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1、期末总复习,（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。,（1）设,则,（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。,（2）设,则,（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。,（3）典型例题,例1：已知三个平面的一般方程为,则必有（）,解：,B,例2：设直线 L 和平面 的方程分别为,则必有（）,解：,C,例3：求过直线,解：设过直线 L 的平面束方程为,且与平面,夹角为,的平面方程。,（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线
2、、Lagrange 乘数法求最值、方向导数,（1）多元函数在某点的极限、导数,要点：I：求二元函数在某点的极限,（3）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线,要点：I：曲面在某点处的切平面,（1）设曲面方程为,第一步：计算,第二步：计算曲面的法向量,第三步：分别写出切平面和法线的方程,（2）设曲面方程为,第一步：取,第二步：计算曲面的法向量,第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程,要点II：空间曲线的切线与法平面,（1）设空间曲线 的方程,第一步：确定点,第二步：计算,第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程,（2）设空间曲线 的方程,（3）设空间曲线 的方程,
3、拉格朗日乘数法：,（1）构造拉格朗日函数：,（2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点。,问题 1：求函数 z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。,（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。,（4）Lagrange 乘数法求最值。,例1：在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点,则该点到平面的距离为,问题1：在约束条件,下，求距离 d 的最大最小值。,由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题,问题2：在条件,下，求函数,的最大最小值。,（1
4、）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,求得两个驻点：,对应的距离为,（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,三、二重、三重积分的计算（极坐标、直角坐标、柱面坐标）,重点内容,（1）二重积分中二次积分的交换次序；,答案:,例2：试证：,（2）利用极坐标计算二重积分；,再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。,（3）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；,在下面两种情形下，比较适合用此方法。,（1）被积函数是一个一元函数，或计算二重积分,比较容易。,（2）截面,的形状比较简单,
5、（4）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；,例6：,提示：,再对,用“先二后一”的方法计算，,并用对称性给出另外两项的结果。,四、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。,（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；,（2）基本公式,格林公式,高斯公式,主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分,主要作用：将曲面积分转化为三重积分,（3）基本应用：,格林公式和高斯公式的两类典型应用题：,2.平面曲线积分,3.二元函数的全微分求积问题,“封口法”和“挖洞法”。,与路径无关,在单连通区域 G 内,为某个二元函数 u 的全微分,且,（4）基本计算技巧,1.利用对称性；,2.
6、利用曲线或曲面方程化简被积函数；,3.利用关系式,将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；,4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。,五、数项级数收敛性判别，幂级数的收敛半径，收敛区间，幂级数求和函数，傅里叶级数的收敛定理。,（1）数项级数收敛性判别,1.正项级数,比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件,几何级数、P 级数和调和级数,2.交错级数：,莱布尼茨定理,3.任意项级数：,绝对收敛和条件收敛。,任意项级数,收敛性判断的一般步骤：,（1）检验,（3）用正项级数审敛法检验,是否收敛？,则原级数绝对收敛，从而收敛，,（4）若,发散，,但是用比值或根值法判断
7、的,则原级数也发散。,是否成立？,若否，则原级数发散,若是或,难求，则进行下一步；,若是，,否则，进行下一步；,（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步,（5）用性质或其它方法。,（2）幂级数的收敛半径和收敛域,求幂级数,（1）利用极限,（2）判定幂级数在端点,确定收敛半径 R 及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。,（2）对幂级数,要先做变换,（3）求幂级数的和函数,求幂级数,（1）利用极限,（2）判定幂级数在端点,确定收敛半径 R 及收敛区间,处的收敛
8、性，,收敛域的一般步骤：,（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。,（2）对幂级数,要先做变换,性质3：幂级数,逐项积分后所得级数,的和函数 s(x)在收敛域 I,上可积，,并有逐项积分公式,其收敛半径与原级数相同。,（3）求幂级数的和函数,性质4：幂级数,逐项求导后所得级数,的和函数 s(x)在收敛区间,内可导，,并有逐项求导公式,其收敛半径与原级数相同。,说明：求和函数一定要先求收敛域。,（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，,设 f(x)是周期为 2l 的周期函数，且满足,（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，,则 f(x)的傅里叶级数必收
9、敛，并且,（1）当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)。,（2）当 x 是 f(x)的间断点时，级数收敛于,（3）当,时，级数收敛于,（4）傅里叶级数的收敛定理,说明：上述结论同样适用 l=的 情形。,例1：已知,的收敛半径为 3，则,的收敛区间为（）,例2：级数,当（）,（A）p 1 时条件收敛，,（B）0 p 1 时绝对收敛，,（C）0 p 1 时条件收敛，,（D）0 p 1 时发散。,C,例3：设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在,则 f(x)展开成傅里叶级数在 x=1 处收敛于,解：根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在 周期的端点x=1 处收敛于,上的表达式为,例4：设,则,解：若将 f(x)作奇延拓至,而,再以 2 为周期延拓至整个数轴，,则 s(x)就是延拓后的函数在整个数轴上的傅里叶级数的和函数。,s(x)是一个奇函数，所以,例5：设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在,求 f(x)的傅里叶级数的和函数 g(x),解：f(x)在 x=0 处不连续，,上的表达式为,所以根据收敛定理,及 g(2)的值,
