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1、椭圆方程及几何性质,基础知识梳理,1椭圆的定义(1)平面内一点P与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，即 若常数等于|F1F2|，则轨迹是.若常数小于|F1F2|，则轨迹 注意：一定要注意椭圆定义中限制条件“大于|F1F2|”是否满足,|PF1|PF2|2a|F1F2|,线段F1F2,不存在,(2)平面内点M与定点F的距离和它到定直线l的距离d的比是常数e(0e1)的点的轨迹，即 定点F为椭圆的，定直线l为椭圆的,该焦点对应的准线,焦点,2椭圆中的几何量(1)长轴|A1A2|，短轴|B1B2|，焦距|F1F2|，且满足.,2a,2b,a2b2c2,2c,3椭圆的几
2、何性质,A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b),A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0),x轴、y轴,|A1A2|2a,|B1B2|2b,F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),|MF1|aex0，|MF2|aex0,|MF1|aey0，|MF2|aey0,|F1F2|2c(c0)，c2a2b2,e(0e1),强化训练,1(2009年陕西)“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件,答案：充要,2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(5,4)，则椭圆的方程为_,3(08年浙江)已知F1
3、、F2为椭圆 1(5b0)的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_.解：由椭圆定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，即|AB|AF2|BF2|4a，|AB|4a(|F2A|F2B|)45128.,4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为.,5（2010湖北）:已知椭圆的两焦点分别为,点 满足,则|+|的取值范围为_，直线 与椭圆C的公共点个数_。,利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解
4、决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题,(09北京)椭圆 1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_；F1PF2的大小为_,【答案】2120,【点评】椭圆的定义具有鲜明的特点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出现时，才会出现椭圆的定义，因此，能不能应用定义，也就应注意条件中是否出现椭圆上的点与焦点的连线这种条件,例2：求椭圆 上的动点P到其中一个焦点F的距离的最大值和最小值。,练习1：已知A(-1,1),B(1,0)点P在椭圆 上运动，求PA+2PB的最小值。,练习2：求PA-PB的范围。,练习3：求PA+PB的最大值。,练习4：求椭圆 上的动点P到直线 的距离
5、的最小值。,例3：设P是椭圆 在第一象限的点，A(2,0)、B(0,1)，O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。,x,y,A,O,P,B,练习（2008 全国卷）设椭圆中心在坐标原点，点 是它的两个顶点，直线 与 相交于点，与椭圆相交于 两点。（）若，求 的值；（）求四边形 面积的最大值。,小结：椭圆中最值问题的求解策略：总方针：建立目标函数（或目标不等式）具体方法：（1）转化成二次函数的最值问题。（2）利用三角换元，转化成三角函数的最值问题。（3）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征求最值。（4）利用基本不等式放缩求最值。,椭圆标准方程的求法(1)定义法；(2)待定系数法若已知焦点的位
6、置可惟一确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的方程为Ax2By21，其中A，B为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系(如，0)来求解，以避免讨论和繁琐的计算,(2)由题意，可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，则有M(0，k)设Q(x1，y1)，由于Q、F、M三点共线，且根据题意得(x1，y1k)2(x11，y1)，,据题意得(x1，y1k)2(x11，y1)，解得k0，k4，所以直线l的斜率为0或4.,【点评】求椭圆的方程，关键在于寻找到能求a2，b2的关系式或条件，观察图形，由条件转化是常用到的解题办法,练习1(09
7、年广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由,(3)椭圆G与圆心Ak所在直线y2均关于y轴对称不妨考虑k0的情形，此时，圆心Ak(k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)的距离为点N(6,0)总在圆外；若k0，可知点(6,0)在圆Ck外所以任何圆Ck都不能包围椭圆,练习2、（2010安徽理数）已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率0.5。(
8、)求椭圆E的方程；()求角F1AF2的角平分线所在直线的方程；()在椭圆E上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。,1直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离2消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础,本类问题中主要是直线与椭圆相交的问题，可以分为两类：直线过椭圆焦点（可以联想定义或焦半径等；直线不过椭圆焦点处理的办法也分为两种：设而不求(点差法，涉及中点）；直线与椭圆联立方程组，运用韦达定理处理,设F1、F2为椭圆C：1(ab0
9、)的左、右两个焦点，若椭圆C上点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4.(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)过点P(0，)的直线与椭圆交于两点M、N，若以M、N为直径的圆通过原点，求直线MN的方程,【解】(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a4，即a2.,总结：直线与椭圆相交往往是联立方程组，利用韦达定理等知识，但某些条件的转化应用往往是解题的突破口和关键，如本题中向量数量积的应用，这就要求解题过程中对条件的分析要准确，与其它知识点的转化要熟练,练习1已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且F1PF260.(1)求椭圆的离心率的范围；
10、(2)求证：F1PF2的面积与椭圆的长轴无关,练习2,(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；(3)试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由,征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。,试卷18题,主要问题有两类，第一类根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，第二类根据椭圆的几何性质，综合其他知识求椭圆方程或者研究其他问题，这一类利用性质是关键,(1)求椭圆C的方程(2)椭圆C上任一动点M(x0，y0)关于直线y2x的对称点为M1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围,3x
11、14y15x0.点P(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02，105x010.即3x14y1的取值范围为10,10,总结：椭圆的几何性质如离心率题，范围问题都是常考的内容，本题中是利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转化的，这是解决有关范围问题常用的一个方法，但并不是惟一的方法，题目设置的条件不同，采用的方法也会随之不同，因此，需要在平时总结不同的题型，以便归纳规律和方法,练习：(2010年苏、锡、常、镇调研)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为.,(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点E(3,0)，设点P、Q是椭圆C的两个动
12、点，满足EPEQ，求 的取值范围,规律方法总结,1椭圆的定义有两种形式，习惯上称为第一定义和第二定义在第一定义中，描述椭圆为“到两定点的距离之和等于定长的点的集合(轨迹)”，其中限制条件为“两定点间距离小于定长”，这个定义中的条件是常考内容；在第二定义中，描述椭圆为“到定点和定直线的距离之比等于常数e(0e1)的点的轨迹”，其中定点和定直线被称为椭圆的焦点和相应,准线两种定义形式各有侧重，前者对从圆到椭圆的过渡起到一定作用，容易形成距离之和为定值的“焦点三角形”；后者的作用是将两种不同性质的距离(到定点的距离，到定直线的距离)进行了转化(特别提示：“化斜为直”的应用)因此，在解题中凡涉及点到焦
13、点距离时，可先想到用定义来解决，往往有事半功倍之效,2椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量a、b、c、e、等之间的关系(如a2b2c2，ab0，e 等)及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题若已知焦点在x轴或y轴上，则标准方程惟一；若无法确定焦点位置，则需考虑两种形式,3求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性、再定型、后定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 1(m0，n0)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0)，这种形式在解题中简便,4熟练掌握常用基本方法的同时，注意体会解题过程，并优化解题思维，特别是化简的过程需仔细揣摩,
