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1、Tuesday,September 26,2023,1,第二节 根轨迹绘制的基本准则,Tuesday,September 26,2023,2,2、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。,用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 的180度根轨迹的性质。,根轨迹的连续性和对称性,1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益 的函数。当 从0到无穷变化时，这些系
2、数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。,Tuesday,September 26,2023,3,4、根轨迹的起点和终点：,根轨迹方程为：,时为起点，时为终点。,根轨迹的支数和起始点,3、根轨迹的支数：n阶特征方程有n个根。当 从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。,当 时，只有 时，上式才能成立。而 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。,Tuesday,September 26,2023,4,我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于
3、极点数。,那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？,根轨迹的起点和终点,当 时，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。若nm，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当 时,Tuesday,September 26,2023,5,根轨迹的渐近线,5.根轨迹的渐近线：,若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。,由根轨迹方程可得：,式中，,Tuesday,September 26,2023,6,根轨迹的渐近线,当Kg，由于mn，
4、故s满足根轨迹方程，上式近似为,两边开n-m次方,利用二项式定理,当 时，令，,Tuesday,September 26,2023,7,根轨迹的渐近线,设s=x+jy,利用1=cos(2k+1)+j sin(2k+1)，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq+j sinq)n=cos(nq)+j sin(nq)，上式可写为,Tuesday,September 26,2023,8,根轨迹的渐近线,这是与实轴交点为s，斜率为 的直线方程。也就是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角)为,Tuesday,September 26,2023,9,5.根轨迹的渐近线：,渐近线包括
5、两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。,倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有的开环有限零点和极点到 的相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的相角条件得：,根轨迹渐近线的倾角,Tuesday,September 26,2023,10,幅值条件：,根轨迹渐进线与实轴的交点,Tuesday,September 26,2023,11,根轨迹渐进线与实轴的交点,Tuesday,September 26,2023,12,例4-2系统开环传递函数为：，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。,渐近线与实轴的交点：,渐近线与实轴的倾角：,零极点分布和渐近
6、线（红线）如图所示。,Tuesday,September 26,2023,13,6、实轴上的根轨迹：,实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。,证明：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、p4和一对共轭零点z1、z2。,先看试验点s1点：,所以s1点满足根轨迹相角条件，于是p2,p1为实轴上的根轨迹。,实轴上的根轨迹,成对出现的共轭零点z1、z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0；,试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0；,试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180；,再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所
7、以不是根轨迹上的点。,成对出现的共轭极点p3、p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0；,同样s3点也不是根轨迹上的点。,Tuesday,September 26,2023,14,例4-3设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。,解：零极点分布如下：,红线所示为实轴上根轨迹，为：-10，-5和-2，-1。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。,实轴上的根轨迹例题,Tuesday,September 26,2023,15,7、根轨迹的会合点和分离点：,若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,实轴上的会合点和分离点,如图所示某系统的根轨迹，由开环极点 出
8、发的两支根轨迹，随着 的增大在实轴上A点相遇再分离进入复平面。随着 的继续增大，又在实轴上B点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当 时，一支根轨迹终止于 另一支走向。A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。,Tuesday,September 26,2023,16,7、根轨迹的会合点和分离点：,若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无
9、会合点，也可能既有分离点也有会合点。,实轴上的会合点和分离点,Tuesday,September 26,2023,17,分离点和会合点的求法：由重根法，求极值法和作图法等。,重根法：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。,设系统开环传递函数为：,即,分离角：在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角。与相分离的根轨迹的支数k有关：。,实轴上的会合点和分离点的求法,因闭环特征方程为：,设 时，特征方程有重根，则必同时满足,Tuesday,September 26,2023,18,由此得：,即：,实轴上的会合点和分离点的求法,注意：由上式可求得的点是分离点和会
10、合点必要条件，还需求出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点为分离会合点。,Tuesday,September 26,2023,19,极值法：参见教材p118图4-11。若以Kg为纵坐标，以实轴为横坐标，在根轨迹的分离点和会合点上，Kg具有极值。,实轴上的会合点和分离点的求法,即,Tuesday,September 26,2023,20,求分离回合点的另一个公式,实轴上的会合点和分离点的求法,设系统开环传递函数为：,因闭环特征方程为：,即闭环特征方程为：,重根时还满足,Tuesday,September 26,2023,21,实轴上的会合点和分离点的求法,Tuesday,Sept
11、ember 26,2023,22,实轴上根轨迹区间是：,注意：分离点和会合点也可能出现在复平面上，由于根轨迹对称于实轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴。,显然，分离回合点为-0.4725，而-3.5275不是分离回合点。,闭环特征方程为：,Tuesday,September 26,2023,23,8、根轨迹的出射角和入射角：,当开环零、极点处于复平面上时，根轨迹离开的出发角称为出射角；根轨迹趋于复零点的终止角成为入射角。,图中有四个开环极点，一个开环零点。为共轭极点，现计算 的出射角。设为。,在离开 附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：,当 时，即为离开根轨迹上 的出
12、射角，则：,根轨迹的出射角和入射角,Tuesday,September 26,2023,24,式中：为除了 以外的开环极点到 的矢量的相角；为开环零点到 的矢量的相角。,同样，进入复零点 的根轨迹入射角 为：,式中：为除了 以外的开环零点到 的矢量相角；为各开环极点到 的矢量相角。,的出射角应与 的出射角关于实轴对称。,根轨迹的出射角和入射角,Tuesday,September 26,2023,25,例4-5如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角。,解：,Tuesday,September 26,2023,26,9、根轨迹和虚轴的交点：,根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征
13、方程至少有一对共轭虚根。这时的增益 称为临界根轨迹增益。,交点和 的求法：,在闭环特征方程中令，然后使特征方程的实、虚部为零即可求出 和。,由劳斯稳定判据求解。,根轨迹和虚轴的交点,Tuesday,September 26,2023,27,方法一：闭环系统的特征方程为：,将 代入得：,例4-6开环传递函数为：，试求根轨迹与虚轴的交点和。,当 时，为根轨迹的起点（开环极点）,当 时，即根轨迹与虚轴的交点为。,Tuesday,September 26,2023,28,方法二：用劳斯稳定判据确定 的值。,劳斯阵列为：,劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。劳斯阵列中可能全为零的行有二。,
14、共轭虚根为辅助方程 的根。,1、令，得临界增益为：,2、令，得（开环极点）。,Tuesday,September 26,2023,29,10、闭环系统极点之和与之积：,开环传递函数为：,闭环系统的特征方程为：，即：,(1),设闭环系统的极点为：，则,(2),闭环系统极点之和与之积,Tuesday,September 26,2023,30,比较（1）、（2）式得：,当n-m=2时，即：,闭环极点之积为：,根据上述10个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。为了准确起见，可以用相角条件试探之。,闭环系统极点之和与之积,当有为零的开环极点：,Tuesday,September 26,2023,3
15、1,根轨迹作图步骤,一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；二、实轴上的根轨迹；三、n-m条渐近线；四、根轨迹的出射角、入射角；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点；结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。,Tuesday,September 26,2023,32,渐近线,例开环传递函数为：，画根轨迹。,出射角，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,Tuesday,September 26,2023,33,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点并不在根
16、轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。,Tuesday,September 26,2023,34,渐近线,例开环传递函数为：，画根轨迹。,出射角，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：,Tuesday,September 26,2023,35,求分离会合点：由特征方程,由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。,Tuesday,September 26,2023,36,渐近线,例开环传递函数为：，画根轨迹。,出射角，,求与虚轴的交点，此时特征方程为,解：求出开环零极点，即：,实轴上的根轨迹：(，0,将 代入得：，,Tuesday,September 26,2023,37,求分离会合点：由特征方程,由图知这点在根轨迹上，所以是分离会合点。而且是三重根点。此时分离角为,Tuesday,September 26,2023,38,小结,需掌握绘制根轨迹的十个准则 根轨迹的连续性和对称性；根轨迹的支数、起始点和渐进线；根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点，会合点；根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点；闭环极点之积和之和。,
