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1、1.2 随机事件的概率,对于一个随机事件来说，在一次试验中可能发生，也可能不发生，我们希望有一个能刻划随机事件发生的可能性大小的数量指标，即概率，以 表示事件A的概率。,1,一、概率的古典定义,定义2.1 满足以下两个特征的随机试验称为古典概型。,（1）有限性：试验E的样本空间中只有有限个样本点,如：,（2）等可能性：每个基本事件出现 的可能 性相同，即：,2,古典概型的计算公式：,这种试验是概率论发展早期研究对象，称古典概型。,3,计算事件A的概率，关键在于弄清楚什么是样本点，样本空间中包含样本点的总数以及A所包含的样本点数，当样本点较多时，很难将它们一一列出，需用排列、组合的知识进行分析。
2、,4,二、排列组合公式,从 个不同元素中取出 个元素且考虑其顺 序称为排列，其排列总数为：,5,从 个元素中取出 个元素，而不考虑其顺序，称为组合，其组合的总数为：,6,三、举 例,例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个拨盘有 十个数字，给定一个6位数字暗码，只有拨对号码时，才能将锁打开。问：“一次就能打开”的概率是多少？,7,解：样本空间中样本点总数为,设 A=“一次就把锁打开”,A所含样本点数,你能在2分钟内打开5位码的密码箱吗?,8,例2 袋中装有 个球，其中有 个白球和 个黑球，从中任取 个，问所取的球中恰含有 个白球和 个黑球的概率。,9,解：设,A事件的取法为：,而样本空间的基本事件总
3、数为：,所以,A=“所取的球中恰含有 个白球和 个黑球”,10,称此为超几何分布公式,此例可推广到,11,例3 将 只球随机地放入 个盒子中去，每球放入各盒等可能，试求下列事件的概率：,12,解：(1)这是一个古典概型问题，由于每个球可落 入 个盒子中的任一个盒子，故有,种不同放法(重复排列）,13,事件中样本点数取决于个球放入个盒子中的顺序，故包含的样本点数为：,所以,14,(2)事件B与事件A的差异仅在于各含一球的n个盒子没有指定，所以 B的样本点数为：,所以,15,(3)下面我们来求 事件 C所含样本点数，我们先取m个球放入指定盒中，共有 种取法，然后再把剩下的（n-m）个球任意放入其余
4、（N-1）个盒中,放法有 种，,16,所以,注：有不少实际问题与(2)有相同模型,根据乘法原理可得C的样本点数为：,17,例如：假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都为：，则随机选取 个人，它们的生日各不相同的概率问题，可以将365天看作盒子，个人看作 个球。,18,故所求概率为：,（生日各不相同的概率）,所以 个人中至少有两人生日相同的概率为：,设A=“n个人生日各不相同”,19,经计算可得下述结果：,从表中可看出，在仅有64人的班级里“至少有两人生日相同”这事件的概率与1相差无几。,20,例4 公平抽签问题：袋中有 个白球，个彩球，从中逐一摸出，试求第 次摸得彩球的概率。,
5、21,解：将 只白球和 只彩球都看作不同的（设想将其编号）若把摸出的球依次排列在 个空格内，则可能的排列法相当于把 个元素进行全排列，总数为,22,则第 个空格内可以是 个彩球中的任一个，共有 种结果,其余 个球在余下的 个空格内进行任意排列,共有 种排列。,23,所以事件 包含的样本点数为,所以,24,二、概率的几何定义,古典概率局限于试验结果的有限性，对许多试验结果无限的情况，有时可用几何的方法来解决（注意这里也要求等可能性）。,25,向某一可度量的区域 内投一点，如果所投的点落在 中任意区域 内的可能性大小与 的度量成正比，而与 的位置和形状无关，则称这个随机试验 为几何型随机试验。,几
6、何概型,26,或称几何概型，称为 的样本空间，（可以是一维区间、二维区域、三维区域，它们通常用长度，面积、体积来度量大小）,27,定义：设 是一几何概型，为它的样本空间，且A是可度量的，以、分别表示 S 和 A 的度量。,则 称为事件A发生的概率，并称为几何概率。,设 A=“随机点落在区域A内”,28,例:约会问题 甲乙二人约定在0，T时段内去某地会面，规定先到者等候一段时间 再离去，试求事件A=“甲乙将会面”的概率。,29,解：分别以x,y表示甲乙到达会面地点的时间，则样本点是坐标平面上一个点，而样本空间 是边长为T的正方形，由于二人到达时刻的任意性，样本点在S中均匀分布，属几何概型。,30
7、,我们关心的事件是A=“甲乙将会面”,如图 A是正方形S中夹于直线 与直线 中间的部分。,31,由几何概率的计算公式得,32,蒲丰投针问题 桌面上画满间隔均为a的平行直线,现向桌面任意投放一长为l(la)的针,求事件A=“针与直线相交”的概率,33,解:如图(a)针的位置由针的中点到最近直线的距离x及针与直线所夹锐角 所决定。于是样本空间 它是坐标平面中一个矩形。由投针的任意性,样本点（x,）在S中均匀分布，是几何概型。,34,35,蒙特卡罗方法 将上述投针试验重复n次,则由概率的统计定义可知,当n充分大时,A的频率m/n可作为概率P(A)的近似值,于是由上面结果可得:,至此可以通过大量重复投
8、针试验,用上式计算出的近似值,这个例子的重要性在于通过设计适当的随机试验而完成某种计算的 任务这就是著名的蒙特卡罗方法.,解出,36,三、概率的统计定义,1、频率：设事件A在 次试验中出现了 次，则称 为 次试验中事件A出现的频率。,频率能反映事件A发生的可能性大小,因此在大量重复试验中常用频率作为概率的近似值.,37,2、频率的稳定性，例如抛硬币(验证出现正面的概率占0.5，打字机键盘设计，信息编码(使用频率较高的字母用较短的码),密码的破译。,38,3、概率的统计定义 如果随着试验次数 的增大，事件A发生的频率在区间 上某个数字p附近摆动，则称事件A发生的概率为p。,39,四、概率的公理化
9、定义,由于古典定义，几何定义局限于等可能性，统计定义试验次数的不确定性，使用现代数学工具的不便性，限制了概率论的发展，这就必须给出更一般的，既能概括前三种定义，具有一般性，又能使用现代数学工具，这就产生了概率的公理化定义。,40,（一）公理化定义：设 是随机试 验，是的样本空间，对于 E的每一事件A，赋于一实数，称为事件A的概率，记为 并规定 必须满足下列三条 公理：,41,1）非负性：,2）规范性：,3）可列可加性：若事件 两两互不相容即 则,42,（二）基本 性质,1）,由公理3）,43,则,令,由公理3）及1)可得 有限可加性,44,3）对任何事件A有,45,证：由,而,故,46,移项即
10、得:,又,故,47,5）对任意两事件 与 有丶,证：,且,48,49,推广到三个事件的情形丶,推广到n个事件：,50,配对问题：参加某聚会的N个人都向房子中央扔出自己的帽子，帽子经充分混合后，每人随机地取一顶，问至少有一个人选中自己帽子的概率是多少？,设,表示第I个人人选中自己帽子,则所求概率为,51,52,证：,结论成立,53,例：设，,1）若，求,解：,54,2）若，求,解：,55,例：设，,3）若，求,解：,56,例：设，,解 因，,故,从而 P(ABC)=0，于是A，B，C全不发生的概率为,57,58,例：一口袋6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机取一只，考虑两种取
11、球方式：,a)有放回 b)无放回,59,3）取到两只球至少有一只是白球的概率。,1）取到两只球都是白球的概率;2）取到两只球颜色相同的概率;,试就 a)、b)两种情况求下列事件的概率：,解：a)有放回,60,“取到两只球颜色相同”即等价于事件,3),1),61,b)无放回,1),62,2),3),例 在12000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？,63,解：设 A：取到的数能被6整除 B：取到的数能被8整除,由题意，所求概率为,又12000中能被6整除的整数有 个,能被8整除的整数有 个,既能被6整除又能被8整除的整数有 个,于是，所求概率,64,例 将15名新生随机的平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？,65,
