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1、,20081225,7.8 定积分之几何应用 弧长,一、平面曲线弧长的概念,在曲线光滑的条件下可求长,弧长元素,弧长,二、直角坐标情形,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,三、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,四、极坐标情形,解,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,五、小结,曲 率,一、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),弧段弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),（,设曲线C是光滑
2、的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,2.曲率的计算公式,注意:,直线的曲率处处为零;,例1,解,显然,例2,解：,圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,二、曲率圆与曲率半径,定义,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,三、小结,基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,思考题,椭圆 上哪些点处曲率最大？,作业(补充材料),习题6-2 14;17;21;23;24；25；30.,思考题解答,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,
