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1、第一章 绪 论,泛函分析的研究对象泛函分析的研究内容本课程的特点与学习方法,何谓“泛函分析”？根据关肇直先生给出的定义，“泛函分析是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具”所谓物理系统（包括社会经济系统）的自由度，是指用于完全描述系统行为的一组无关量的个数。要澄清泛函分析研究对象的特征，需要考察数学诸分支与自然科学之间的联系。,泛函分析的研究对象,经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续
2、运动的各种特性。在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。,泛函分析的研究对象,常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学描述，以及运动轨线即微分方程解的存在性与唯一性问题，而且讨论连续运动过程的稳定性问题，并给出自由运动或受迫运动中运动轨线的求解方法。这种运动也只具有限多自由度，因为我们只考虑特定的系统，以及单个特定函数作用于系
3、统所产生的行为。在电学理论和经典调节原理中，一种广泛适用的频域分析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变函数论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括Fourier变换和Laplace变换在内的各种频域分析方法，提供了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象，一般也只具有限多自由度。,泛函分析的研究对象,连续介质力学、电磁场理论等的研究对象，一般是分布参数系统，需要用偏微分方程来描述，而完全描述系统行为的一组无关量有无限多个，即系统具无限多自由度。现代控制理论和系统科学，已经由研究单个特定函数作用于系统时所产生的行为，扩展到研究一类函数作用于系统时可能产生的行为。这样的一
4、类函数或称函数类、函数空间同样具无限多自由度。而定义于其上的泛函数或算子，则可用来描述系统的行为或其中的各种关系。,泛函分析的研究对象,泛函分析的基本概念形成于19世纪末到20世纪初，而作为一门独立的数学分支则出现于上世纪30年代。经过上世纪40至50年代的发展，使其成为一门足够成熟的学科。它不断地渗透到各种应用领域，包括连续介质力学、电磁场理论、控制理论和系统科学等。在某种意义上说，泛函分析提供了一种知识框架，它把数学分析中有关函数性态分析的结论，线性代数中有关向量与向量空间、线性变换的概念，古典变分法中关于泛函变分的概念，微分方程中定性分析与求解的概念等，纳入统一的框架中；同时按泛函分析的
5、理论体系，给出统一的分析和处理。,泛函分析的研究内容,首先要把有限维向量空间的概念，推广到一般线性空间，包括由函数类形成的无限维线性空间，接着要讨论一类在元素间定义了距离的集合，称为“度量空间”。在度量空间中，才有可能定义点序列的收敛，并由此引出点集的某此拓扑概念，同时还讨论定义于其上的泛函数与算子的某些性质。一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”，它兼有线性空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用以描述具无限多自由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一类更接近有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称为“内积空间”，其上定义了内积，类似欧氏空间上向量间的标量积，从而可以引入向
6、量间的夹角、向量直交等概念。对各种抽象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。,泛函分析的研究内容,其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上，相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论，这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续性、有界性、紧性和闭性等，又是算子理论研究的重点。算子方程求解及线性算子的能解性研究，给各种代数方程和微分方程求解，以及控制系统综合等，提供了理论基础。对偶空间和伴随模型算子的研究，是算子理论的一个主要组成部分。在算子理论中，还要把矩阵特征
7、值的概念，推广到一般线性算子的谱特性。,泛函分析的研究内容,线性泛函分析是本书讨论的重点，同时还涉及非线性泛函分析的基本知识，特别是有关凸集和凸泛函的凸分析理论，这对比较广泛的一类泛函求极值问题有着重要意义。非线性泛函分析还要把有限线性空间上函数微积分的概念，推广到无限维线性空间上算子的微积分。最后,还要研究泛函分析在工程技术,特别是自动控制中的应用,包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、泛函优化与最优控制，以及控制问题的数值计算等。,泛函分析的研究内容,因为控制理论中几乎所有的问题，都可以用泛函分析中有关空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明
8、确的规定，同时可以向研究者提供解决问题的途径。例如，利用对偶空间和伴随算子的理论，可以解释控制理论中几乎所有的对偶定理，而这些定理的发现，大多也是数学结论直接演绎的结果。所以，本课程是针对工科研究生的一门理论基础课程，既要体现泛函分析理论体系的严谨性，又要体现工程的可应用性。,本课程的特点与学习方法,控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。系统分析，包括系统的稳定性分析、能控能观性分析、鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为的算子的特性。传统的分析方法是实用的，但只限于某些特定的系统类型。例如传统的频域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定常系统。而泛函分析所提供的分析
9、方法，有可能对包括多输入多输出的线性时变系统、分布参数系统，以及某些类型的非线性系统进行统一的处理，从而获得更加一般的结论。所以，学习本课程要求理论联系实际，既要认真听课，同时完成大量的作业联系，掌握坚实的理论基础；又要结合专业体会理论对专业的指导作用，尽可能地把理论应用于解决实际问题。,本课程的特点与学习方法,系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，这是分析的逆问题。传统的综合方法不仅费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。现代的综合方法倾向于构造能用计算机实现的某些算法。迭代算法或递推算法的收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。系统建模和系统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。所以，学习本课程还要求掌握构造各种算法的技能，并能对其数值稳定性等进行分析。,本课程的特点与学习方法,
