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1、泛函分析在力学和工程中的应用陆章基（复旦大学应用力学系）摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自
2、然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分 是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯|x|（是普通向量长度的推广）。
3、线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内
4、积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间Wm,p（）（p1，m0）3。它是由Lp（）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更
5、精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为Hm（），称作Hilbert-Sobolev空间。泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微
6、分运算也可推广于泛函或算子。例如微分，Frchet微分和次微分等。为了剖析算子的结构和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅4 。综上所述，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、工程和其它实用学科的规律。然而，借助几何工具，它们在Banach空间，尤其在Hilbert空间获得直观几何解释，使力学和工程人员较易接受。因此，该学科不仅为应用数学家所欣赏，也为广大力学人员所重视。后者的队伍中不仅包括理论工作
7、者，也包括实验和设计人员。但由于泛函分析的难度，正如5所述，若把应用数学家和实用科学工作者（力学家和工程师等）比拟为两支队伍，分别从山的两端挖地道，他们应该在精确解那个位置相遇。从目前状况而言，后面这支队伍人员严重不足。基于这一情况，本文打算从力学和工程角度，对泛函方法的特点及实际应用作不全面的介绍，以引起抛砖引玉的作用。$ 2 泛函观点下的近代结构理论众所周知，为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。Oliveira67以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrem
8、atical Theory of Structures）”。该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。固体响应的一般模型举例1. 给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场 X = （e，）称为结构场。若还满足称之为 既协调又平衡的场称为精确场。记全体结构场的集为X，按应变和应力分别引入线性运算，然后配上如下范数 = = X成为Banach空间。对于任给的系统，X中与之的所有结构场构成X的子集。X的全体子集类记为。通常，假定等协调和等平衡子集之交仅包含一个元。于是，可建立X的元与笛卡尔积（记
9、为A）的元之间的一一对应，X = x（I，E）。称为空间。由功原理得到的总能原理表明：精确解使总在上表达到驻值。临近两个结构场X和X+h的距离除了用范数定义外，更方便地另行定义为d（X+h，X）= ，因为此时满足2. 把结构场空间X中满足的子集C称为X的约束子集。在X上有连续泛函类=，其中泛函在每个约束子集C上有极小点s。对给定的，各种约束子集C的这种s之全体构成X的最小子集M。若两个结构场属同一子集，称它们是的。通常，每个最小子集和约束子集之交仅一个元，就是精确解。3. 在弹性体各种可能状态集中，若配上弹性能（f，f）作为范数，得到Banach空间。若配上两个状态的“相互作用能”（，）（例如
10、（，）= ）作为内积，得到Hilbert空间H，称为状态空间。有两条途径产生非零状态：（i）外力系p在位移系u上做功，产生“载荷应力状态f ，即（f ，f ）=p u 。全体f 构成“载荷应力状态空间”H ；（ii）因材料缺陷（例如位错等）或热应力等使弹性系统不再与内蕴欧几里德几何或刚性支撑协调，即使无外力仍呈现非零状态，称为“自应力状态”f 。若表示几何非协调测度（例如非协调张量、Burgers向量或刚性支撑偏差），x表示相应的应力函数，则（f ，f ）= x。全体f 构成“自应力状态空间”H。于是，状态空间H = HH。其中是直和，意味着载荷应力和自应力直交：（f ，f ）=0 。这构成P
11、rager和Synge8超圆方法的基础。利用一般响应模型（例如以上第2种）可以描述结构分析的模型生成理论（例如有限元中由连续模型生成离散模型，板壳中由三维模型生成二维模型）。过程如下：利用能方法，参照原模型定义新模型的，并把方程和边界条件移植于新模型。据此在原结构场与新结构场之间建立对应关系现行算子B1：y=B1x，xX，yY。从而在Y中（和X一样）也可考虑方程。作某种限制（例如板壳的Kirchboff假定，杆的Bernoulli假定，有限元的允许场）使Y的元和子集X X的元之间建立又一对应关系线性算子B2：x = B2y，x X ，称X 为允许场空间。称算子B= B1 B2：X - X 为内
12、插算子。X中元的B象在X 中也。然而，一般讲这些象元在X中不一定。特殊地，若内插算子B使X 中任二个元的B象在X中也，称B是共形算子。另引入算子X - X ，它把X的每个约束与最小子集之交x对应于X 中相应的约束与最小子集之交xa，称算子A为近似算子。把上述x X的A象元xaX称为x在X中的近似元。有限元（和板壳）理论相当于把求泛函在C上的最小值s这个变分问题，近似为求在C 上的最小值sa。由于一般地CC，它和Ritz法不同。因此得寻求新的收敛定理，以鉴别由有限元生成的离散模型或由板壳理论生成的低维模型的合理性，即须作收敛分析。Oliveira7曾给出估计近似值的基本定理d2（s，sa）+。在
13、Ritz法中则为d（s，sa） d（s，s）。因此，收敛分析归为两步：（i）确定与精确解等约束的场sa，并用近似解内插；（ii）对精确解和近似解的泛函变分和作量级估计。应该讲，上述“结构数学理论”尚粗糙，且局限于弹性（可以非线性）系统。须进一步精确和严密化，并扩大适用范围和提供新见解。$ 3 力学和工程应用中的几种泛函方法1. 直交投影法该方法把调和方程或泊松方程Dirichlet问题的解空间表达成两个直交子空间之和：调和函数类和边界上为零的函数类。Minhlin在讨论方截面杆的Saint-Venant扭转问题时，用本方法详细给出方形域中泊松方程Dirichlet问题之解，并证明所算得的最大剪
14、应力之精度胜于Ritz法。此外还给出一般三维域中同一问题的解以及本方法对一般方程Au=0（其中A是下有界、正线性椭圆微分算子）的应用。Maurin分析了微分方程的Dirichlet问题。他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之间的密切关系。以后Rafalski把之用于瞬态热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性，证实了Maurin所发现的两种方法的关系。Bessel不等式中的等号，对应于f等于它在生成空间中的直交投影的情形。Klyot-Dashinsky曾把之应用于平面有势问题，以及更一般的各项异性板的变形方程。Nowinski和Cho给出由电流加热的长杆热弹问题的解。2. Cauchy-Schu
15、warz和Bessel不等式；超圆方法这两个不等式因几何意义明显易于求解具体问题。Diaz及其同事较早地把这些不等式应用于弹性力学，他们证明Rayleigh-Ritz和Trefftz方法可由Cauchy-Schuwarz不等式给出。Rayleigh-Ritz近似解相当于直交三角形之斜边，精确解为直角边；而Trefftz近似解相当于直交三角形的直角边，精确解为斜边。从而，这两个近似解给出线性编制问题精确解的上下界限。最近，Nowinski利用Cauchy-Schuwarz不等式研究各向异性板弯曲的广义双调和边值问题解的界限和各向异性杆的扭转刚度。数值结果表明精确度良好。Stumpf利用直和分解对
16、各类弹性量尤其薄板理论中的弹性量建立点状界限。这两个不等式又能导出与实用问题有关的许多其它重要不等式和方法。值得一体的是Prager和Synge的超圆方法。在状态空间H中选定就范直交系g，任何状态可作Fourier展开：。用两个近似向量逼近并界限精确解f。把满足平衡方程和应力边界的所有状态视为约束子集C。把满足协调方程和位移边界条件的所有状态视为最小子集M。精确解是这两子集之交。通常难于找到C和M中全部向量。于是，只能分别在部分C和M中找最接近f的两个向量和，称为极点。，和三向量的断电位于同一个“超圆”上。圆心位于（+）/2，半径为/2，极点位于同一直径的两端，该方法的基本不等式为（，）（，）
17、（，）。当超圆退化为一点时，得到精确解。Synge在他的专著和一系列论文中已把超圆方法应用于二维调和方程的Dirichlet问题；Neumann型扭转问题；任意截面弯扭杆的Dirichlet问题；非确定度量的弹性和电磁振动问题。他还考虑n维黎曼空间的情形。Greenberg和Prager在弹性板问题中推广了此方法，获得可接受的精度。Nordgren确定板近似解的误差限。Nowinski和Cho讨论重力场中弹性柱的情形，其数值解与Galerkin法相比是一致的。可以把超圆方法推广于任何具有正测度（例如能和功率）的线性系统。包括广义弹性连续体、电磁组合、交换场和电子网络等。还可推广于点状边界条件。
18、这里应从更一般意义下理解“点状”不仅指点力状态，还包括偶极和多极状态，以及相应的自应力状态。3. 变分法Mikhlin较早地用泛函分析为工具研究直接变分法。以后，Kato，Noble等的论文中在估算各类边界条件下的弹性板振动频率及其界限时，甚至在更一般背景下研究算子（是的伴随）的理论。这类算子在许多数理方程中出现，例如调和方程，双调和方程，Sturm-Liouville方程，线弹性方程以及某些Fredholm型积分方程。Oden和Raddy进一步推广补余变分原理；Sandhu和Pister给出广义Mikhlin变分问题，对于连续统力学中出现的一类线性耦合场问题建立扩充的变分问题。以上诸研究中，
19、泛函变分为零蕴涵Frchet导数为零。Tonti指出，与泛函变分问题相关的微分方程中的算子L不必对称。若L非对称，可以另取下述双线性型卷积为内积（Gurtin）思想。Raddy利用此双线性卷积及Gateau导数构造粘弹性动态理论的变分原理。该方法可用于流体弹性、在电学、热弹性和其它领域中的静态和动态弹性问题。在初值问题方面，Reiss和Hang考察了极值原理，用抽象算子记号构造了相当一般的最小原理，把一大类线性初值和混合问题包括在内。其应用包括振动、波传导、热传导，电磁体和粘弹体。Magri推广了Tonti的工作。他证明：对每个线性算子，有无限多个使该算子对称的双线性型，从而有可能做出相应的变
20、分公式。他已就扩散问题对此作了解释。Collins曾对自共轭算子提出构造补余极值原理的一般过程。Telega把这种思想推广到塑性边值问题。众所周知，我国学者在变分学范围内有重要贡献，可参阅293031，此处从略。4. 变分不等式和凸分析经典弹性问题的变分法常归结为变分等式。但在某些特性约束（刚支座或与另一弹性体接触）下，变分不能超越某界限，而且接触面的范围又以来与问题的解，事先根本不知道。数学上用解空间某个约束凸子集描述。于是，相应的变分公式呈现不等式形式。这类问题包括：单侧接触问题、有摩擦（例如Counomb摩擦等）的弹性理论和塑性理论等。变分不等式的近代工作有Fichera，Stamacc
21、bia，Lions等开创。已在Banach空间的凸集上定义的非线性算子范围内给出其理论基础，也讨论有限元近似和各种数值方法。摩擦问题变分不等式中的泛函是非线性的，可用正则摄动法，即用凸可微泛函（当时，）替代，把问题转化为可微泛函。对于接触问题，它的解约束在凸集K中，是自用边界问题。补偿方法是处理这类问题甚有效的方法。在约束凸集K上引入补偿泛函相当于在接触面上加一层弹性支座，产生附加变形能。用有限元法模拟补偿项会有一定困难。可采用约化积分。可以在34中找到各种弹塑性和粘塑性理论（包括Heucky材料、刚理想塑性材料、弹粘塑性材料、带应变硬化的弹塑性材料）的变分公式。它们大多是不等式，这由本构关系
22、引起的。显然，可以像弹性学一样，导出诸如hellinger-Reissner和其它类型的广义变分原理。有关变分不等式数值应用的具体算法可参阅35。由于有应力率，得进行时间增量积分。对于Von-Karmann板理论，Ohtake研究单侧条件，用补偿泛函求解。Oden讨论过 弹性膜的障碍问题和把变分不等式用于由Darey规律表征的多孔介质流动问题。单侧或摩擦的弹性动力学问题也有相应的变分不等式。其优点是可通过Galerkin半离散化形式弱解。常用有限差分法离散时间算子，用有限元离散空间算子。处理动态和演变问题的典型方法是“紧致方法”：在紧致有限维子空间中构造近似解，然后让子空间维数趋于，由此构造问
23、题的解。Moreau通过具有小纵向位移的弹塑性直杆准静态演变问题解剖了与线性赋范空间中的运动凸集有关的“扫描过程”。该方法可应用于弹塑性系统的演变过程，讨论解的存在性、构造算法和渐近性质等。但由于某些假定的限制，目前扫描过程局限于有限自由度系统。因此，如何把之用于连续统系统（二维或三位）有待探索。此外，利用近似算法得到其存在性的仅是演变问题的弱解，如何确定光滑程度。5. 算子的特征值问题与谱方法振动问题和弹性稳定性问题是特征值问题的源泉。小振动和经典弹性稳定性理论导致线性算子的特征值问题，包括无约束和有约束两种情况。可用Courat-Weierstrass方法处理。其中利用了正自共轭算子或紧致
24、算子的谱分析。许多文献建立了相应的变分公式。这些变分公式为使用数值方法，包括有限元法，铺平道路。但在有限弹性等问题中，线性化方法把非线性算子的许多重要特征丢弃了。因此必须探索非线性特征值问题。其中一条途径是“初始后期屈曲行为理论”，要求载荷有势。该方法从定性角度分析总势能的性能，由此研究各类稳定，可参阅42。至于弹性稳定性中的“灾变理论”，除了一些具体术语外，本质上与上述方法无多大区别；另一途径是局部线性化方法或用线性增量链代替非线性问题。从数学严格性和一般性看，这些方法皆有局限性。事实上，对于非线性算子方程，尽管可以限定解的范围，并证明算子是到上的，但是限定区域内仍有不同点产生同一象，即同一
25、象元可以分叉出多个解。许多学者已作大量努力解释非线性弹性问题解的存在状况，最终也涉及稳定性问题，可参见44，但结论还不完善。最有希望但又甚困难的领域似乎是非线性特征值问题。近年来，变分法应用于非线性特征值问题值得一提的是Lusternik-Schnirelman理论。此外，高阶特征值问题涉及到拓扑概念，尤其Category理论。非线性特征值问题，其中A，B是非线性算子，在它们有势（分别为F和G）及其它假定下，上述特征值问题归为泛函F和G的约束变分问题。而且，若许可解被约束在凸集K上，相应的约束特征值问题由变分不等式描述，可用前面叙述的正则摄动或补偿方法得到数值解。可在34中找到Von-Karm
26、ann板两边皆有约束面的屈曲问题的处理过程。 6. 实验技术中的泛函方法 为了预测船舶的机动特征，在近代船模实验中用“缓慢运动导数”描述偏离定常参考运动的水动作用力和力矩。但在非定常试验中发现这里有疑问的。尽管引入补充项或另行定义“非线性导数”等，但对一船模的不同实验得到的数据作比较，仍有很大差异。Bishop等认为原因在于没有考虑记忆效应，建议用Volterra型线性泛函表示扰动的水动力，并提出相应的试验处理技术。在倾斜曳引试验和PMM振动试验中，证明上述泛函方法与实验一致。在圆形水渠试验中，本方法尽管测点显著减少，仍保证相当好的可靠性，而且弗时少。显示出泛函方法对船舶稳定性讨论是很有效的工
27、具。也启示我们若对泛函的限制作进一步削弱的话，也许对急剧机动分析会奏效。另外，若与随机过程理论结合，可望讨论船舶在波中的阻抗变化、方向稳定性与控制等问题。在确定热应力下材料性能的试验中，通常让材料样本在给定温度下记录应变。如何以最佳方式控制样本的温度剖面，这是分布参数化控制问题。为把有限维优化的共轭梯度法推广到无限维空间，用线性方程作为试验过程的数学模型，用最小二乘法计算系统的Green函数，然后确定最佳作用函数，给出所需的温度剖面。在Hilbert空间中，利用接续的无约束最小过程逼近该约束优化。把计算结果与实验比较，证实在一般情况下本方法是合理的。但在高温时，约束条件须修改。泛函方法还可用于
28、求解以最小时间使热样本达到预定温度的问题。此外，代替积分方程，可改用偏微分方程表示系统。$ 4 若干动态一九七五年九月，IUTAM和IMU在法国联合召开“泛函分析在力学问题中的应用”专题讨论会，与会代表132名，有6篇一般报告和38篇专题报告。集中反映了当代泛函分析方法在力学中应用的概貌与动向。近年来，已有多本系统总结和概述泛函分析方法在力学（连续介质和固体方面）与工程中应用的专著。首先是Oden的一系列众所周知的著作。除此之外，今年刚问世的37值得推荐。该书综述力学中非线性边值问题理论的数学基础，重点是定性特征（存在性、唯一性和正则性等）内容包括：优化理论和变分法（凸与非凸优化问题）；非线性
29、算子理论（单调和拟单调算子，变分不等式）；局部分析（秩数论、分叉理论和非线性特征值问题）。基本定理的论证大多是构造性的，对力学中非线性问题的近似理论和计算方法极有价值。假如说阅读该书须具备较高的力学和数学基础从而使力学和工程人员望而生畏的话，那么Marson的著作也许能起阶梯作用。该书专写给欲了解固体力学近代发展并对数学有浓厚兴趣的力学家和工程师的。除了泛函基本知识外，该书涉及到变分与凸分析、变分边值问题的离散解（有限元）、变分不等式、摩擦问题、有限元法在弹性和塑性变分不等式中的应用、特征值和稳定性问题等。此外，还得推荐Nowinski的著作。该书用泛函方法处理较广的工程问题。该书唤起读者从几
30、何直观角度理解基本概念和内容，还提供不少具体问题的解。弥补了流行的泛函方法和它们的工程实用之间的隔阂。遗憾的是对当前力学中特别感兴趣的问题（特别是非线性方面的有关问题）涉及得不多。从以上IUTAM/IMU专题讨论会、有关专著与近十年众多的泛函在力学和工程中应用的论文中，可以瞥见当前的一些动向，除了本文前面所述之外，还应提及以下几个非线性问题，尽管其中有一些也许更多地属于应用数学家们的。1. 优化理论与非凸分析在数学上就是泛函F在约束子集K上的最小值问题：。它等价于变分不等式。根据推广的Weierstrass定理，若K是非空凸闭集，F是Gteau可微、（严格）凸和强制的话，F在K上存在（唯一）最
31、小值。因此，这类泛函的优化问题与凸分析关系甚密。然后，非线性（如弹性）问题中，常遇到非凸可微泛函。这类泛函优化解存在的关键往往是F的弱下半连续性，涉及到拟凸性、多凸性等。非凸泛函有力学背景，如非线性弹性体的存在定理；Mooney-Rivlin体的平衡等。另外，可由松弛理论求非凸问题的广义解。即把标准的非凸优化问题转化为正则问题，而是凸下半连续的，保证正则问题有解，该解称为原问题的广义解。2. 分叉问题分叉理论讨论非线性方程在分叉点附近解的性质，属局部分析，是面甚广的学科，其中许多内容仍在发展中。线性化理论能反映一部分特性，但局限性很大。经典的Lyapunov-Schmidt分叉理论（把非线性问题等价于非线性代数方程）已由Crandall-Rabinowitz推广化，BROWDER的有限维秩数理论也已推广于无限维空间上，这些理论在分叉问题中均很有用。此外，非线性特征值问题的一般变分理论是解分叉问题的另一重要途径。详情可参阅37。此外，各种系统（分布参数，集中参数，尤其是混合系统）的动力学问题也是泛函分析方法应用的重要阵地。这类问题包括振动、运动稳定性和优化控制等。近年来很受重视。这个方向涉及到广泛的泛函知识，例如谱理论、半群理论和非线性优化等，因篇幅所限本文不作介绍。
