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1、1.3.3 导数的实际应用,导数的实际应用：1、费用最省问题 2、容积最大问题 3、利润最大问题 4、距离最短问题 5、物理问题,利用导数求实际问题的最大（小）值的方法：1、细致分析实际问题中各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 y=f(x),在根据实际问题确定函数的定义域。2、求f(x),解方程f(x)=0，求出定义域内所有的实数根。3、比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据实际意义确定函数的最大值或最小值。,在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等
2、等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。,解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具,解决数学模型,作答,用函数表示的数学问题,优化问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,利用导数解决优化问题的基本思路：,例1.在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个
3、无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？,解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积,所以,令,解得x1=a，x2=a（舍去），,在区间(0，a)内，且当00，当 axa时，V(x)0，,由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近a）时，箱子容积很小，,因此当截下的正方形边长是 a时，容积最大。,因此x=a是极大值点，,例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？,解：如图，设断面的宽为x，高为h，则h2=d2x2，横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强度系数,k0)，,所以f(x)=kx(d
4、2x2)，0 xd，,在开区间(0，d)内，令f(x)=k(d23x2)=0，,解得x=d，,其中负根没有意义，舍去.,当00，当 dxd时，f(x)0，,因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x=d，所以f(x)在x=d取得最大值，,这就是横梁强度的最大值，,这时,即当宽为 d，高为 时，横梁的强度最大。,例3如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，
5、问点C选在何处可使运输时间最短？,解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间,(0 x300),因为,所以,令T(x)=0，则有,即25x2=9(1502+x2)，,解此方程，得 x=,舍去负值，取x0=112.5.,因为T(0)=11，T(300)=11.2，,T(112.5)=,则10是三数中最小者，,所以选点C在与点B距离为112.5km处,运输时间最小。,例4如图，已知电源的电动势为，内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？,解：由欧姆定律得电流强度,在负载电路上的输出功率是P=P(R)=I2R=,实验表明，当，r一定时，输出功率由负载电阻R的大小决定，,当R很小时，电源的功
6、率大都消耗在内阻r上，输出的功率可以变的很小；R很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此R一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。,令,即，解得R=r，,因此，当R=r时，输出的功率最大。,例5圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？,解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2Rh+2R2,由V=R2h，得,则,S(R)=2R+2R2=+2R2,令,解得 R=,从而h=,即h=2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值,答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省,例6已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？,解：收入,利润,(0q100),令L=0,即,求得唯一的极值点 q=84.,答：产量为q=84时，利润L最大,
