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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,5.3 内容回顾,(第二换元),(第一换元),(注:凑微分不换限),f(x)为连续偶函数时,f(x)为连续奇函数时.,二、定积分的分部积分法,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(上、下限为x的范围),n 为偶数,n 为奇数,二、无界函数的反常积分,(定积分)常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(广义积分),5.4 反常积分,第五章,(广义积分),一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录
2、 上页 下页 返回 结束,定义1.设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定义,(c 为任意取定的常数,常取 c=0),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定未定式,说明:上述定义中若出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束,它表明该反常积分发散.,则有类似N L公式的计算表达式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:F(+)与 F(-)均收敛!否则反常积分发散.,若F(x)是f(x)的原函数,引入下面
3、记号,可方便反常积分的计算,例1.计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例2.计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:反常积分也有分部积分法、换元法等.,且分部与换元的标准一般情况下与对应的不定积分是一致的.,例3.证明,证:当 p=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2.设,而在点 a 的右邻域内无界,
4、存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,二、无界函数的反常积分,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,(也称瑕积分),无界点常称为瑕点(奇点).,邻域内无界,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似N L公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a
5、,b 都为瑕点,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,均收敛才收敛,否则发散,均收敛才收敛,否则发散,注:上面的叙述中 a b.,下述解法是否正确:,积分收敛,例4.计算反常积分,解:显然瑕点为 a,所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.讨论反常积分,的收敛性.,解:由于,所以反常积分,发散.,原式,例6.证明反常积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该反常积分收敛,其值为,当 q 1 时,该反常积分发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.
6、两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,例计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,上限为，下限为瑕点令,原式,(s1时),为无穷限,(0s1时),既为无穷限又为瑕积分,下节中要讲的函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.5函数,第五章,(s0时收敛),记为,函数,1.定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面给出函数的几条结论:,(2)递推公式,特别地:,称为函数.,(1)当s
7、0时,函数收敛,(在下册中证明),函数的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如:计算,令,0,+,例如:计算,令,0,+,概率论中常用积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,本节要求:记住 函数的定义及性质,并会应用.,作业P268 3,令,备用题 1 计算,解:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P271 17(2),（+1）1,求,解:,(分部积分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,a0,证明:,证:,令,左边=,(向右边靠拢),仅证:,令,所以,4.求下列积分,(且不易求出原函数时,负代换试),(且不易求出原函数时,令x=at试）,积分区间为对称区间时,积分区间为0,a时,如P245 例6 及P250 11(13),P265 7(2)及P266 14(1),令,如266 14(2),P260 1(4),(5),(6),(9),(10);2;3,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,作业P268 3,5 计算,解:x=0为瑕点,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P266 14(1),所以,注:,令,令,
