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1、2023/9/26,第四章 线性系统的根轨迹法,第二节 根轨迹的基本规律及绘制,2023/9/26,教 学 重 点,根轨迹八个规律的内容。,教 学 难 点,4-2 根轨迹的基本规律及绘制,2023/9/26,一、根轨迹的基本规律,根轨迹的基本规律从以下8个方面进行讨论：,1、根轨迹的起始点与终止点；,4、根轨迹的渐近线；,2、根轨迹的连续性、对称性和分支数；,3、实轴上的根轨迹；,5、根轨迹在实轴上的分离点和分离角；,6、根轨迹的起始角和终止角(复数零极点)；,7、根轨迹与虚轴的交点；,8、根之和。,2023/9/26,特征方程可写为：,规律一 根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点。,根轨
2、迹终止于开环零点。,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,2023/9/26,1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值。,讨论：,2当mn时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。,3当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹,2023/9/26,根轨迹起始于开环极点(K*0)，终止于开环零点(K*)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的
3、无穷远处，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处。,结论：,2023/9/26,规律二 根轨迹的连续性、对称性和分支数,根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数n。(根轨迹描述特征根的变化规律),根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的),根轨迹总是对称于实轴。(实际的物理系统的参数都是实数数学模型的系数是实数特征根不是实数就是共轭复数),结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数等于系统特征方程的次数。,2023/9/26,规律三 实轴上的根轨迹,设系统的开环传递函数,其中p1、p2、p3、z1、z2为实极点和实零点，p3、p4、z3、z4为共轭复数
4、零、极点。,若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该点在实轴的根轨迹上。,2023/9/26,只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。,p1,p3,p4,z1,s0,z3,j,0,1,5,1,4,2,4,3,2,3,S0点符合相角条件：,每一对共轭复数形式的零极点对应的向量的相角之和为2；,实轴上的零极点对应的向量的相角只有0和两种情况。,2023/9/26,规律四 渐近线,当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，反应n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴上的
5、一点(对称性)。,渐近线与实轴的交点：,渐近线与实轴正方向的夹角：,2023/9/26,证明：,思路：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）。,2023/9/26,多项式除法,2023/9/26,证明：,研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）。,2023/9/26,当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：,由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：,2023/9/26,由二项式定理,当s值非常大时，近似有,2023/9/26,2023/9/26,令实部和虚部分别相等,得：,2023/9/26,渐近线与实轴的交点：,渐近线与实轴正方向的夹
6、角：,2023/9/26,例 已知系统的开环传递函数如下，试画出该系统根轨迹的渐近线。,解 该系统n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点 为,它们与实轴正方向的夹角分别是,2023/9/26,根轨迹的渐近线,s,-4,-3,-2,-1,0,B,C,A,-60,2023/9/26,四种情况下的渐近线,2023/9/26,规律五 根轨迹的分离点和分离角,两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。,常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上。,2023/9/2
7、6,实轴上的分离点,复平面上的分离点,s,-4,-3,-2,-1,0,分离点,s,A,B,0,s,d1,d2,C,s,分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。,2023/9/26,分离点的坐标d是下列方程的解：,证明：,闭环特征方程有重根的条件为：,变换形式,2023/9/26,2023/9/26,1、当开环系统无有限零点时，应取 分离点方程为。,2、只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。分离点的确定需代入特征方程中验算。,3、只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点。,说明,2023/9/26,例 已知系统的开环传函如下
8、，试求出系统根轨迹的分离点。,解 本系统无有限开环零点，所以,d2=-2.58不在根轨迹上上，舍去。d1=-1.42是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。,对比较复杂的方程(次数大于2)，也可用试探法求解。,2023/9/26,分离角：根轨迹进入分离点的切线方向和离开分离点的切线方向之间的夹角。,设l为进入分离点的根轨迹的条数，则分离角,当l=2时，分离角为,2023/9/26,起始角pi 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角。,规律六 起始角与终止角,s,0,s,终止角zi 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。,2023/9/26,所以,证明：设
9、A为根轨迹上离极点pi很近的一点。,A离pi很近,A点满足相角条件,同理得：,代入：,2023/9/26,进一步具体分析起始角与终止角的表示。,例 已知系统的开环传递函数为,其中p1和p2为一对共轭复数极点，各零级点在s平面上的分布如图所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p1的起始角p1。,s,s,0,2023/9/26,解 对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得,由于A点无限靠近p1点,s,s,0,A,角度替换后得：,2023/9/26,规律七 根轨迹与虚轴的交点,由此可得虚部方程和实部方程为,根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。用s=j代入特征方程
10、可得,2023/9/26,解虚部方程可得角频率c，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用c代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值。对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。,2023/9/26,例 已知系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点 及相应的开环根轨迹增益的临界值。,令s=j并代入特征方程得,其虚部和实部方程分别为,解 系统特征方程是,解方程组得：,2023/9/26,当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。,2023/9/26,规律八 根之和,当n-m2时，闭环传函特征根之和等于开环传函
11、所有极点之和(常数)。,证明：n-m2时，将开环传函表示的特征式展开后得：,将闭环极点表示的特征式展开后得：,两式相等,2023/9/26,当一些根随K*的增加而增加时，必有另一些根随K*的增加而减小。,当K*变化时，随K*变化的n个闭环特征根的和具有常数性。,在根轨迹图上表现为一些根轨迹分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根轨迹的自平衡性),结论,2023/9/26,二、手工绘制根轨迹图示例,根轨迹的七条规律：,1 起点与终点：起始于开环极点，终止于开环零点；,2 连续性、对称性和分支数：根轨迹连续且对称于实轴，分支数等于系统特征方程的阶数。,3 实轴上的根轨迹：实轴上某点右侧的开环零、
12、极点的个数之和为奇数，则该点在实轴的根轨迹上；,2023/9/26,4 渐近线,5 分离点,2023/9/26,6 起始角和终止角7 与虚轴的交点 将 代入闭环特征方程，令方程两边实部和虚部分别相等，求出。,2023/9/26,根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值K*的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。,要标出一些特殊点的K*值，如起点(K*0)，终点(K*)；根轨迹在实轴上的分离点d(K*=Kd*)；与虚轴的交点(K*=Kr*)。还有一些要求标出的闭环极点s及其对应的开环根轨迹增益K*，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。,根轨迹的起点（开环极点pi)用符号“”
13、标示；根轨迹的终点(开环零点zj)用符号“o”标示。,手工绘图时还需注意：,2023/9/26,解:(1)根轨迹起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三个极点,终止于无穷远处。,例 已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图。,2023/9/26,系统根轨迹图,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,2023/9/26,解:(1)根轨迹起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三个极点,终止于无穷远处。,例 已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图。,(2)该系统有三条根轨迹在s平面上。三条根轨迹连续且对称于
14、实轴。,(3)实轴上的根轨迹为实轴上0到-1的线段和由-2至实轴上负无穷远线段。,2023/9/26,系统根轨迹图,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,2023/9/26,当k=0时,渐近线：求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。,当k=1时,当k=2时,2023/9/26,系统根轨迹图,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,+,60,-,60,2023/9/26,d2=-1.58不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为d1=-0.42。,(
15、5)分离点：,解方程：,(6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。,2023/9/26,系统根轨迹图,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,2023/9/26,其中 是开环极点 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为。,解虚部方程得,(7)根轨迹与虚轴的交点：用s=j代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：,2023/9/26,系统根轨迹图,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,),6
16、,(,2,=,c,K,j,),6,(,2,=,-,c,K,j,*,*,2023/9/26,系统根轨迹图,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,),6,(,2,=,c,K,j,),6,(,2,=,-,c,K,j,*,*,2023/9/26,例 已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹图。,解 根轨迹起始于开环极点p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；终止于4个无限零点（没有有限零点)。,2023/9/26,0,-4,2023/9/26,例 已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统
17、的根轨迹图。,共有4个根轨迹分支，连续且对称于实轴。,实轴上的根轨迹是实轴上由0到-4的线段。,解 根轨迹起始于开环极点p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；终止于4个无限零点（没有有限零点)。,2023/9/26,0,-4,2023/9/26,渐近线在横轴上的公共交点为,渐近线与横轴的夹角为,k取0、l、2、3时，分别为450、1350、2250、3150。,(4)渐近线:,2023/9/26,0,-2,-4,2023/9/26,(5)分离点和分离角,经整理可得,求解上式可得三个分离点为,分离角,l=2时，,2023/9/26,0,-2,-4,2023/9/26,(6)起
18、始角,复数极点p3和p4的起始角,0,-4,2023/9/26,0,-2,-4,2023/9/26,(7)与虚轴的交点,用s=j代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：,2023/9/26,0,-2,-4,2023/9/26,0,-2,-4,2023/9/26,1、函数命令调用格式：rlocus(num,den),三、MATLAB绘制根轨迹,例 绘制如下开环传函的闭环系统的根轨迹,2023/9/26,解：MATLAB命令如下：num=conv(1 1.5,conv(1,2+j,1 2-j)den=conv(1 0,conv(1 2.5,conv(1 0.5+1.5*j,1 0.5-1.5*
19、j)rlocus(num,den),2023/9/26,n是闭环极点到坐标原点之间的距离；n与负实轴夹角的余弦等于阻尼比。,等n线是以原点为圆心的一系列圆；等线是从原点出发的一系列射线。,2023/9/26,使用grid命令后的效果,2023/9/26,作业：4-3 4-10,2023/9/26,传函的MATLAB定义,传递函数以多项式和的形式给出,num=b0,b1,b2,bm den=a0,a1,a2,an g=tf(num,den)或 g=tf(b0,b1,b2,bm,a0,a1,a2,an),2023/9/26,例 用MATLAB指令定义函数,num=1 2 den=1 5 4 3 g
20、=tf(num,den)或 g=tf(1 2,1 5 4 3),2023/9/26,传递函数以典型环节形式给出,num=conv(conv(K,t1 1),t2 t3 1)den=conv(conv(1 0,T1 1),T2 T3 1)g=tf(num,den)或 g=tf(conv(conv(K,t1 1),t2 t3 1),conv(conv(1 0,T1 1),T2 T3 1),2023/9/26,例 用MATLAB指令定义函数,num=conv(5,5 1)den=conv(conv(1 0,4 1),2 3 1)g=tf(num,den)或 g=tf(conv(5,5 1),conv
21、(conv(1 0,4 1),2 3 1),2023/9/26,传递函数分子和分母以零极点增益(zpk)形式给出,z=z1,z2zm p=p1,p2pm k=a g=zpk(z p k),2023/9/26,例 用MATLAB指令定义函数,z=-2-5 p=0-3-6-8-4 k=5 g=zpk(z,p,k),2023/9/26,传递函数的zpk形式和多项式形式的相互转换,zpk形式转换为多项式形式,num,den=zp2tf(z,p,k),2023/9/26,转化为多项式的形式,例 将,z=25 p=3684 k=5 num,den=zp2tf(z,p,k),2023/9/26,多项式形式转换为zpk形式,zpk=tf2zp(num,den),转化为多项式的形式,例 将,z p k=tf2zp(1 2,1 5 4 3),
