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1、第二章 极限与连续,数列极限函数极限变量极限无穷大与无穷小极限的运算法则两个重要的极限函数的连续性,2.7 函数的连续性,函数连续性的定义,函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种描述：,当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；连续函数的图形可以一笔画成,不断开.,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,注意,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间
2、断的曲线.,例3,证,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例5,解,2.可去间断点,例6,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例7,解,例8,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.,在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例9,解,例10 讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形,解,三、连续函数的运算法则,定理,证明直接用极限的运算法则
3、就可以了如：,解,非初等函数连续性问题举例,四、在闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,1.有界性定理：,定理(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,2.最大最小值定理（最值定理）：,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,3.零点定理：,4.介值定理：,推论：,f(x),g(x),证,构造辅助函数,介值定理的证明,例1,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必
4、取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例2,证,由零点定理,五、利用函数性连续求函数极限,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,注意,定理,七、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直
5、接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,练 习 题,练习题答案,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,注意,定理,七、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,练 习 题,练习题答案,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,思考题解答,不正确.,例函数,
