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1、高等代数,喀什大学数学与统计学院 汪仲文,汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，喀什师范学院首届“教学名师”。,任课教师,本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系,硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院,博士，2010年毕业于南开大学数学科学学院,办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：辅导答疑：星期五（双周5,6）,二、代数发展简史,三、高等代数的基本内容和特点,四、高等代数与其他学科的关系,一、课程简介,绪 论,五、学习方法与要求,六、课程资源,1.高等代数是数学系各专业的一门重要必修课，高等代数也是后继课程如近世代数等专业课程以及有关选修课程
2、的基础。,一、课程简介,代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。,大学数学系的主要基础课：,泛函分析、近世代数、一般拓扑学（新三基）,数学分析、高等代数、解析几何（老三基）,数学大厦的基石-,公理化方法,康托儿(1845-1918)出生于俄国的德国数学家.创立了现代集合论,作为实数理论和微积分理论体系的基础,以至于成为整个现代数学的基础.但其成果当时得不到认可,并受到众多数学家的攻击,患忧郁症,最后发疯,在德国哈勒大学附属医院去世.,大卫.希尔波特:(1862-1943)出生于德国的数学家,是二十世纪的数学大师.19世纪80年
3、代,数学家创立了集合论并将整个数学建立在此基础上,但集合悖论的出现引起数学危机,他于1925年提出公理化的思想方法,解决了这一危机,开创了现代数学.,代数结构:集合上研究代数运算-如:集合R上的加,减,乘,除运算 高等代数,近世代数等;序结构:集合上的顺序关系,-如:数的大小,个子的高矮等 序代数,格论等;拓扑结构:集合上连续性等-如:曲线与直线的关系 数学分析,点集拓扑,代数拓扑等 三大结构的相互重叠,组合构成各个不同的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.,数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部
4、分，属于几何学的范畴；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。,2.设置本课程的目的：开设本课程可以使学生了解到代数学最基本的概念，理论和方法，同时还对学生进行的“三个基本”训练和“一个初步”训练，即：代数学基本思想的训练、代数学基本方法的训练、代数学基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。学生学好这门课程的基础内容和方法，对今后的学习，研究和应用具有重要的作用。,“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿
5、尔花拉子米（约780850，唐朝）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是“ilm al-jabr wal muquabalah”，直译为还原与对消的科学al-jabr 意为“还原”或“移项”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muquabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。阿尔花拉子米的代数学也可以看成是“方程的科学”。,二、代数发展简史,1859年，我国数学家李善兰（18111882）首次把“algebra”译成“代数”。
6、后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的代数学，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。,古希腊数学家丢番图（Diophantus:约公元246-330年,）用文字缩写来表示未知量，在三世纪中叶丢番图写了一本数学巨著算术。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想。故有“代数学之父”的称号。,代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。,初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及
7、三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的高次方程。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组（线性方程组）的同时，还研究次数更高的一元方程。发展到这个阶段，就叫做高等代数。,人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的缉古算经就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的数书九章这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般解法。,在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程
8、解的公式Cardan公式。,在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道，但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又独自地发现了它。,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(Gerolamo Cardano 15011576)骗到了这个三次方程的解的公式，在大术(Ars Magna)(1545)中公开发表，就是通常所说的解三次方程的“Cardan公式”。,塔塔里亚发现的一元三次方程的解法,一元三
9、次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如 y3+py+q=0 的三次方程。假设方程的解y可以写成y=a+b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有a3+3a2b+3ab2+b3+p(a+b)+q=0整理得到a3+b3=-(a+b)(p+3ab)-q令3ab+p=0，则 a3+b3=-q，两边各乘以27a3，就得到27a6+27a3b3+27a3q=0,由p=-3ab 可知27a6+27qa3+p3=0这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。,三次方程被解出来后，一般的
10、四次方程很快就被Cardano的助手意大利的费拉里(Ludovico Ferarri，1522 1565)在1540年给出，而由Cardano在大术(Ars Magna)(1545)中公开发表。,费拉里发现的一元四次方程的解法,和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4=px2+qx+r关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数a，我们有(x2+a)2=(p+2a)x2+qx+r+a2等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2=4(p+2a)(r+a2)这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三
11、次方程的解法，我们可以解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。,很自然的,数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。从十六世纪中叶到十九世纪初，这个问题耗费了许多数学家的时间和精力，当时一些最杰出的数学家（例如Euler和Lagrange）曾做过一些尝试，但一直都没有被解决。Lagrange所做的大大地超过了其他所谓的五次方程的解答者，他给出了三次和四次方程存在根式解的原因，是这些方程的求解能简化为解较低次的“预解”方程。另一方面，他发现同样的方法应用于五次方程却导致一个六次的预解式。这就有可能有力的暗示次数高于四次的
12、方程一般不能用公式求解。,到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(Abel：18021829)受高斯处理二项方程(形如xp=a的方程,p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，于1824年，证明了五次及五次以上的一元n次方程没有一般的求根公式。即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、开方这些代数运算表示出来。,阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。他还发现一类能用根式求解的特殊方程。这类方程现在称为阿贝尔方程。阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。,五次或五次以上的方程不可能有代
13、数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华（Galois：1811-1832）于1830年1月彻底解决了。他给出了五次或五次以上的一元n次方程的可解条件。,伽罗华的工作不仅解决了方程具有代数解的等价条件，更重要的是第一次在方程研究中引进了一个非常新的概念群，这一理论在整个数学以及近代物理化学、量子化学中都产生了重大的影响，伽罗华的工作使代数学乃至整个数学来了个划时代的变革。,从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数系统性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。,现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数
14、中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此：代数是研究一般代数系统的一门科学。,1、基本内容,三、高等代数的基本内容和特点,高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，内容大致可分为三大部分：多项式理论（多项式是中学所学的整式概念的延伸）、线性代数的代数理论、线性代数的几何理论。,多项式理论以数域上一元多项式因式分解理论为中心内容；线性代数的代数理论以矩阵理论、线性方程组理论为重要内容；线性代数的几何理论主要以线性空间上的线性变换
15、贯穿始终而成为核心内容。,多项式、矩阵成为后面各章节内容的最重要工具。,本课程的内容包括：多项式，行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换，欧氏空间（具有度量的线性空间）等。,第一章：多项式,第二章：行列式,第三章：线性方程组,第四章：矩阵,第五章：矩阵的对角化问题,第六章:二次型,第七章：线性空间与线性变换,第八章：欧氏空间,高等代数的特点,1、逻辑的严密性2、高度的抽象性3、应用的广泛性,高等代数是大学数学专业的一门基础课，它的大部分内容均属基本知识和基础理论。进入大学，学习和中学有很大的不同。这种不同不仅表现在内容的深度上，更重要的是表现在观点和方法上。这门课程将体现由具体事
16、物抽象出一般概念，再从一般概念回到具体事物的这种辩证观点和严格的逻辑推理方法。使学生理解如何把数学对象抽象为数学结构的思想方法。,四、代数学与其他数学基础学科的关系,代数学与几何学、分析数学的区别,首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，再综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这是它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。,
17、其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。,五、学习方法与要求,1、课前认真预习，弄清这次课的主要内容及它与上次课的联系；2、在课堂上认真听讲，做好课堂笔记；3、课后及时复习，把上课的内容和笔记认真地看一遍，然后独立完成作业；每一章学完后，要及时进行小结；4、对作业中出现的错误要及时订正，对不懂的问题要尽快弄懂；不许抄袭作业，无特殊原因，作业必须按规定时间交上来。,5R笔记法,5R笔记法，又叫做康奈尔笔记法，是用产生这种笔记法的大学校名命名的。这一方法几乎适
18、用于一切讲授或阅读课，特别是对于听课笔记，5R笔记法应是最佳首选。这种方法是记与学，思考与运用相结合的有效方法。,5R笔记法的步骤：,1.记录（Record）在听讲或阅读过程中，在主栏（将笔记本的一页分为左大右小两部分，左侧为主栏，右侧为副栏）内尽量多记有意义的论据、概念等讲课内容。2.简化（Reduce）下课以后，尽可能及早将这些论据、概念简明扼要地概括（简化）在回忆栏，即副栏。3.背诵（Recite）把主栏遮住，只用回忆栏中的摘记提示，尽量完满地叙述课堂上讲过的内容。,4.思考（Reflect）将自己的听课随感、意见、经验体会之类的内容，与讲课内容区分开，写在卡片或笔记本的某一单独部分，加
19、上标题和索引，编制成提纲、摘要，分成类目。并随时归档。5.复习（Review）每周花十分钟左右时间，快速复习笔记，主要是先看回忆栏，适当看主栏。这种做笔记的方法初用时，可以以一科为例进行训练。在这一科不断熟练的基础上，然后再用于其他科目。,学业成绩考核办法,1、平时成绩=作业成绩40%+考勤成绩20%+笔记20%+综合评价20%2、作业每周批改一次，分A、B、C三级评分登记，转换为百分制时，A+=100，A=95，B+=90，B=85，C=0。最终作业成绩为各次作业的平均值。3、考勤成绩按百分制记，每旷课1学时扣10分，每迟到（早退）1次扣5分，扣完为止。4、笔记成绩期末评定，按A、B两级评分
20、登记，转换为百分制时，A=100，B=80。,5、综合评价按百分制记，由任课教师根据学生的学习态度、平时课堂表现、课外阅读和学习表现来评分。6、每学期期中、期末考试各一次（闭卷）。考试分数为百分制。7、期末总成绩=平时成绩40%+期中考试成绩10%+期末考试成绩50%。期末考试不及格者不进行总评，期末总成绩按期末考试成绩登记。严禁考试作弊，一旦发现，课程成绩按零分处理，并按学校有关条例处理。,六、课程资源,主要参考书：1、高等代数（第三版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编，王萼芳 石生明修订，高等教育出版社 2003 2、高等代数(第5版)，张禾瑞,郝鈵新 编著，高等教育出版社 2007 3、高等代数简明教程（第二版）（上、下），蓝以中 编著，北京大学出版社2007,精品课程：1、北京大学 高等代数 赵春来http:/:8000/misc/course/algebra/2、首都师范大学 代数学 石生明3、南开大学 高等代数 顾沛 4、国家精品课程资源中心-Resources Center,二、代数发展简史,三、高等代数的基本内容和特点,四、高等代数与其他学科的关系,一、课程简介,总 结：,五、学习方法与要求,六、课程资源,有问题吗？,本节结束，谢谢！,作业：求下式的根,Thank You!,
