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1、,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念 与C-R 条件,第二节 初等解析函数,第三节 初等多值函数,Department of Mathematics,第一节、解析函数的概念与 柯西黎曼条件,一、复变函数的导数与微分,1.定义2.1,在定义中应注意:,2.微分,注:可导与可微等价.,例1,解,二.解析函数的概念及其简单性质,1.定义2.2,注1,注2,区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,2.奇点的定义,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不
2、等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,定义2.3,注1、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；但反之不成立.注2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；,注3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；,3.求导法则,反函数求导法则,复合函数求导法则,利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。,注,例2,解,在全平面解析,二、Cauchy-Riemann方程,1.可微的必要条件,证明,则,存在,存在,存在,注:定理条件是必要而非充分的,证,例3,2.可微的充要条件,证,(1)必要性.,(2)充分性.,由于,证毕,3.可微的充分条件,4.解析的充要条件,5.解析的充分条件,注:柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件,例4,解,例5,解,四个偏导数均连续,指数函数,例6,证明,例7,解,例8,证,参照以上例题可进一步证明:,例9,证,根据隐函数求导法则,根据柯西黎曼方程得,思考题,思考题答案,作业,P90习题(一)5(2),(4);6(2);7;8(1),(2),本节结束,谢谢！,
