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1、图像处理IMAGE PROCESSING,第3章 图像变换,数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像编码等处理中。,3.1 傅立叶变换3.2 离散余弦变换3.3 Hough变换3.4 小波变换,3.1 可分离和正交图像变换,将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这
2、些转换方法就被称为图像变换技术。变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或逆变换。,一、可分离变换1-D可分离变换T(u)为f(x)变换，h(x,u)称为正向变换核。同理，反变换可以表示为：k(x,u)称为反向变换核。,2-D可分离变换 和 分别称为正向变换核和反向变换核。如果，下式成立：则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数形式一样，则称正向变换核是对称的。,3.2-D可分离变换的计算首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：然后，沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到：,列变换,行变换,二、正交变换当h(x,y,u,v
3、)是可分离和对称的函数时，公式可写为矩阵形式 其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素为，T是输出的N*N变换结果。为了得到反变换，对上式 两边各乘一个反变换矩阵B:如果B=A-1,则：如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：,利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余和操作次数。在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩阵，相应的变换为正交变换。,对连续傅立叶变换的复习,一维连续傅立叶变换,令=2u，则有,二维连续傅立叶变换,如果f(x,y)满足狄利赫莱
4、条件，那么存在下面二维傅立叶变换对：,连续傅立叶变换的性质,可分性 2.线性 3.共轭对称性 4.旋转性 5.比例变换特性 6.帕斯维尔定理（能量保持定理）7.相关定理 8.卷积定理,1.可分性,该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶变换实现,2.线性,3.共轭对称性,4.旋转性,5.比例变换特性,6.帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）,说明变换前后不损失能量。,7.相关定理,3.1 傅里叶变换,傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例，对图像的傅里叶变换将图像从图像空间变换到频率空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。,对于数字图像而言，DFT的重要意义在于，在数学
5、上建立了阵列与阵列的一一对应关系，而且这个变换具有一系列重要性质，这些数学性质在物理实现上又有重要的应用价值，并且有快速算法，这些算法固化在器件上，也可以通过光学器件实现。傅立叶变换在图像的高、低通滤波、噪声滤波、选择性滤波、压缩和增强中有着广泛的应用。,一个2-D离散函数的平均值可用下式表示：,3.1.1 2-D 离散傅里叶变换（DFT）,比较以上两式：,2-D离散函数傅里叶变换的频谱（幅度函数）、相位角、和功率谱（频谱的平方）定义如下：,正反傅里叶变换都是可分离和对称的：,3.1.2 傅里叶变换定理,设f(x,y)和F(u,v)构成一对变换，即,则有以下一些定理成立：,1.平移定理,由上式
6、可知，f(x,y)在空间平移相当于把其变换在频域与一个指数项相乘；将f(x,y)在空间与一个指数项相乘相当于把其变换在频域平移。并且对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。,2.旋转定理,由上式可知，对f(x,y)旋转 相当于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转；对F(u,v)旋转 相当于将其傅里叶反变换f(x,y)旋转。,3.尺度定理（相似定理）,上式表明，对f(x,y)在幅度方面的尺度变化导致对其傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的相应尺度变化；对f(x,y)在空间尺度方面的放缩则导致对其傅里叶变换F(u,v)在频域尺度方面的相反放缩。而且会导致幅度的变化。,4.剪切定理,5.组合剪切定理
7、,组合剪切的坐标变换：,6.仿射定理,其中行列式 为：,7.卷积定理,8.相关定理,3.1.3 快速傅里叶变换,快速傅立叶变换简称为FFT。算法根据分解特点一般有两类：一类是按时间分解，一类是按频率分解。,FFT运算蝶式流程图（阮秋琦数字图像处理学）,以一维离散傅立叶变换为例，要完成整个变换需要N2次乘法和N(N-1)次加法。而整个快速傅立叶变换需要log2N*N/2次复数乘法和log2N*N/2此复数加法，N越大，快速算法的优越性越显著。,关于快速算法的结论,3.2 离散余弦变换（DCT）,1.变换的定义 1-D离散余弦变换和其反变换的定义：,离散余弦变换（DCT）在图像压缩编码中得到广泛应
8、用，它是国际静止图像压缩标准JPEG的基础，也是国际序列图像压缩标准MPEG-1和MPEG-2中采用的变换方法。,其中，a(u)为归一化加权系数，由下式定义：,2-D离散余弦变换和其反变换定义：,2.变换的计算,离散余弦变换可以利用傅立叶变换的实部计算来实现：,其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：,可见，g(x)的前半部分是f(x)的偶数项，后半部分是f(x)奇数项的逆排。可以将N点离散余弦变换的计算转化为对N点离散傅里叶变换计算。,3.3 Hough 变换,在数字图像处理中，Hough变换属于特征提取技术，它由Paul Hough于1962年提出，最初只是用于二值图像直线检测，后来扩展到
9、任意形状的检测，现在常用的变换技术称作广义Hough变换，1981年被Danna H.Ballard扩展后应用到计算机视觉领域。,3.5.1 基本原理,从图像中提取特征时，最简单也最有用的莫过于形状的检测了，比如：直线检测、圆检测、椭圆监测以及其它类似形状的检测。为了达到这样的目的，必须能够检测到这样一组像素点，使它们位于拟定形状的边沿上，这就是Hough变换要解决的问题。,3.5.5 Hough 变换的扩展应用,对Hough变换稍作改动，则可以检测任何形状：,用Hough 变换检测圆:,圆的方程(x-x0)2+(y+y0)2=R02,根据直线对偶变换思想，可以用三个参数(x0,y0,R0)来
10、表示一个圆，其他过程完全一样，唯一不一样的地方就是这个对偶变换是三维的。,3.4 小波变换,对实函数g(t)来说，如果它的傅立叶变换G(w)满足容许性条件（admissibility criterion）。,那么就称g(t)为“基小波”（basic wavelet）。根据G(w)的有限性，可知G(0)=0，即有,这就是称g(t)为小波的原因，小波是具有振荡性和迅速衰减的波。,对基小波进行平移和放缩可得到一组小波基函数gs,p(t)，也称积分核。s尺度参数，正实数，只是小波基函数的宽度；p定位参数，实数，指示沿t轴的平移距离。,函数f(t)相对小波g(t)的连续小波变换可定义为：,反变换为：,傅
11、立叶变换和小波变换的区别,傅立叶变换具有频率局部化的特点，但没有时间/空间局部化的能力。小波变换具有时间频率都局部化的特点。在小波变换中，时间窗函数的宽度与频率窗函数的宽度都是s的函数，其乘积根据“测不服原理”是一个常数。在对低频分析时可加宽时间窗，减小频率窗；而对高频分析时可加宽频率窗，减小时间窗。对应较高频率的窗比较窄(时间范围小)但比较高(频率范围大)；而对应较低频率的窗比较宽(时间范围大)但比较低(频率范围小)。小波变换的这种特性也称为“变焦”(zoomZng)特性，它是小波变换能够提供多分辨率分析的基础。,任务,检索文献：关键词：傅立叶变换DFT、离散余弦变换(DCT)、Hough变换、小波变换(Wavelet transform),小结,傅立叶变换（FFT）具有快速算法，数字图象处理中最常用。需要复数运算。可把整幅图象的信息很好地用若干个系数来表达。余弦变换（DCT）有快速算法，只要求实数运算。在实现编码和维纳滤波时有用。同DFT一样，可实现很好的信息压缩。Hough变换属于特征提取技术，它由Paul Hough于1962年提出，最初只是用于二值图像直线检测，后来扩展到任意形状的检测。小波变换（Wavelet transform）小波变换具有时间频率都局部化的特点，具有“变焦”特性，能够提供多分辨率分析。,
