解,设简谐振动方程为,x0=A/2，v0 0,由旋转矢量表示法,v0 0,旋转矢量以 匀角速由t=0 到t=1s 转过了4/3,t=1s,角频率的计算：t=1s 时，对应图示的旋转矢量。,例6-4.已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解：方法1,用解析法求解,设振动方程为,故振动方程为,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,方法2：,用旋转矢量法辅助求解。,固有角频率,三、简谐振动实例,1.弹簧振子(blockspring system),平衡位置：弹簧为原长时，振动物体所处的位置
5、.x=0,F=0,位移为x处:,由牛顿第二定律,角频率,完全由振动系统本身的性质决定。,固有周期,固有频率,2.单摆(simple pendulum),当 5(=0.0873rad)时，,摆球相对于平衡位置的角位移为 时，切向合外力:,平衡位置：摆线与竖直方向夹角=0.,由牛顿第二定律,得,或,谐振动微分方程,结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。,3.复摆(compound pendulum),绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。,令,小幅摆动时,角位移，回复力矩,M=mghsin,M=mgh,由刚体的转动定律,或,得,谐振动微分方程,线性谐振动,角谐振动,简谐振动的判断及振动方程的确定,归纳与总
6、结,例：判断下列运动是否为简谐振动,1.乒乓球在地面上的上下跳动,2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动,O,切向运动,简谐振动,振动的角频率和周期分别为：,四、简谐振动的能量,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数.,系统的机械能守恒,振动能量曲线,例:如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0=-9.8cm,v0=0(1)取开始振动时为计时零点，写出振动方程；(2)若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。,解：,确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k
7、=mg/l 令向下有位移 x,则 f=mg-k(l+x)=-kx作谐振动 设振动方程为,初条件:,由x0=Acos0=-0.0980 cos00,取0=,振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m,x0=Acos0=-0.098m,v0=-Asin0=0,t=0 时 x0=-0.098m，v0=0,(2)按题意,t=0 时 x0=0，v00,x0=Acos0=0,cos0=0 0=/2,3/2,v0=-Asin0,sin 0 0,取0=3/2,x=9.810-2cos(10t+3/2)m,对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变,固有频率,例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的
8、轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.,解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则,当m有位移x时,联立得,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动,其频率仍为。,合振动,6-2 简谐振动的合成,如 A1=A2,则 A=0，两个等幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态。,合振动的振幅取得最大，两分振动相互加强。,合振幅最小，两分振动相互减弱。,分析,二.两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍,如果我们先后听到频率很接近的声音，如552 和564 Hz，我们很难区分它们频
9、率的差异；如果这两种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为558Hz=(552+564)/2,其强度以12Hz(=564 552)的频率变化。这种现象称为拍，12Hz 为拍频。,分振动,合振动,1.拍及拍频,令,则,拍=2=2 1,拍=2 1,拍:,拍频:单位时间内振动加强或减弱的次数.,合振动忽强忽弱的现象.,拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。,2.拍的应用,三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成,合振动,分振动,合振动质点的轨迹方程,合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线
10、,质点离开平衡位置的位移,讨论,合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成,轨迹称为李萨如图形,对于两个频率不相同的谐振动，其相位差,不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。,只有在两振动的频率成简单的整数比时，才有稳定的轨迹。,若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。,*五、简谐振动的分解 频谱,振动的分解：把一
11、个复杂振动分解为若干个简谐振动。,若周期振动的频率为:0,则各分振动的频率为:0、20、30,(基频,二次谐频,三次谐频,),按傅里叶级数展开,任何一个复杂的周期性振动，都可看作是若干个简谐振动的合成。,方波的分解,方波可按傅里叶级数展开为：,例如：,0,例如：锯齿波可按傅里叶级数展开为：,一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。,一、阻尼振动（damped vibration)：,阻尼振动,1.阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼：系统克服阻力作功，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。,6-3 阻尼振动
12、受迫振动和共振,简谐振动是物体在回复力作用下的一种无阻尼自由振动。,当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下 振动，称为阻尼振动。,弹簧振子动力学方程,系统固有角频率,阻尼因子,物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻力与速度的一次方成正比,阻力系数,2.阻尼振动的振动方程（以摩擦阻尼为例）,(1)弱阻尼振动:,阻尼对振动的影响：1.A 减小 2.T 增大,非简谐振动,3.弱阻尼振动、过阻尼振动、临界阻尼振动,(2)临界阻尼振动,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来.,(3)过阻尼振动,系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置.,二、受迫振动,受迫振动 振动系统
13、在周期性外力作用下的振动。,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程,周期性外力策动力,令,稳定解,稳定解,(1)频率:等于策动力的频率,(3)初相:,特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,(2)振幅:,受迫振动振幅的大小，与系统的初始条件无关，而决定于振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的大小和策动力的特征。,三、共振,在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。,1).位移共振,(1)共振频率:,(2)共振振幅:,2)速度共振:,一定条件下,速度幅vm=A极大的现象。,速度共振时，系统的动能也达到最大，此时系统从外界吸收能量最多。,共振的利与弊,钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊断等。,例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏。,措施：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、改变外力的频率、增大系统的阻尼等。,共振现象在实际中有着广泛的应用：,共振现象也有其危害性：,
