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1、第二节 离散随机变量及其分布律,一、离散型随机变量的分布律,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,离散型分布律的两个基本性质,证明：因为x1,x2,x3,.是X的所有可能取的值，且当ij时，X=xi X=xj=，故从而有,分布函数,分布律,离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,=P(抽得的两件全为次品),求分布律举例,例 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值为 0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),PX=1,PX=2,=P(只有一件为次品),PX
2、=0,故 X的分布律为,而“至少抽得一件次品”=X1,=X=1X=2,PX1=PX=1+PX=2,注意：X=1与X=2是互不相容的！,实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了,故,从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。,解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,则 Ai,i=1,2,3,是相互独立的！且,X的所有可能取值为 1，2，3，,k,P(X=k)=,(1-p)k-1p,k=1,2,(X=k)对应着事件,例,设随机变量X的分布律为,试确定常数b.,解,由分布律的性质,有,例,二、常见离散型随机变量的概率分布,1、两
3、点分布(0-1分布),则称X服从参数为p 的两点分布或(0-1)分布,背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。,如：上抛一枚硬币。,定义：若随机变量X的分布律为:,例,设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量,其概率分布为,即X服从两点分布。,其中0 p 1,则称X服从参数为 n,p 的二项分布(也称Bernoulli 分布）,记为,XB(n,p),在n重伯努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,n.,随机变量
4、X的分布律,2、二项分布（Binomial distribution）,二项分布的图形,从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.,有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验,记X为共抽到的次品数，则,A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5 p=1/4,例,解,例,一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。,解,XB（10,0.9）,(1)P(X=8)=,P(X=8)+P(X=9)+P(X=10),3.几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X
5、服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量,求X 的分布律.,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.,解,4.超几何分布,设X的分布律为,超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.,说明,5、泊松分布 Poisson distribution,若随机变量 X 的分布律为:,其中 0,则称X服从参数为的泊松分布,XP(),定义,泊松分布的图形,服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;矿井在某
6、段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目,体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。,实际问题中若干是服从或近似服从 Poisson分布的,例,解,泊松定理,实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,二项分布的泊松近似,The Poisson Approximation to the Binomial Distribution,上面我们提到,例 为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,例:设一只昆虫所产虫卵个数X服从参数为的泊松分布，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，并且各个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫个数Y服从参数为p的泊松分布。,证明：由题设知,这里q=1-p,由全概率公式得,即Y服从参数为p的泊松分布.,
