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1、第2课时 等差数列习题课,等差数列的前n项和公式：,等差数列的通项公式：,等差数列的性质；,（2）,；,；,.,已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，在解题中常用的性质有：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n,成等差数列.,探究点3 等差数列前n项和的性质,例3：等差数列an的前n项和为Sn，S30=12S10，S10+S30=130，则S20=()A.40 B.50 C.60 D.70【解析】由S30=12S10，S10+S30=130，得S10=10,S30=120，由S10,S20-S10,S30-S20成等差数列，即2(S20-S10)=S10+S30-S20，得S20=50.,B,
2、这样，我们可以把Sn看成以n为自变量的特殊的二次函数，因此我们可以用二次函数的方法来研究Sn.,一，等差数列的前n项和与二次函数的关系,等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系,定义域为N*,联系,Sn,图象是一系列孤立的点.,区别,f(x),定义域为R,图象是一条光滑的抛物线.,解析式都是二次式；Sn的图象是抛物线y=f(x)上的一系列孤立点.,例1.在等差数列an中，,解：,在等差数列an中,Sn最大？,看对称轴,【特别提醒】,思考：在等差数列中，当a10,d0和a10,d0时，分别分析Sn的最值情况.提示：当a10,d0时，数列为递减数列，所以Sn有最大值；当a10,d0时，数列为递
3、增数列，所以Sn有最小值.,等差数列前n项和的最值问题,另解：,在等差数列an中，,【特别提醒】,练习：设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值解析：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由ana1(n1)d及a35，a109，得 解得 所以数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)知，因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值,二，,这种做法适用于所有数列,例2.已知数列an的前n项和Sn=n2+2.,解：（1）a1=S1=1+2=3，由S2=4+2,得a1+a2=6，所以a2=3，同理可得a3=5
4、.a1,a2,a3分别为3,3,5.,（2）当n=1时，a1=S1=3.当n2时，an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1.,（3）因为 所以数列an不是等差数列.,【提升总结】已知Sn求an的步骤第一步，令n=1,则a1=S1,求得a1；第二步，令n2，则an=Sn-Sn-1；第三步，验证a1与an的关系，若a1适合an,则an=Sn-Sn-1;若a1不适合an，则,【变式练习】,35,与等差数列有关的基本运算一般是求数列中某一项或几项的值的问题，通常利用数列的通项公式或数列的前n项和公式列出方程组，求出a1，d或者根据已知条件进行简单代换,探究点4 等差数列基本量的计算,
5、例4：(1)已知等差数列an的公差d=2，且a5=3，求数列an的前9项和S9.(2)在等差数列an中，a4=10，a10=-2，若Sn=60，求n的值.【解析】(1)由a5=a1+4d=3，及d=2，知a1=-5，所以S9=9(-5)+2=27.,(2)设等差数列an的首项为a1,公差为d，由a4=10，a10=-2，得 解得整理得：n2-17n+60=0，所以n=5或12.,【变式练习】,已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,【变式练习】,解法2,由S3=S11得,d=2,当n=7时,S
6、n取最大值49.,an=13+(n-1)(-2)=2n+15,由,得,求等差数列前n项和的最大(小)的方法,方法1:由,利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,【提升总结】,探究点6 等差数列的判断或证明,【变式练习】,【提升总结】,2.等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130 B.170 C.210 D.260,C,C,1.在等差数列an中,已知S15=90,那么a8等于（）A.3 B.4 C.6 D.12,3.设Sn为等差数列an的前n项和，则a9=（）A.-6 B.-4 C.-2 D.2,A,B,B,20,回顾本节课的收获,等差数列,性质,通项公式,定义,等差数列前n项和公式,等差数列的前n项和与二次函数的关系,应用,利用Sn求an,等差数列基本量的计算,等差数列前n项和的性质,等差数列前n项和的最值问题,等差数列的判断或证明,自然赐给了我们知识的种子，而不是知识本身.寒涅卡,
