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1、期末总复习,第一部分 向量代数与空间解析几何,1、向量的方向余弦,（一）向量代数,模：,方向余弦：,2、数量积、向量积和混合积的几何应用,（1）数量积的几何应用,1）几何表示：,2）代数表示：,3）几何应用：,a.求模：,b.求夹角：,c.判别两个向量垂直：,（2）向量积的几何应用,1）几何表示：,2）代数表示：,3）几何应用：,a.求同时垂直于两个向量的向量：,b.,c.判别两个向量平行：,（3）混合积的几何应用,1）代数表示：,2）几何应用：,a.平行六面体体积：,b.判别三向量共面：,（二）直线与平面,1、平面方程及转换关系,1）一般式：,2）点法式：,3）截距式：,2、直线方程及转换关
2、系,1）一般式：,2）对称式：,3）对参数式：,3、直线与平面间的位置关系,1）两平面之间：,两平面垂直：,两平面平行：,2）两直线之间：,两直线垂直：,两直线平行：,3）平面和直线之间：,直线与平面垂直：,直线与平面平行：,4）点到平面的距离：,4）点到平面的距离：,（三）曲面与空间曲线,（1）曲面方程,（2）旋转曲面,一条平面曲线C绕一条定直线旋转一周而成的曲面.,定义:,1）,2）,（3）柱面,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做,定义:,柱面,曲线C叫做准线,l叫做母线.,（3）柱面,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做,定义:,柱面,曲线C叫做准线,l叫做
3、母线.,一般地,在三维空间中,方程缺哪个变量,则方程代表母线平行于,该变量所代表轴的柱面.,（4）空间曲线,一般式,（4）空间曲线,一般式,参数式,（5）投影曲线,（四）必须熟练掌握的常见的二次曲面的方程及其图形,（1）球面,（2）椭球面,（3）圆锥面,（4）旋转抛物面,（5）圆柱面,第二部分 多元函数微分法及其应用,一、多元函数的极限、连续、偏导数与全微分,（一）基本内容小结,1、多元函数,2、二元函数的极限与连续,3、二元函数的偏导数与全微分,3、二元函数的偏导数与全微分,连续,可偏导,可微,偏导数连续,（二）重点、难点及易错点解析,1、求二元函数在分段函数的分界点或不连续点处的偏导数,需
4、用,偏导数定义.,极限存在,（三）常见的题型分析,二、多元函数的微分法,（一）基本内容小结,1.复合函数的偏导数与全微分,2.隐函数的偏导数与全微分,（二）重点、难点及易错点解析,两者区别,区别类似,把 z=f(u,x,y)中的 u 及 y 看作不变而对 x 求偏导数,把复合函数 z=f(x,y),x,y 中的 y 看作不变而对 x 求偏导数,（三）常见题型分析,1.求复合函数的偏导数与全微分,（2）含有抽象函数的二阶导数（二阶混合偏）及全微分,要点：含有抽象函数的二元复合函数二阶偏导数的计算.,2.求隐函数的偏导数与全微分,例 设,是由方程,所确定的二元函数，求,较麻烦,对定点处，较简单,三
5、、多元函数微分学的几何应用,（一）基本内容小结,1、空间曲线的切线及法平面,2、空间曲面的切平面及法线,（二）重点、难点、易错点讲解,1、,2、,（三）常见的题型分析,曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线,1、曲面在某点处的切平面,（1）设曲面方程为,第一步：计算,第二步：计算曲面的法向量,第三步：分别写出切平面和法线的方程,（2）设曲面方程为,第一步：取,第二步：计算曲面的法向量,第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程,四、方向导数与梯度,（一）基本内容小结,1、方向导数,2、梯度,（二）常见的题型分析,1、求函数在定点沿指定射线方向的方向导数.,2、求函数在定点处的最
6、大方向导数（梯度方向）.,五、多元函数的极值与最值,（一）基本内容小结,1.无条件极值,注意：,驻点,极值点,即,2.条件极值,（二）常见的题型分析,1.无条件极值问题,（三）常见的题型分析,1.无条件极值问题,2.条件极值(最值)问题,第三部分 重积分,一、二重积分,1.二重积分的定义及几何意义,（一）基本内容小结,2.二重积分的性质,3.二重积分的计算,（二）重点、难点及易错点解析,1.直角坐标系下化二重积分为二次积分时,应注意事项,2.直角坐标系下如何确定积分次序?,2.直角坐标系下如何确定积分次序?,3.利用对称性简化二重积分计算,（三）常见的题型分析,1.计算二重积分,计算二重积分的
7、一般步骤:,1)画出积分区域D的草图,考察D是否具有对称性,被积函数是否具,有奇偶性，,或被积函数中部分项是否具有奇偶性.,2)根据D的形状和被积函数的形式选取适当的坐标系.,3)根据D的类型和被积函数的特点选取适当的积分次序.,4)确定二次积分的积分限并计算二次积分.,2.累次积分交换积分次序及计算,交换积分次序的一般步骤:,二、三重积分,（一）基本内容小结,1.三重积分的概念与性质,2.三重积分的计算法,3.重积分的应用,（二）重点、难点及易错点解析,1.坐标系及积分方法的选择,1.坐标系及积分方法的选择,2.对称性和奇偶性的应用,2.对称性和奇偶性的应用,（三）常见的题型分析,1、三重积
8、分化为三次积分问题,2、利用对称性计算三重积分,3、在三种坐标系下计算三重积分的问题,4、重积分的应用问题（主要是几何应用）,第四部分 曲线积分与曲面积分,1、第一类曲线积分（对弧长）,一、曲线积分,一代,二换,三定限,2、第二类曲线积分(对坐标),一代,二换,三定限,3.两类曲线积分的关系,3、两类曲线积分的关系,4、格林公式,5、平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价命题,5、平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价命题,二、曲面积分,1、第一类曲面积分（对面积）,1、第一类曲面积分（对面积）,二代,三换,一投,2、第二类曲面积分（对坐标）,2、第二类曲面积分（对坐标）,二代,三定号,一
9、投,3、两类曲面积分之间的关系,4、高斯公式,4、高斯公式,三、重点、难点、易错点解析,2、利用格林公式 计算第二类曲线积分常见的错误,3、利用高斯公式 计算曲面积分常见的错误,4、一个重要的结论,四、常见的题型分析,1、第一类曲线积分（对弧长）的计算,方法：化为定积分,注意：1）可用曲线方程简化被积函数;,2）可用对称性简化计算（同二重积分）.,2、第二类曲线积分（对坐标）的计算,方法：,（1）化为定积分,1）直接法,2）舍旧取新法,2）舍旧取新法,两个路径都可选择,（2）利用格林公式,化为二重积分,注意格林公式的条件及挖补法的应用.,3、第一类曲面积分（对面积）的计算,方法：,化为二重积分
10、,二代,三换,一投,注意：（1）可用曲面方程 简化被 积函数;（2）可用对称性简化 计算（同三重积分）.,4、第二类曲面积分（对坐标）的计算,方法：,（1）化为二重积分,1）直接法,2）转化为第一类曲面积分,3）转化为对同一坐标的曲面积分,（不推荐）,（2）利用高斯公式，转化为三重积分,（2）利用高斯公式，转化为三重积分,注意高斯公式的条件.,5、积分与路径无关的判定（二元函数全微分求积）,5、积分与路径无关的判定（二元函数全微分求积）,取特殊路径完成计算（图1）,取特殊路径完成计算（图2）,第五部分 无穷级数,1、数项级数收敛性判别,（1）利用级数收敛的必要条件,比值判别法，根值判别法，比较
11、判别法,2、几个常见的级数,（3）交错级数：,莱布尼茨定理,（4）任意项级数：,绝对收敛和条件收敛,一、基本内容小结,（2）正项级数,（判别发散）,（1）几何级数：,（2）调和级数：,（3）P 级数：,任意项级数,收敛性判断的一般步骤：,（1）检验,（3）用正项级数审敛法检验,是否收敛？,则原级数绝对收敛，从而收敛，,（4）若,发散，,但是用比值或根值法判断的，则原级数,也发散。,是否成立？,若否，则原级数发散。,若是或,难求，则进行下一步；,若是，,否则，进行下一步；,（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步,（5）用性质或其它方法。,3
12、、幂级数的收敛半径和收敛域,求幂级数,（1）利用极限,（3）判定幂级数在端点,（2）确定收敛半径 R 及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（4）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。,（2）对幂级数,要先做变换,转化为,性质2：幂级数,且逐项积分后所得级数,的和函数 s(x)在收敛域 I,上可积，,并有逐项积分公式,其收敛半径与原级数相同。,4、幂级数和函数的分析性质,性质1：幂级数,的和函数 s(x)在收敛域 I 上连续.,性质3：幂级数,的和函数 s(x)在收敛区间,内可导，,并有逐项求导公式,逐项求导后所得级数,其收敛半径与原级数相同。,函数展开
13、成幂级数,5、函数展开成幂级数,1）直接法,2）间接法,利用已知的幂级数展开式，通过变量替换、四则运算、逐项求导或逐项积分等方法，得到函数的幂级数展开式。,6、傅里叶级数的收敛定理,说明：上述结论同样适用 l=的 情形。,二、重点、难点、易错点解析,1、绝对收敛判别法判别级数敛散性问题,若正项级数,收敛,则级数,绝对收敛，当然收敛.,若正项级数,发散,级数,一定发散.,但是如果用比值法（根值法）判别级数,发散,则级数,一定发散.,2、幂级数收敛点（发散点）的分布律（Abel定理）,3、缺项幂级数的收敛半径求法,4、满足收敛定理条件的以2l为周期的函数f(x)与其傅里叶展式的和函数S(x)的关系
14、,三、常见的题型分析,1、常数项级数敛散性的判别（包括绝对收敛与条件收敛性）.,2、求幂级数的收敛半径、收敛域.,3、求幂级数的和函数.,4、把函数展开成幂级数.,5、傅里叶级数的收敛定理.,6、确定傅里叶展开式中指定项的傅里叶系数.,7、把函数展开成傅里叶级数（包括正余弦级数）.,典型例题,例1：设,求,解：,例2：设,求,解：,例3：设,求,解：,例4：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,例4：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,例5：曲线,在点,（A）xoy 面；（B）yoz 面；（C）zox 面；,的切线一定平行于（）。,（D
15、）平面,解：取,C,例6：求曲面,上同时垂直于平面,与平面,解：取,的切平面方程。,设切点为,例7：在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点,则该点到平面的距离为,问题1：在约束条件,下，求距离 d 的最大最小值。,由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题,问题2：在条件,下，求函数,的最大最小值。,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,求得两个驻点：,对应的距离为,（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,答案:,例9：试
16、证：,例10:计算,由直线 y=x 及曲线,所围平面区域。,利用对称性和被积函数的奇偶性计算二、三重积分；,在二重、三重积分的计算过程中，要注意对称性。,例5：计算,其中 D 由直线 y=x,y=1,及x=1 所围平面区域,三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；,例12：,提示：,再对,用“先二后一”的方法计算，,并用对称性给出另外两项的结果。,例13：,提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法,（5）利用柱面坐标计算三重积分,例14：,绕 z 轴旋转一周而成曲面与平面 z=8 所围空间立体,例15：设椭球面,的表面积为a，则,20a,提示：利用曲面方程及对称性,例16：设,则
17、,提示：利用曲线方程及对称性,0,例3：,提示：利用高斯公式及椭球体的体积。,例17：设 f(x)在(0,+)上有连续的导数，L 是由点,提示：利用积分与路径无关，并取新路径：,A(1,2)到点 B(2,8)的直线段，计算,（30）,例18：计算,由抛物面,与圆柱面,及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。,提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标,例19：计算,再由坐标原点沿 x 轴到 B(2,0)。,解：,其中，L 为由点 A(1,1)沿曲线,到坐标原点，,分析：应用格林公式,补充：,例20：若幂级数,在 x=-2 处收敛，,则此幂级数在 x=5 处（）,（A）一定发散。（B）一定条件收敛。（C
18、）一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。,C,例2：若幂级数,的收敛半径是16，,则幂级数,的收敛半径是（）,4,例21：已知,的收敛半径为 3，则,的收敛区间为（）,例4：级数,当（）,（A）p 1 时条件收敛，,（B）0 p 1 时绝对收敛，,（C）0 p 1 时条件收敛，,（D）0 p 1 时发散。,C,例22：求下列幂级数的和函数,容易求得,例23：设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在,则 f(x)展开成傅里叶级数在 x=1 处收敛于,解：根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在 周期的端点x=1 处收敛于,上的表达式为,答案：,例24：设,则,解：若将 f(x)作奇延拓至,而,再以 2 为周期延拓至整个数轴，,则 s(x)就是延拓后的函数在整个数轴上的傅里叶级数的和函数。,s(x)是一个奇函数，所以,例25：设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在,求 f(x)的傅里叶级数的和函数 g(x),解：f(x)在 x=0 处不连续，,上的表达式为,所以根据收敛定理,及 g(2)的值,
