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1、电子光学,第三章 旋转对称系统的高斯光学,31旋转对称场中的电子的运动,轨迹方程电子光学要研究和解决的问题是带电粒子的运动规律，从上一章的内容中我们得到了三种描述带电粒子运动规律的方法，他们分别是牛顿运动方程、拉格朗日方程和最小作用原理，前两个方程，描述了微分方程，最后一个描述的是积分方程，证明他们是等价的。,31旋转对称场中的电子的运动,如果从运动方程得到一个以位置坐标z为变量的微分方程，称为轨迹方程，与最小作用原理等价。,本章采用的描述方法是从运动方程出发，通过数学变换，将方程中的时间坐标变换成位置坐标，从而得到轨迹方程。,通常描述带电粒子运动的基本方程式是牛顿运动方程，它是一个以时间为变
2、量的二阶微分方程。,本章描述的方法是一般教科书常用的方法。,31旋转对称场中的电子的运动,直角坐标的运动方称的三个分量式分别为：,直角坐标的轨迹方程,31旋转对称场中的电子的运动,利用能量守恒定律,可以得到关于位置坐标变量z对时间t的一阶微分,31旋转对称场中的电子的运动,而坐标x,y对t的一阶和二阶微分可以表示为,由于,因此,31旋转对称场中的电子的运动,将上式中的z对时间的微分替代，然后再代入运动方程的左端得到,再将z的微分代入上式，可以得到x方向的轨迹方程得分量方程为：,而右端项为,31旋转对称场中的电子的运动,31旋转对称场中的电子的运动,2.圆柱坐标的轨迹方程由于电子光学中，旋转对称
3、系统常用圆柱坐标表示，从上一章中得到，从直角坐标的运动方程，经过坐标变换得到的圆柱坐标运动方程的三个分量方程为：,31旋转对称场中的电子的运动,同上节一样，将上述方程中对时间微分量,换成对位置坐标的微分，可以得到圆柱坐标的轨迹方程。,和,，,31旋转对称场中的电子的运动,首先，利用上面的第二个方程，可以得到角动量守恒定律，从而得到旋转角动量,其中上式第二式表示旋转方向的分量运动,将得到的角速度代入其他两式，得到圆柱坐标表示的运动方程的r和z方向的两个分量式,该方程表示一个以某一个角速度旋转的坐标系。,31旋转对称场中的电子的运动,3.角动量守恒和旋转角速度（313）式表示旋转方向分量方程，用磁
4、矢量A位代替磁感应强度B,方程为：,31旋转对称场中的电子的运动,将方程中,去掉，方程为：,由于全微分形式有：,31旋转对称场中的电子的运动,而由于对于恒定磁场有,因此右端项可以写成全微分形式,方程为：,31旋转对称场中的电子的运动,写成全微分，因此有,积分后得到,31旋转对称场中的电子的运动,角动量守恒,其中：,分别表示初始坐标、,磁矢位、,旋转角速度。,上式左端项表示角动量，,右端项的第一项表示初始角动量,第二项表示磁通的增量。,说明，带电粒子任一点的角动量，只取决于初始角动量及粒子运动过程中磁通量的变化，,31旋转对称场中的电子的运动,的变化引起的，若粒子运动中,一磁力线上，角动量不变。
5、,表示磁通量函数，可以看出，角动量的变化是磁通量,不变，或始终两点在同,(2)角速度,利用布许定理可以得到粒子旋转运动角速度为,其中,31旋转对称场中的电子的运动,代入后可以写为,即可得到不考虑旋转方向的，关于带电粒子在子午面的运动方程。,如果将式得到的角速度代入圆柱坐标的第一和第三个方程中，将不包括旋转方向的分量,关于r方向的第一个方程为：,31旋转对称场中的电子的运动,右端项写成=,代入第二个方程,31旋转对称场中的电子的运动,得到圆柱坐标的运动方程形式,上面两个方程表示，当消除角速度后在r和z方向的运动，,上的运动方程。,也就是说，它表示的是一个以角速度,旋转的子午面,31旋转对称场中的
6、电子的运动,4.约化电位表示的运动方程,一项由磁位产生的运动，方程的表示不简便，如果令,得到的运动方程包括两项，一项由电位产生的运动，,称为约化电位，运动方程可以简化为,31旋转对称场中的电子的运动,5.约化电位表示的能量守恒,同样可以证明，用约化电位表示的运动方程遵从能量守恒定律。,将上面第一式乘以,，第二式乘以,後，两个方程将加，,有,积分后得,常数,或,31旋转对称场中的电子的运动,右端项表示粒子在子午面方向运动的动能，总能量为旋转运动的动能加上子午面方向的动能。可以看出，与静电场的电位意义不同，约化电位与磁场分布有关，与粒子初始状态有关，即与,有关。,这说明，发射点在磁场所处的位置影响
7、粒子运动。,31旋转对称场中的电子的运动,6.圆柱坐标的轨迹方程 圆柱坐标下的运动方程，可以通过坐标变换，得到轨迹方程。,利用下列变换：,可以得到柱坐标的能量关系式：,31旋转对称场中的电子的运动,因此可以表示为 z 对 t 的微分形式为：,由于t的微分算子可以表示为：,而r的二阶微分为,31旋转对称场中的电子的运动,将,和,代入到第一个表示 r 分量的运动方程中,因此,31旋转对称场中的电子的运动,由方程,得到,代入后得到,31旋转对称场中的电子的运动,7.采用约化电位表示的轨迹方程由于约化电位表示的方程简洁，方便，因此也可以从运动方程得到轨迹方程。,关于 z 的方程为：,关于 r 的方程为
8、：,可以得到,31旋转对称场中的电子的运动,而从能量守恒公式中得到,代入上式中,31旋转对称场中的电子的运动,当只有电场时，方程为,旋转方向的方程写成,的形式：,32旁轴轨迹方程,（1）旁轴轨迹的定义,在电子光学要研究和解决的带电粒子的运动规律中，往往更为关心的是轴附近电子的运动，即离轴很近，斜率很小的电子轨迹，这部分带电粒子具有聚焦成像的特性，研究这部分轨迹的特性称为旁轴光学或近轴光学。,（2）旁轴运动方程旁轴轨迹方程同样可以从运动方程得到。,32旁轴轨迹方程,直角坐标的牛顿运动方程表达式为：,在旋转对称电磁场中，已知，表示旁轴区的电位和,磁感应强度的近似表达式为：,32旁轴轨迹方程,将其代
9、入牛顿运动方程中，可得直角坐标的旁轴运动方程为：,如果采用一个旋转坐标，旋转角速度和角度为：,（3）表示子午面的旋转坐标,32旁轴轨迹方程,旋转坐标和其对时间的微分与直角坐标的关系为,32旁轴轨迹方程,对时间再求一次导数,（4）轨迹方程,将上面的运动方程第一式乘以,然后相加，,左端项相加为,第二式乘以,32旁轴轨迹方程,32旁轴轨迹方程,右端相加为,再考虑将下式代入,代入得到直角坐标系的方程为：,32旁轴轨迹方程,又由于假设的旋转坐标条件,带入上面方程式中，可得,既为旁轴运动方程，再利用坐标的变换,32旁轴轨迹方程,又根据能量守恒定律可以得到关于,的表达形式,考虑当,1，,1时，上式去掉高阶项
10、，可以得到,带入运动方程式中，可得旁轴轨迹方程,32旁轴轨迹方程,可以得到用一个统一方程表示的旁轴轨迹方程为：,在纯电场中，旁轴轨迹方程为：,在纯磁场中，旁轴轨迹方程为：,32旁轴轨迹方程,旋转角速度,对于旁轴区,因此旋转角速度也可以表示为：,由于上述的轨迹方程包含了,会带来运算的误差，可以去掉一次项，提高计算精度。,的一阶微分，因此,采用分离变量，令,32旁轴轨迹方程,带入旁轴轨迹方程中，可得：,令其中的一次项为0，即,解一次微分方程为：,32旁轴轨迹方程,因此，代入分离变量式中可得：,将其带入轨迹方程中，得到,上式为简正的旁轴轨迹方程，它的计算精度高于普遍的轨迹方程。,33理想聚焦系统,（
11、1）旁轴轨迹解的形式旁轴轨迹方程是一个二阶齐次线形常微分方程，假设它有两个线性无关的特解，,分别为,和,微分方程通解，一般可以表示为两个特解的线性组合，即为：,，则可以得到,假设有一点,应该满足轨迹方程的解，将初始条件代入方程解的形式中，,轨迹的初始点，,带电粒子通过此初始点时,可以表示为：,32旁轴轨迹方程,根据上述的初始条件，可以确定方程的两个常数,将这两个系数代入解的表示式中，可以得到方程得通解，,两个分量方程的解分别表示为：,上式描述的是具有相同起始点,轨迹，显然式中第一项为初始位置值，而系数,轨迹曲线的斜率。,的所有带电粒子,表示,如果上述轨迹经过另外的某一点,时，能够,使得下式成立
12、，即满足第二式为0，,那么，可以得到在两个特定点的，关于两个特解的关系为,代入解中得到,即，表示最终的位置与初始的位置成线性比例关系。,这种情况表示，凡是从,满足旁轴轨迹方程的带电粒子，其运动的轨迹，最终都聚焦于,点发出的，斜率不同的，,点，,称为,的像，,称为物点。,（2）横向放大率,可以定义,为横向放大率，表示物像之间尺寸的关系。横向放大率为常数，只与物、像的z坐标有关，而与x,y坐标无关，从物点坐标横界面上发出的射线轨迹，都在像点坐标横截面上。,（3）像转角,由于我们采用了旋转坐标，所以物点,一个方位角的差值，即为像转角，可以表示为：,与像点,之间具有,也就是说，在方位角方向也有聚焦作用
13、，即它的聚焦作用不仅表示在r方向，同时也存在于旋转方向。,(5)两条特殊轨迹的解,由于物像之间的关系与轨迹的具体路径无关，只与初始位置和最终的位置有关，因此，为了使求解简化，可以选取两条合适的轨迹，一条为从轴上入射，斜率为45，一条为平行于z轴入射，用这两条轨迹作为特殊的轨迹来讨论聚焦特性。,如果选定两个轨迹后可以分别从方程解中的求得系数,、,、,，他们可以分别表示为轨迹在,处，选取从轴上入射的轨迹时，,和,平面的初始位置,和斜率。例如：在,可以表示为：,平行入射的轨迹可以表示为：,代入式中,通过四个方程可以解出四个系数为：,代入方程中为：,共轭平面的位置可以确定为,横向放大率为,(6)通过旁
14、轴轨迹方程，可以得到焦点和焦距,均匀轴向磁场，磁感应强度为,=常数，,=常数，阴极在磁场之外，,在磁场中，电位为,该电子光学系统的旁轴轨迹方称表示为：,根据微分方程的理论，该微分方程的两个特解为：,由,条件，可得,上式的解为：,其中：,说明该磁场具有聚焦作用，其具有等间距的n个像点。,（7）什么叫圆电子透镜,在旋转对称电、磁场的旁轴区，对于斜率很小、r很小的带电粒子束，具有理想聚焦性质，这种旋转对称电磁场称为圆电子透镜。,圆电子透镜聚焦成像性质可以表现为：,（a）实现物平面到像平面的图像变换，形成电子或离子像,（b）聚焦电子或离子束,(c)线放大率与角放大率的关系-亥姆霍兹定理,在电子像的变换
15、中，除了要求具有一定的尺寸的聚焦束，即清晰的电子像外，还需要具有一定的电子密度。而电子束的密度与电子束张角有关，这需要有表述角放大的关系，因此，需要建立角放大率与像放大率的关系。,这个关系可以从旁轴轨迹方程中得到。,假设微分方程的两个特解,和,分别满足旁轴轨迹方程：,第一式乘以,，第二式乘以,得,然后相减,上式是一个全微分形式，写成全微分形式,积分后为,将选择的两条特殊轨迹的初始条件有,分别表示轨迹的斜率，那么方程可以写为,其中,表示线放大率；,表示角放大率。,上式即为拉格朗日-亥姆霍兹定理，它也可表示为：,上式说明，当物象平面的电位给定后，角放大率反比于线放大率，就是说，线放大率得到放大，束
16、张角将减少。,34基点和基本关系式,1透镜的条件和作用,我们知道，在旋转对称场中，当,，,和磁场对带电粒子具有聚焦作用，我们称之为圆电子透镜。,时，电场,2短透镜的定义,当作用于带电粒子的电场和磁场集中在较短的区域内，即物平面和像平面均在场区外的情况称为短透镜，这类透镜的性质类似于光学透镜，因此可以应用光学透镜的方法研究它。,3.研究方法,可以利用两条特殊的轨迹：即一条是从物平面的轴上发出的，与轴的夹角为45的轨迹；另一条是从垂直于物平面发出的，平行于轴的轨迹。通过这两条轨迹可以研究透镜和轨迹的一些特性,4.基点,有一个圆透镜是短透镜，物方和像方空间是无场空间，粒子轨迹为直线，粒子轨迹在场区受
17、到作用弯曲，称为聚焦,研究聚焦特性可以利用上述的两条特殊的轨迹，一条为平行入射轨迹，在物方空间是一条直线，与轴平行，在透镜区受到折射，,进入象方后又是一条直线，并与轴相交于点Fi，该点称之为像方,焦点，可以证明，凡是物方平行入射的轨迹都交于像方焦点。,(1)像方焦点：,同样像方平行入射的轨迹都交于物方一点,物方平行入射轨迹在像方与轴相交，这两条直线的延长线交于一点,，该点称为像方主点，通过该点垂直与轴的平面称为像方主平面。,(2)物方焦点：,，该点称之为物方焦点。,(3)主点：,可以证明，物方平行入射的所有轨迹的主点都在一个平面上。假如有两条轨迹,同样，像方平行入射轨迹与物方通过焦点轨迹的延长
18、线交点,称物方主点，,通过该点与轴相交的平面称为物方主平面。,和,分别由相交点,和,，主平面与焦点的距离可以分别表示为,证明两式相等，主平面重合。,（4）焦距：,焦点与主平面的距离称为焦距，定义为,其中,为轨迹在像方的斜率。上式称为像方焦距,同样可以得到物方焦距为,焦点和主点统称为基点。,5.光线光学作图法,（1）目的,对于短透镜，利用光学作图方法，可以不考虑透镜区内轨迹的具体形状，只考虑透镜区外轨迹的直线段规律，就可以通过基点得到物像之间的关系，这样，只要知道透镜的参数，就不需要每次求解轨迹。,（2）作图,作图方法是首先求解两条轨迹，根据这两条轨迹定出透镜的4个基点；然后根据基点定出物像的关
19、系。,（d）过物点,（a）确定物点,（b）连接物点,与物方焦点,（c）作直线与物方主平面,相交后作与轴平行直线,作平行于轴的直线与像方主平面,相交,（e）作该交点与像方焦点,的连线,（f）这条直线与上面做的直线交于一点,即为像，,点到轴的距离即为像尺寸,像放大率为：,从过上面的方法，得到基点后，只要确定物点就可以得到像点和放大率。,6.圆透镜的基本公式,（1）符号的定义,利用作图法得到一些应用方便的计算公式，可以直接应用，按几何光学的规则，计算长度，像方：向右为正，向左为负；物方：向左为正，向右为负；物像尺寸：向上为正，向下为负。,（2）基本计算公式,焦距：,像距：,物距：,像尺寸：,物尺寸：,（3）透镜公式,如果已知基点和物点位置，求像点位置，可以利用两个相似三角形求解，由于,因此有,或,称为牛顿公式。,根据,（4）放大率,放大率可以由相似三角形求出,（5）拉格朗日-亥姆霍兹定理,如果有两条轨迹,和,都满足轨迹方程，有下列式成立,第一式乘以,，第二式乘以,后两式相减，得,常数,当,是物方平行入射轨迹，,是像方平行入射轨迹时有：,常数,常数,物方空间用1表示,常数,像方空间用2表示,代入亥姆霍兹定理可得可得,而所以 此式表明，透镜的两个焦距不能任意选取，其比值应等于折射率之比，电位高的一方焦距较长。,
