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1、1,1.判断下面定义的变换，哪些是线性的?哪些不是？（1）在R3中，x=(a1,a2,a3)T,Tx=(a21,a2+a3,a23)T;,第二章 线性有界算子,（2）给定A0Rnn,XRnn,TX=A0X-XA0;（3）线性空间Rnx中，T(f(x)=f(x+1)(fRnx,2.在R3中，x1=(-1,0,2)T,x2=(0,1,2)T,x3=(3,-1,0)T是一组基，线性变换T关于该基的象Tx1=(-5,0,3)T,Tx2=(0,-1,6)T,Tx3=(-5,-1,9)T。求T在该基下的矩阵。,2,3.已知线性变换T在基,下的矩阵为,求T在基1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=
2、(0,0,1)T下的矩阵。,4.设T是线性空间V(F)上的线性变换，证明：T的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。证明：设1，2，s为T的所有不同的特征值，相应的特征向量分别为x1,x2,xs.,3,5.设U,V是线性赋范空间,T:UV是线性有界算子,证明:N(T)=xU|Tx=是U中闭子空间。,7.设k(x,y)在区域0 x,y1上连续，,证明：T:C0,1 C0,1是线性连续算子。,4,8.设X,Y是R上的线性赋范空间,证明:L(X,Y)是R上的线性空间。,9.设V是线性赋范空间,T:VV是线性算子.证明:T在V上连续T在V上一致连续.,10.设X,Y为线性赋范空间,T:XY是线性有界算
3、子,且是满射.若存在正数b,使对一切xX,有,5,11.设X是Hilbert空间，TL(X,X),证明:(1)当T是正规算子时有,(2)当T是自共轭算子时,T必为正规算子.,12.设X是Hilbert空间，UL(X,X),证明:(1)U是酉算子U*U=UU*=I;(2)U为酉算子时必为正规算子;(3)U为酉算子时,|U|=1.,6,13.设M是Hilbert空间H的闭子空间,P:HM是正交投影算子,x0H,证明：yM,yPx0,有|x0-Px0|x0-y|即,14.证明：正交投影算子是自共轭算子。证明：设P是Hilbert空间H上的正交投影算子，,15.设P1,P2是Hilbert空间H上的正交投影算子，证明：P2P1是H上的正交投影算子,7,16.设T是Hilbert空间H上的有界线性算子，证明：T是正交投影算子T=T*T。,17.设T是Hilbert空间H上的正交投影算子，证明：,
