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1、2023/9/27,1,电动力学 Electrodynamics,主讲教师：李 盛（教授、博士）,2023/9/27,2,电动力学特别重要的意义所在 物理学 经典物理 电动力学 电动力学 近代数学 量子物理,2023/9/27,3,2023/9/27,4,学习参考书：1、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著 复旦大学出版社 2、(经典电动力学 J.D.杰克逊 著）人民教育出版社,2023/9/27,5,预备知识矢量场论复习,2023/9/27,6,主 要 内 容标量场的梯度 算符矢量场的散度 高斯定理矢量场的旋度 斯托克斯定理在正交曲线坐标系中 运算的表达式二阶微分算符 格林定理,2023/9/
2、27,7,0-1 标量场的梯度，算符,2023/9/27,8,1、场的概念 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。,2023/9/27,9,2、方向导数 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但它并不是矢
3、量。如图所示，为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。,2023/9/27,10,为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量为若下列极限存在，则该极限值记作，称之为标量场 在p1处沿 的方向导数。3、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过,2023/9/27,11,该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。记作称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写），它是一个矢量，其大小，其方向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即表示。方向导数与梯度的关系：,2023/9/27
4、,12,是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。表示过p2 点的任一方向。显见，,2023/9/27,13,该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4、算符（哈密顿算符）算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl，的增量 称为方向微,2023/9/27,14,分，即显然，任意两点 值差为,2023/9/27,15,0-2 矢量场的散度 高斯定理,2023/9/27,16,1、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dN，而dN是以ds为
5、底，以v cos为高的斜柱体的体积，即称为矢量 通过面元 的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元，于是通过,2023/9/27,17,曲面s的通量N即为每一面元通量之积对于闭合曲面s，通量N为2、散度 设封闭曲面s所包围的体积为，则,2023/9/27,18,就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div，表示该点有散发通量,2023/9/27,19,的正源；当
6、div，表示该点有吸收通量的负源；当div，表示该点为无源场。3、高斯定理它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。,2023/9/27,20,0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理,2023/9/27,21,1、矢量场 的环流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分称为 沿该曲线L的循环量或流量。2、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么,2023/9/27,22,以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为
7、界的面积法线方向，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义,2023/9/27,23,称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。3、斯托克斯定理（Stokes Theorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。,2023/9/27,24,0-4 正交曲线坐标系中 运算的表达式,2023/9/27,25,1、度量系 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为其中,2023/9/27,26
8、,称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。2、哈密顿算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲线坐标系下的一般表达式,2023/9/27,27,2023/9/27,28,其中 为正交曲线坐标系的基矢；是一个标量函数；是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中，在其它正交坐标系中,2023/9/27,29,3、不同坐标系中的微分表达式 a)笛卡儿坐标 x1=x，x2=y，x3=z h1=1，h2=1，h3=1,2023/9/27,30,2023/9/27,31,b)圆柱坐标系坐标变量:x1=r x2=x3=z与笛卡儿坐标的关系：x=rcos y=rsin z=
9、z拉梅系数:h1=1 h2=r h3=1,2023/9/27,32,2023/9/27,33,将 应用于圆柱坐标可得：,2023/9/27,34,c)球坐标系,z,2023/9/27,35,坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：拉梅系数：,2023/9/27,36,2023/9/27,37,其中,2023/9/27,38,2023/9/27,39,0-5 二阶微分算符 格林定理Second-order Differentiation Operator,Greens Theorem,2023/9/27,40,1、一阶微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶
10、微分运算。举例：a)设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。,2023/9/27,41,第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有而,2023/9/27,42,同理可得：故得到：,2023/9/27,43,第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。而同理可得：,2023/9/27,44,所以得到：b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明,2023/9/27,45,证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有,2023/9/27,46,c)设求解：而同理可得,2023/9/27,47,那么这里同理
11、可得故有,2023/9/27,48,d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：,2023/9/27,49,e)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：,2023/9/27,50,2、二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场，为矢量场。,2023/9/27,51,并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场（3）无旋场可表示一个标量场的梯度（4）无散场可表示一个矢量场的旋度,2023/9/27,52,（5）标量场的梯度的散度为（6）矢量场的旋度的旋度为3、运算于乘积（1）,2023/9/27,
12、53,2023/9/27,54,（2）,2023/9/27,55,（3）,2023/9/27,56,（4）（5）,2023/9/27,57,(6)根据常矢运算法则则有：,2023/9/27,58,故有：(7)根据常矢运算法则：则有,2023/9/27,59,4、Greens theorem 由Gausss theorem得到:将上式 交换位置，得到以上两式相减，得到,2023/9/27,60,5、常用几个公式 设试求：a)而,2023/9/27,61,同理：b),2023/9/27,62,从而可见：c),2023/9/27,63,d),2023/9/27,64,e),2023/9/27,65,f),2023/9/27,66,g),2023/9/27,67,h),
