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1、第三章 椭圆型方程的差分方法,3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟3.2 Neumann边值问题的差分模拟 3.3 混合边值条件3.4 非矩形区域3.5 极坐标形式的差分格式 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,(3.1),对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：,第一边值问题，或称Drichlet问题,设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章考虑如下椭圆型方程的差分解法：,第二边值问题，或称Neumann问题,3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问
2、题的差分模拟,它具有截断误差:,如图3.1所示,定义向量,单位正方形中的内部结点上的 个线性方程(3.8)写成矩阵形式为 AU=K（3.9）,I 是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。,其中，A是 阶方阵,3.2 Neumann边值问题的差分模拟,表示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方形的四个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定义。,Neumann边值问题的差分模拟,在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：,在x=0上的导数边值条件的差分模拟为,（3.13）,在五点差分格式(3.12)中令l=0，于是有,代入式(
3、3.13)，则,即,（3.14）,同理，在x=1,y=0,y=1时分别有,（3.15）,（3.16）,（3.17）,在四个顶点上，有,由此，正方形 区域的 个结点上差分方程解 满足线性方程组,这里A是 阶方阵,I是(M+1)阶单位方阵；是如下(M+1)的阶方阵：,方程组(3.18)中的向量U和g由以下给出：,例 3.1 在单位正方形区域上解Laplace方程Neumann 问题,解 令h=1/2，应用图3.2中结点次序，则方程(3.18)为,(3.19),或简写成 AU=2hg。,显然A是一奇异矩阵。,3.3 混合边值问题,在xy平面的某区域中，未知函数u满足Laplace方程，将边界 分成若
4、干弧段，要求u在每一弧段上满足不同类型的边界条件。讨论此类定解问题的差分模拟。,（3.22）,消去，得,在原点(0,0)上，两边值条件相遇，则,消去 和,则,(3.24),且对l=0和m=0上成立的方程(3.22)，(3.23)用1/2乘之，对l=m=0上的方程(3.24)用1/4乘之。,这样在整个计算区域及相应边界网格点上建立了差分方程：,令,其中矩阵A为 阶对称方阵。,3.4 非矩形区域,当区域为具有边平行于网格线的矩形，则在所有区域内部结点上，可以采用同样的差分格式逼近椭圆型问题。当是非矩形区域，则在如图3.3所示的邻接边界的内部结点(l.m)上，需采取特别的处理方法。,由解u在结点(l
5、,m)上的Taylor展开可得,为了获得Laplace方程的差分逼近，在上面四个式子中消去一阶偏导数 项，则分别给出,其中,显然，当 时，式(3.26)化为五点差分格式(3.6)。,3.5 极坐标形式的差分格式,如果求解区域是圆域、环形域或扇形域，采用极坐标是方便的。,(3.27),方程(3.27)的系数当r=0时具有奇异性，因此，为了选出我们感兴趣的解，需补充附加条件，令,为了建立差分方程，在半条形区域中引进网格，如图3.4所示。,即,用矩形公式近似上述积分，则,再用中心差商代替微商，就得出点(r0,m)的差分方程,或者,3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析,网格点
6、(记为)上的五点差分逼近是,为了讨论差分方程解 与微分方程解 之间的逼近程度，令,于是,令,，,它证明了当网距，差分方程解收敛到微分方程解，式(3.35)是敛速估计，我们有定理,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,在网格结点,上，我们分别用,如下中心差商代替一阶导数和二阶导数，即,代入微分方程(3.36)，则有差分格式,其中,其中,因为,对矩形域内的所有网格点，令,则在区域的内部结点上将,个差分方程写,成如下矩阵形式,AU=K(3.40),矩阵A中零元素占绝大多数，非零元素则很少，即 为稀疏矩阵；,(2)矩阵A为（M-1）维块三对角矩阵(或简称块状三对 角矩阵)；,(4),(6
7、)A是不可约矩阵。,根据具有严格对角优势的矩阵是非奇异的，具有对角优势的不可约矩阵是非奇异的，具有对角优势和正的对角元的不可约对称矩阵 的特征值全是正数，即为对称正定阵。,这样我们得到 AU=K存在唯一解。,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,例 3.2 考虑Laplace方程第一边值问题这里。采用步长为1/4的正方形网格，差分公式为结点编号如图3.6所示，则按前法所得方程组AU=K的系数矩阵为,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,这是一个对称、不可约对角占优矩阵，对角元为正，因此它非奇异，且为对称正定阵。,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,例
8、 3.3 考虑椭圆型方程第一边值问题这时采用步长为h=1/3的正方形网格，因此有四个网格内点(如图3.7所示)。差分格式为上式中,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,则得四阶线性方程组 AU=K其中系数矩阵,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,经具体计算，得A为严格对角优势，非对称矩阵。,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,例 3.4 自伴线性椭圆型方程第一边值问题用中心差商近似导数，则差分方程为,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,即令格式可写为,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,网格区域如图3.7所示，则系数
9、矩阵A为它是对角优势、不可约对称矩阵。,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,例 3.5 考虑区域中椭圆型方程(3.41)其中。为了建立差分格式，在中覆盖一正方形网格区域，步长为h，在区域内点(l,m)上，有而混合偏导数 一开始用下式,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,代替。这里。在(l,m)点Taylor展开，则,(3.42),3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,由此，(3.42)为,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,如果（3.43）则 项消失，因此，选择满足式(3.43)，于是逼近微分方程(3.41)的差分方程能具有截断误差阶，这时差分方程为,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,令格式为因此(1)若，则选择,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,这时差分方程为（）显然，若，则式(3.44.1)中 都为正。(2)若，可令，则,3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究,差分方程为(3.44.2)如果，则格式(3.44.2)中 都为正。上面就不同情况，在个结点上列出了差分方程，设结点按自然次序排列，联立它们得到线性代数方程组 AU=KA为不可约对角优势矩阵。,
