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1、函数的极值,一、复习与引入:,上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题.其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数;,解不等式 0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间.,0,y,右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。,二、新课函数的极值:,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(
2、x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.,在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.,请注意以下几点:,(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.,(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,
3、如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1).,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.,由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.假设x0使.那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？,如上左图所示,若x0是f(
4、x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即,同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0的右侧附近只能是增函数,即.,从而我们得出结论:若x0满足,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲
5、线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.,要注意以下两点:,(1)不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定存在导数.,(2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极
6、值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.,因此,利用求导的方法,求函数的极值时,在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的“可疑点”.,三、例题选讲:,例1:求y=x3/3-4x+4的极值.,解:,令,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.,总结:求可导函数f(x)的
7、极值的步骤如下:,(1).求导数,(2).求方程 的根.,(3)检查 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值.,例2:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值 与最值是完全不同的两个概念.,练习1:求函数 的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,
8、因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.,例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k-1成立的充要条件.,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.,由于当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-10对一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.
9、,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,第二课时,一、复习:,1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极 大值与极小值统称极值.,2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是:,(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.,3.理解函数极值的定
10、义时应注意以下几点:,(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内 部的点而不会是端点.,(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.,(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不 一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.,(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的.,(5)导数为零的点是该点为极值点的必要
11、条件,而不是 充分条件.,(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.,4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.,例1:已知函数 f(x)满足条件:当x2时,;当 x2时,;.求证:函数y=f(x2)在 处有极小值.,证:设g(x)=f(x2),则,故当 时,x22,由条件可知,即:,当 时,x22,由条件可知,即:,又当 时,所以当 时,函数y=f(x2)取得极小值.,为什么要加上这一步?,例2:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,
12、解:,由题意,应有根,故5a=3b,于是:,(1)设a0,列表如下:,由表可得,即.,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)设a0,列表如下:,由表可得,即.,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.,解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时,此时x=1是极值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,例3:已知:(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.,解:(1),令,得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,故 有不相等的两实根、,设.,又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在的右正左负,在的左正右负.,注意到 与g(x)的符号相同,可知为极小值点,为极大值点.,(2)由f()=-1和f()=1可得:,两式相加,并注意到+=-2b/a,于是有:,从而方程 可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即=-1,=1.,由,故所求的值为a=2,b=0.,
