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1、矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,矩阵的分解,第 四 章,设，是 的特征值，是 的特征值，它们都是实数。如果记,一,矩阵的奇异值分解,特征值 与 之间有如下关系。,定义1:我们称:为矩阵 的正奇异值，简称奇异值。,例1：求下列矩阵的奇异值,解：（1）由于,显然 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为,（2）由于,显然 的特征值为2，4，所以 的奇异 值为。,定义2:设,若 则称A与B酉等价.,定理2:若,且酉等价,则A与B有相同的正 奇异值,定理3：设，是 的 个奇异值，那么存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 使得,我们称此定理为奇异值分解定理。,如何求此分解表达式？以下给
2、出步骤:,证明：记 的特征值为,因为 是正规阵，所以,令，其中 是 矩阵，是 矩阵。则：,比较后得到：,（1）,（2）,（3）,（4）,令，则,由（1）知，所以，是次酉阵,即，所以，存在，使得：,所以,所以，,由（4）,（4）,所以,从而：,又因为,所以，得出,所以,1,求出 的全部特征值,则 为A的正奇异值,2,求酉矩阵,使得:,4,3,设,则 为次酉阵,于是求,使得,例1：求下列矩阵的奇异值分解表达式,解:（1）容易计算 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为。下面计算 的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量,由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有,令,练习：求下面矩阵的奇异值分解式,二,矩阵的极分解定理1:设，那么必存在酉矩阵 与正定的H-矩阵,与半正定H-矩阵 使得:且满足,定理2：设，则存在,Good,Bye,
