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1、电子光学中的电场与磁场,西安交通大学 康永锋,电子光学 第一章(Kang)P.2,提纲旋转对称静电场旋转对称磁场直轴多极场,预备的电磁场知识,电子光学第一章(Kang)P.3,预备的电磁场知识,为什么需要电磁场电子光学是一门研究真空中带电粒子在电场和磁场中运动规律的科学。研究带电粒子的运动规律则首先研究的对象就是电场和磁场。首先应该确定电场和磁场的分布规律和特性。只有知道了电、磁场的分布规律后，才可以进一步确定电子在电、磁场中的运动规律和状态。,电子光学第一章(Kang)P.4,预备的电磁场知识,电磁场分布规律求解电磁场问题可归结为数学上求解偏微分方程边值问题。在电子光学中，所遇到的场一般须满
2、足以下条件：1.场与时间无关，只是空间坐标的函数，既静电场和恒定磁场；2.介质为真空中；3.忽略电子束本身的空间电荷作用（弱流电子光学）。,电子光学第一章(Kang)P.5,预备的电磁场知识,电磁场分布规律根据电磁场中的麦克斯韦尔方程，真空中的静电场和静磁场可以表示为：,（11）,（12）,说明静电场和静磁场可以分别独立地讨论,电子光学第一章(Kang)P.6,预备的电磁场知识,电磁场分布规律如果考虑电磁场中不存在空间电荷和空间电流时，麦克斯韦尔方程组可以写为：,（13）,（14）,电子光学第一章(Kang)P.7,预备的电磁场知识,电磁场分布规律从（11）式可以看知，静电场为有源无旋场，因此
3、可以用电位函数的梯度描述电场强度，即,（15）,（16）,结合（11）第二式，有,电子光学第一章(Kang)P.8,预备的电磁场知识,电磁场分布规律 电势应满足泊松方程,（17）,（18）,无自由空间电荷区域，满足拉普拉斯方程,方程（1-7）表示的是一个位函数U在空间的分布规律，是静态的，和时间没有关系；磁场也可以做相应的分析,电子光学第一章(Kang)P.9,预备的电磁场知识,电磁场分布规律从（12）式可以看知，恒定磁场为有旋无源场，因此可以用磁矢位函数A描述恒定磁场，即,（19）,（110）,对于线性介质，为常数，有,电子光学第一章(Kang)P.10,预备的电磁场知识,电磁场分布规律磁矢
4、位的确定可选取不同规范，电子光学中一般取,（111）,有,恒定磁场在无自由电流区域磁矢位满足,电子光学 第一章(Kang)P.11,提纲预备的电磁场知识旋转对称磁场直轴多极场,旋转对称静电场,电子光学第一章(Kang)P.12,旋转对称电磁场,旋转对称静电场是由具有公共对称轴的，若干个旋转对称电极构成的，既，旋转对称电极形成的电场分布称为旋转对称静电场。旋转对称静电场的电场和电位分布具有旋转对称性。旋转对称轴为z轴。一般情况下，带电粒子运动围绕该轴进行，当采用圆柱坐标系时，旋转对称系统满足下列关系：,（112）,即电位U,电场强度 E,只是 r,z,函数,与方位角,无关,电子光学第一章(Kan
5、g)P.13,旋转对称电磁场,旋转对称静电场不考虑空间电荷效应，圆柱坐标下的拉普拉斯方程表示如下,（113）,当研究轴附近区域场时，电势常用幂级数表示，设,（114）,电子光学第一章(Kang)P.14,旋转对称电磁场,旋转对称静电场把（1-14）代入拉普拉斯方程（1-13），可得,（115）,撇号表示对z求导数，根据场的旋转对称性,（116）,所有奇次项均为零，只有偶次项,电子光学第一章(Kang)P.15,旋转对称电磁场,旋转对称静电场由（1-15）和（1-16），有,（117）,（118）,（119）,电子光学第一章(Kang)P.16,旋转对称电磁场,旋转对称静电场当n=0，A0（z）
6、应表示轴上电位（z）,利用上面递推公式有,（122）,（121）,（120）,电子光学第一章(Kang)P.17,旋转对称电磁场,旋转对称静电场故的静电场的电势空间分布为,（124）,电场强度空间分布为,（123）,（125）,电子光学第一章(Kang)P.18,旋转对称电磁场,旋转对称静电场 电位分布的级数表达形式称为谢尔赤公式，它建立了轴上电位与空间电位的关系；因此，在旋转对称场中只要知道轴上电位分布就可以完全唯一地确定空间电位分布。一般来说，对于远轴区，幂级数需要较多的项才有足够的精度。只有离轴距离r不是很大的情况下，级数收敛于电势U。一般收敛半径不超过对应的电极半径。,电子光学第一章(
7、Kang)P.19,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴）近轴情况指离轴距离远远小于电极半径区域，可以忽略的3次以上高阶项，可得到电位和电场强度的表示式为：,（126）,（127）,（128）,电子光学第一章(Kang)P.20,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴性质）1.旋转对称性 2.电场基本上是轴向 3.轴附件等位面形状,电子光学第一章(Kang)P.21,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴性质）1.旋转对称性 任一子午面上电位关于Z轴对称,（129）,轴上,其中轴为电力线，其与等位线垂直,轴上r方向的电场强度为零，可以作为求解二维拉斯方程的边界条件,电子光学第一章(Kang)P.2
8、2,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴性质）,径向场,正比于坐标 r,2.电场主要表现为轴向场，等于轴上电场,方向取决于-,旋转对称场中电子的运动方向主要是轴向，且轴上的场强最大，电子的轴向速度最大,电子光学 第一章(Kang)P.23,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴性质）,电场主要表现为轴向场，等于轴上电场,因此径向的作用力可以写成,(1-30),电子e0,区域,力指向轴，为汇聚力；,区域,力离开轴，为发散力；,正离子e0,区域,力离开轴，为发散力；,区域,力指向轴，为汇聚力；,电子光学 第一章(Kang)P.24,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴性质）,在旁轴区，电势,轴附件等
9、位面形状,对于一个给定的电位值，等位面方程为：,在轴上一点z=z0附近，可将轴上电位展为,该曲线为以z为对称轴的旋转双曲面。,(1-31),(1-32),电子光学 第一章(Kang)P.25,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴性质）,等位面的曲率,经过化简后，轴上某点的曲率为,从等位线方程（132）中可以求得等位面在轴上的曲率。子午面上等位线看做z(r)函数的图像。曲率为,上式表明等位面轴上曲率取决于轴上电位分布。,电子光学 第一章(Kang)P.25,旋转对称电磁场,旋转对称静电场（旁轴性质）,鞍点附近的等位面,即子午面上的等位线为通过z0点的两条直线，其倾角,在轴上某点z=z0处电场为零
10、，而附近电场不为零，等位面方程为,(1-33),点称为鞍点。,电子光学(Kang)P.26,旋转对称电磁场,旋转对称静电场 下面为一个有三个圆筒电极组成的旋转对称场系统的例子。,图1-1 三圆筒静电透镜示意图,电子光学 第一章(Kang),提纲预备的电磁场知识旋转对称静电场直轴多极场,旋转对称磁场,电子光学(Kang)P.27,旋转对称电磁场,旋转对称磁场旋转对称磁场是具有公共对称轴的通电电流导线和铁磁介质产生的磁场构成的。在圆柱坐标系中，所有磁场量与方位角无关,电子光学(Kang)P.28,旋转对称电磁场,旋转对称磁场激磁电流是向量，与电荷不一样；旋转对称磁场可由两种条件形成：,（1）励磁电
11、流只有,方向，磁感应强度在子午面上,（2）励磁电流有,和,方向，磁感应强度在旋转方向,图1-2 两类旋转对称场,电子光学(Kang)P.29,旋转对称电磁场,旋转对称磁场显然，第一类旋转对称场的旁轴区有磁场而无激磁电流导线，方便应用于电子光学系统中；即激磁电流密度为,方位角方向的磁感应强度为零，磁场有r,z两个方向构成，即,根据比奥定理，dB应该和ds垂直，dB没有方向分量，整个B也没有方向分量,（134）,电子光学(Kang)P.30,旋转对称电磁场,旋转对称磁场磁标位（自由空间）,由于（第一类系统）磁感应强度B与旋转对称电场的场强E一样都只有子午面分量，且在电子经过区域都是无源场，磁标位可
12、以和电位同样处理，满足,磁标位没有明确物理意义，不便直接测量。,（135）,电子光学(Kang)P.31,旋转对称电磁场,旋转对称磁场磁矢位,磁场求解中采用更多的是磁矢位，因为矢量位的物理意义清楚，而标量位无物理意义，且磁矢位可以用于传导电流区域，其定义为：,由麦克斯韦方程得,其中,因此有,为传导电流，根据矢量运算可得,（138）,电子光学(Kang)P.32,旋转对称电磁场,旋转对称磁场磁矢位(只存在于方位角方向),对（1-38）积分可得（无穷远处）,rst为电流元与场的观测点之间的距离，N为独立电流的回路数。,（139）,电子光学(Kang)P.33,旋转对称电磁场,旋转对称磁场磁矢位(只
13、存在于方位角方向),不难看出，dAl和dAr数值相等，dA在方位角方向。有,图1-3圆环电流产生的向量磁矢位,电子光学(Kang)P.34,旋转对称电磁场,旋转对称磁场磁矢位,有,圆柱坐标系旋度的表示式为,（1-40）,（1-41）,电子光学(Kang)P.35,旋转对称电磁场,旋转对称磁场磁矢位,即,既然只有方位角方向存在电流，有,（1-42）,（1-44）,（1-43）,在无传导电流区域,或,电子光学(Kang)P.36,旋转对称电磁场,旋转对称磁场磁通量函数,取磁感应强度在一个以z轴为中心的圆面积上的通量,rA具有独特的物理意义，被称为磁通量函数；,根据斯托克斯定理,所以rA正比于圆周C
14、内的磁通量，沿rA为常数的面，磁通量相等，形成磁力线流管。,在子午面上，rA的等值线即为磁力线。,电子光学(Kang)P.37,旋转对称电磁场,旋转对称磁场幂级数展开,则A应为奇函数，故A可展为函数,把A按照r展开为幂级数，由旋转对称性可知，Bz应为偶对称，Br应为奇对称,将（1-45）代入（1-44），模仿静电场的情形，可得,（1-45）,电子光学(Kang)P.37,旋转对称电磁场,旋转对称磁场幂级数展开,为确定f1(z),利用,当r=0时，2f1(z)应为轴上磁感应强度B(z),故可得,B(z)为轴上磁感应强度,（1-46）,电子光学(Kang)P.38,旋转对称电磁场,旋转对称磁场幂级
15、数展开,已知rA,可得轴外磁感应强度,和电场一样，已知轴上磁感应强度B(z)，便可确定空间的磁场。,电子光学(Kang)P.39,旋转对称电磁场,旋转对称磁场旁轴区域磁场（忽略高阶项）,和电场一样，旁轴区的性质为1.轴本身为磁力线;2.旁轴区基本为轴向，且大致均匀，等于轴上磁场;3.径向场正比于离轴距离r即轴上场 B(z)的变化率.,电子光学 第一章(Kang),提纲预备的电磁场知识旋转对称静电场旋转对称磁场,直轴多极场,电子光学(Kang)P.41,直轴多极场,直轴多极场为什么引入多极场1.旋转对称系统由于横向作用力小，不能应用于高能粒子聚焦；2.多极场可用于旋转对称系统的像差校正。,直轴多
16、极场在圆柱坐标下，仍然满足拉普拉斯方程,（148）,与旋转对称系统不同，电势也是方位角的函数。,电子光学(Kang)P.42,直轴多极场,直轴多极场降维 对电位在方位角方向做傅立叶级数展开,（149）,显然,上式中右边为m次谐波电位，当m=0时，0次谐波电位为旋转对称系统。第一项关于=0子午面左右对称；第二项相对于=0子午面左右反对称，相当于第一项的对称面移动了；可以认为是斜的m系谐波电位。,电子光学(Kang)P.43,直轴多极场,直轴多极场求解 将（1-49）代入（1-48）可以得出,（150）,（151）,电子光学(Kang)P.44,直轴多极场,直轴多极场求解 分离变量法,（152）,
17、其中,为m阶变态贝塞尔函数，一般可展开为,的乘积，即,r的偶次项级数与,（153）,电子光学(Kang)P.45,直轴多极场,直轴多极场求解代入解的形式中，得到系数满足的递推公式：,（154）,令,，可以得到系数为,（155）,电子光学(Kang)P.46,直轴多极场,直轴多极场求解 代入式（153）即得到了解形式,同理可得到,代入到方程解中得到解为：,电子光学(Kang)P.47,直轴多极场,直轴多极场电势 一般对任意非旋转对称场，总是可以用各次谐波函数(z),1(z),2(z),1(z),2(z)来描述，如果忽略r5以上项,旋转对称场,二极场,四极场,六极场,八极场,电子光学(Kang)P
18、.48,直轴多极场,二极场 忽略高阶项，大体上是一横向的均匀场。,图1-4 二极场等位线以及对电子的作用,带电粒子进入二极场后，将受到x方向的作用力，有一定速度的粒子将受到y方向的作用力。二极场的作用主要是偏转作用。,电子光学(Kang)P.49,直轴多极场,直轴多极场二极场,图1-5 静电偏转系统,电子光学(Kang)P.50,直轴多极场,直轴多极场,四极场,六极场,八极场,依此类推，可以得到十极场、十二极场等等。可以用2m表示几极场。,电子光学(Kang)P.50,直轴多极场,四极场（忽略二阶导数）,图1-6 四极场,四极场的等位线为双曲线形式，双曲线具有与x、y轴成45度的渐进线。四极场
19、一个方向受到聚焦力，令一个方向受到散焦力。,电子光学(Kang)P.52,直轴多极场,六极场,图1-7 六极场,六极场具有三对六个电极组成，在2圆周角内场变化三次，一个周期内离子受到力变化三次，形成星形结构，用于像差校正器。,电子光学(Kang)P.53,直轴多极场,八极场,八极场沿圆周的变化周期重复四次而有八个极。作用力正比于离轴距离的3次方，可以对三级几何形象差起到调节作用，常被用于作为像差修正系统的元件,图1-8 静电消像散器a.四极 b.八极,电子光学(Kang)P.55,直轴多极场,直轴多极场一般情况下，任意非旋转系统包括旋转对称、二极、四极、六极、八极等多极分量。如果可以将电极做成与各极场的等位面相同，那么系统只存在单极系统，例如：圆筒电极构成旋转对称系统，平行板电极构成二极系统等；如果电极不能形成标准的电极形状，就可能由各个多极系统构成。,微纳加工科学原理第一章(Kang)P.15,Acknowledgement,Thank you for your attention.,
