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1、第三章 资金时间价值计算,1、资金时间价值的概念及其经济含义；2、资金时间价值计算的相关概念；3、资金时间价值的计算；4、名义利率与实际利率。5、资金时间价值公式的应用,一、资金时间价值的基本概念1）概念资金的时间价值是指资金随着时间的推移，其数额将日益增加而发生的增值现象。增加的那部分价值就是原有资金的时间价值。我们将其定义为：在商品经济条件下，一定量的资金在商品生产经营过程中，通过劳动所产生出的新的价值。也就是说货币在不同时间的价值是不一样的，今天的一元钱与一年后的一元钱其价值不等。,资金具有时间价值并不意味着资金本身能够增值，而是因为资金代表一定量的物化产物，并在生产与流通过程中与劳动相
2、结合，才会产生增值。资金产生价值的条件：第一，投入生产或流通领域；第二，存在借贷关系。资金的时间价值是客观存在的，只要商品生产存在，资金就具有时间价值。通货膨胀是指由于货币发行量超过商品流通实际需要量而引起的货币贬值和物价上涨现象。,资金的价值不只体现在数量上，而且表现在时间上。投入一样，总收益也相同，但收益的时间不同。收益一样，总投入也相同，但投入的时间不同。,资金的时间价值一般用利息和利率来度量。1、利息 就是资金的时间价值。它是在一定时期内，资金的所有者放弃资金的使用权而得到的补偿或借贷者为获得资金的使用权所付出的代价。通常情况下，利息的多少用利率来表示。在工程经济学中，“利息”广义的含
3、义是指投资所得的利息、利润等，即投资收益。利息通常用“I”表示。,二、资金时间价值的度量,2、利率,是指在一个计息周期内所得的利息额与借贷金（即本金）之比，它反映了资金随时间变化的增值率。在工程经济学中，“利率”广义的含义是指投资所得的利息率、利润率等，即投资收益率。一般用百分数表示。它是衡量资金时间价值的相对尺度。利率通常用“i”表示。,3、影响利率的主要因素：,社会平均利润率的高低；金融市场上借贷资本的供求情况；贷出资本承担风险的大小；借款时间的长短其他（商品价格水平、社会习惯、国家经济与货币政策等）,三、单利与复利（一）单利 每期均按原始本金计息，这种计算方式称为单利。在单利计息的情况下
4、，利息与时间是线性关系，不论计息周期数为多大，只有本金计息，而利息不再计息。,例题1：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,年初欠款,年末应付利息,年末欠款,年末偿还,1,1000,1000 0.06=60,1060,0,2,1060,1000 0.06=60,1120,0,3,1120,1000 0.06=60,1180,0,4,1180,1000 0.06=60,1240,1240,利息计算,单利计息只对本金计算利息，不计算利息的利息，即利息不再生息。,I代表总利息P代表本金i代表利率n代表计息周期数,单利虽然考虑了资金的时间价值，但对以前已经产生的利息并没
5、有转入计息基数而累计计息。因此，单利计算资金的时间价值是不完善的。,（二）复利,将本期利息转为下期的本金，下期按本期期末的本利和计息，这种计息方式称为复利。在以复利计息的情况下，除本金计算之外，利息再计利息，即“利滚利”。F=P(1+i)n,复利法的计算,P(1+i)2,P(1+i)n-1,P(1+i)n,1,P,Pi,P(1+i),2,P(1+i),P(1+i)i,n1,P(1+i)n-2,P(1+i)n-2 i,n,P(1+i)n-1,P(1+i)n-1 i,n年末本利和的复利计算公式为:F=P(1+i)n,复利计息：,利息计算,复利计息不仅本金要计算利息，而且先前的利息也要计息，即用本金
6、和前期累计利息总额之和进行计算利息，亦即“利滚利”。,例题2：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,1000,1000 0.06=60,1060,0,1060,1060 0.06=63.60,1123.60,0,1123.60,1191.02,0,1191.02,1262.48,1262.48,1123.60 0.06=67.42,1191.02 0.06=71.46,例:某工厂计划在2年之后投资建一车间，需金额P；从第3年末起的5年中，每年可获利A，年利率为10%。试绘制现金流量图。解：该投资方案的现金流量图。,（年）,例：1000元存银行3年，年利率10，三
7、年后的本利和为多少？,单利法与复利法的比较,注意：工程经济分析中，所有的利息和资金时间价值计算均为复利计算。,思考,（1）投资收益率；（2）通货膨胀率；（3）风险因素；,影响资金时间价值的因素(从投资者的角度）,四、资金等值的概念,对资金来说，资金具有时间价值，这一客观事实不仅告诉人们，一定数量的资金在不同时间代表着不同的价值，资金必须赋予时间概念，才能显示其真实的意义；而且也从另一方面提示我们，在不同时点的不同数量的资金就可以具有相同的价值，这就是资金等值的概念。影响资金等值的因素有三个：1、金额；2、金额发生的时间；3、利率。,(1)现值（P）（Present Value）发生在某一时间序
8、列起点（零点）的资金值（效益或费用），或者把某一时间序列其它各时刻资金用折现办法折算到起点的资金值，称做现值，记作P。(2)终值（F）（Future Value）也称将来值、未来值。指发生在某一时间序列终点的资金值（效益或费用），或者把某一时间序列其它各时刻资金折算到终点的资金值。,(3)等额年值（A）某一时间序列各时刻发生的资金叫做年值。如果某一时间序列各时刻（不包括零点）发生的资金都相等，则该资金序列叫等额年值，记作A。反之，叫不等额年值。年金有普通年金、预付年金和延期年金之分。(4)折现（贴现）把某一时间序列各时刻的资金折算到起点现值的过程叫折现。折现（贴现）的利率叫折现（贴现）率。,（
9、一）一次支付类型一次支付又称整付，是指所分析的系统的现金流量，无论是流入还是流出均在某一个时点上一次发生。1）一次支付终值公式如果有一项资金，按年利率i进行投资，按复利计息，n年末其本利和应该是多少？也就是已知P、i、n，求终值F？,五、资金时间价值的计算方法,或间记为：F=P(F/P,i,n）,例：假设某企业向银行贷款100万元，年利率为6%，借期5年，问5年后一次归还银行的本利和是多少？解：由上式可得：,或通过查表可得：,2）一次支付现值公式如果希望在n年后得到一笔资金F，在年利率为i的情况下，现在应该投资多少？也即已知F，i，n，求现值P？,计算式为：,例：如果银行利率是5%，为在3年后
10、获得10000元存款，现在应向银行存入多少元？解：由上式可得：,（二）等额支付类型,系统中现金流入或流出可在多个时间点上发生，而不是集中在某一个时间点上，即形成一个序列现金流量，并且这个序列现金流量数额的大小是相等的。,1）等额支付序列年金终值公式在一个时间序列中，在利率为i的情况下连续在每个计息期末支付一笔等额的资金A，求n年后由各年的本利和累积而成的终值F，也即已知A，i，n，求F？,整理上式可得：,例：某公司5年内每年年末向银行存入200万元，假设存款利率为5%，则第5年末可得到的本利和是多少？解：由上式可得：,2）偿债基金公式为了筹集未来n年后需要的一笔偿债资金，在利率为i的情况下，求
11、每个计息期末应等额存储的金额。也即已知F，i，n，求A？,计算公式为：,例：如果预计在5年后得到一笔100万元的资金，在年利率6%条件下，从现在起每年年末应向银行支付多少资金？解：上式可得：,3）资金回收公式如期初一次投资数额为P，欲在n年内将投资全部收回，则在利率为i的情况下，求每年应等额回收的资金。也即已知P，i，n，求A？,例：若某工程项目投资1000万元，年利率为8%，预计5年内全部收回，问每年年末等额回收多少资金？解：由上式可得：,计算公式为：,4）年金现值公式在n年内每年等额收入一笔资金A，则在利率为i的情况下，求此等额年金收入的现值总额。也即已知A，i，n，求P？,例：假定预计在
12、5年内，每年年末从银行提取100万元，在年利率为6%的条件下，现在至少应存入银行多少资金？解：由上式可得：,练习题,某项目现金流量图如下，求现值、终值、第四年年末的等值金额。4481.1,1、某建设项目建设期为2年，生产运营期为5年，本项目可能发生A、B、C、D四种现金流状态，如下表所示。投资者最希望的现金流状态是（）。,2、资金等值计算时，和n为定值，下列等式中错误的是（）。A、（F/P，i，n）=（A/P，i，n）（F/A，i，n）B、（F/A，i，n）=（F/P，i，n）（P/A，i，n）C、（A/P，i，n）（F/A，i，n）（P/F，i，n）=1 D、（P/A，i，n）=（F/P，i
13、，n）（A/F，i，n）,3、在资金等值计算中，下列表达正确的是（）A、P一定，n相同，i越高，F越大 B、P一定，i相同，n越长，F越小 C、F 一定，i相同，n越长，P越大 D、F一定，n相同，i越高，P越大4、判断下列等式的正确性,练习：某企业贷款建设某工程，期初贷款300万元，年利率10%，第4年起投产，投产后自当年起每年净收益为80万元。问：投产后8年能否还清本息？如要求投产后5年还清本息，则每年等额净收益应为多少？,万元,在实际工程的经济分析中，有些费用或收益是逐年变化的，这就形成了等差支付的资金系列。每年的等量变化量，即等量差额用G表示。等差序列现金流量如图所示。,(三)等差支付
14、类型,1）等差序列终值计算公式该等差序列的终值可以看作是若干不同年数而同时到期的资金总和，即：,2）等差序列现值公式两边同乘系数，则可得等差序列现值公式,3）等差序列年值公式,例 某项设备购置及安装费共8000元，估计可使用6年，残值忽略不计。使用该设备时，第1年维修操作费为1500元，但以后每年递增200元，假设年利率为10%，问该设备总费用现值、终值为多少？相当于每年等额总费用为多少？,解(1)绘制现金流量图如下：,(3)设备总费用的终值为：,(4)相当于每年的等额年金为：,(2)设备总费用的现值为：,练习某项目第1、2年年初分别投资600万元、800万元，第3年投产。第3、4年年末每年收
15、入120万元、投产后每年的经营成本折算到该年年末约为50万元。其余投资希望在第4年以后的6年内回收。问这6年每年至少需要等额收回多少资金？,在某些工程经济分析问题中，其费用常以某一固定百分数p逐年增长，如某些设备的动力与材料消耗等。其现金流量图如图所示。,（四）等比序列支付类型,1）等比序列终值公式设G1=1.0，假设其以后每期增长的百分率为p，则有：,若i=p，则直接可得,，,则,2）等比序列现值公式,3）等比序列年值公式,上述等比序列计算公式是在单位资金的条件下推得的，因此上述6个公式的右端即为等比序列复利系数因子。当G11.0 时，则以相应的系数因子乘以G1即可求得F、P和A。,例 某企
16、业第1年的产值为6000万元，计划以8%的速度逐年增长，设年利率为10%，试求10年后该企业总产值的现值、终值及年值。,解 已知：G1=6000万元，i=10%，p=8%，n=10年。,第三节 名义利率和实际利率,一、名义利率与实际利率的概念 所谓名义利率，一般是指按每一计息期利率乘上一年中计息期数计算所得的年利率。例如：每月计息一次，月利率为1%，也就是说一年中计息期数为12次，每一计息期（月）利率为1%。于是，名义利率等于1%12=12%。习惯上称为“年利率为12%，每月计息一次”。所谓（年）实际利率，一般是指通过等值换算，使计息期与利率的时间单位（一年）一致的（年）利率。显然，一年计息一
17、次的利率，其名义利率就是年实际利率。对于计息期短于一年的利率，二者就有差别。,例4-11 设本金P=100元，年利率为10%，半年计息一次，求年实际利率。解：已知名义利率r=10%，计息期半年的利率为r/2=5%，于是年末本利和应为：F=P(1+i)n=100(1+5%)2=110.25（元）年利息额=F-P=110.25-100=10.25(元)年实际利率=10.25%,二、名义利率与实际利率的关系。设P为本金，F为本利和，n为一年中计息期数，I为实际利率，r为名义利率，r/n为计息期的实际利率，根据一次支付终值公式，年末本利和为：F=P(1+r/n)n而年末利息额则为本利和与本金之差：P(
18、1+)n-P又按定义，利息与本金之比为利率，则年实际利率为：（4-13）,例:某公司向国外银行贷款200万元，借款期五年，年利率为15%，但每周复利计算一次。在进行资金运用效果评价时，该公司把年利率（名义利率）误认为实际利率。问该公司少算多少利息？解：该公司原计算的本利和为：F=200(1+0.15)5=402.27(万元)而实际利率应为：i=(1+0.15/52)52-1=16.16%这样，实际的本利和应为：F=200(1+0.1616)5=422.97(万元)少算的利息为：=20.70(万元),三.瞬时复利的年实际利率,例:某企业向银行贷款200万元，名义利率为12%，要求每月计息一次，每
19、月末等额还款，三年还清，问每月偿还多少？,例:上例中如果要求每年末等额偿还，三年还清，每月计息一次，问每年偿还多少？,注意三种情况,1、计息期和支付期相同例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在开始连续3年，每半年等额支付100元，求现值。解：周期利率（半年利率）12%/26%PA(P/A,i,n)100(P/A,6%,6)1004.9173491.73元,练习：某人现借款2000元，计划在今后2年内按月等额偿还，每月偿还99.8元，求月利率、名义利率和年实际利率。答案：月利率为1.5%，名义利率为18%，年实际利率为19.56%。,2、计息期短于支付期例：年利率为12%，按季计息，从现在开
20、始连续3年，每年年末等额借款1000元，求第3年年末本利和。,3、计息期长于支付期,由于计息期内有不同时刻的支付，通常规定存款必须存满一个计息期才计利息，即在计息周期间存入的款项，在该期内不计利息，要在下一期才计算利息。因此，原财务活动的现金流量应按以下原则进行整理：相对于投资方来说，计息期内的存款（支出）放在期末，提款（收入）放在期初，分界点处的支付保持不变。,第四节 资金时间价值基本公式的应用,一、计算货币的未知量 例:某企业现在贷款10000元，年利率为6%，十年内偿还完毕，试确定下列四种偿还方案的偿还数额。方案：于每年年底偿还利息600元，最后一次偿还本利10600元。方案：每年除偿还
21、利息外，还归还本金1000元，十年到期全部归还。方案：将本金加十年利息总和均匀分摊于各期中。方案：十年末本利一次偿还。,解：计算结果见表4-8所示。表4-8 四种等值偿还贷款方案(单位:元),由计算结果可看出，四个方案偿还的总值是不相同的，这四个不同偿还方案与10000元本金是等价的。从投资者立场来看，四种方案中任何一种都可以偿付他现在的投资。从贷款者的立场来看，只要他同意在今后以四种方式中的任何一种来偿还，他今日都可得到10000元的使用权。,例:某工程项目建设采用银行贷款，贷款数额为每年初贷款100万元，连续五年向银行贷款，年利率10%，求五年贷款总额的现值及第五年末的未来值各为多少？解：
22、画出现金流量图，见下图。,已知A=100万元，i=10%，求P，F=？解法1：先求P-1，再求P，F P-1=A（P/A，10%，5）=1003.7908=379.08(万元)P=P-1（F/P，10%，1）=379.081.1000=416.99（万元）F=P-1（F/P，10%，6）=379.081.7716=671.58（万元）解法2：先求F4，再求P，F F4=A（F/A，10%，5）=1006.1051=610.51（万元）P=F4（P/F，10%，4）=610.510.6830=416.98（万元）F=F4（F/P，10%，1）=610.511.1000=671.56（万元）,二、
23、计算未知利率 在计算技术方案的等值时，有时会遇到这样一种情况：即现金流量P、F、A以及计算期n均为已知量，而利率i为待求的未知量。比如，求方案的收益率，国民经济的增长率等就属于这种情况。这时，可以借助查复利表利用线性内插法近似地求出i来。,例:已知现在投资300元，9年后可一次获得525元。求利率i为多少？解：利用式（44）F=P（F/P，i，n）525=300（F/P，i，9）（F/P，i，9）=1.750 从复利表上查到，当n=9时，1.750落在利率6%和7%之间。从6%的位置查到1.689，从7%的位置上查到1.838。用直线内插法可得：i=6%+(1.750-1.6895)(7%-6
24、%)=6.41%,计算表明，利率i为6.41%。把上述例子推广到一般情况，我们设两个已知的现金流量之比（F/P，F/A或P/A等）对应的系数为f0，与此最接近的两个利率为i1和i2，i1对应的系数为f1，i2对应f2。见图4-17。系数f0与利率i的对应图,根据图4-17，求利率i的的算式为：(f0-f1)(i2 i1)i=i1+(415)f2-f 1,例:某公司欲买一台机床，卖方提出两种付款方式：（1）若买时一次付清，则售价30000元；（2）买时第一次支付10000元，以后24个月内每月支付1000元。当时银行利率为12%，问若这两种付款方案在经济上是等值的话，那么，对于等值的两种付款方式
25、，卖方实际上得到了多大的名义利率与实际利率?,解：两种付款方式中有10000元现值相同，剩下20000元付款方式不同，根据题意：已知P=20000元，A=1000元，n=24个月，求月利率i？P=A（P/A，i，n）20000=1000（P/A，i，24）（P/A，i，24）=20=f0 查复利表：当i1=1%时，（P/A，1%，24）=21.243=f1 i2=2%时，（P/A，2%，24）=18.914=f2 说明所求月利率i介于i1与i2之间，利用公式（415）：(f0-f1)(i2 i1)(20-21.243)(2%-1%)i=i1+=1%+=1%+0.534%=1.534%f2-f
26、1 18.9140-21.2430 那么卖方得到年名义利率：r=121.534%=18.408%,卖方得到年实际利率：18.408%i=(1+r/n)n-1=(1+)12-1 12=(1+0.01534)n-1=20.04%由于上述的名义利率18.408%和实际利率20.04%都高于银行利率12%，因此，第一种付款方式对买方有利，作为卖方提出两种付款方式，则买方应选择第一种。而第二种付款方式对卖方有利，按银行利率，卖方所得的现值为：P=P1+A（P/A，i，n）=10000+1000(P/A，1%，24)=31243.4（元）,例:设有一个25岁的人投资人身保险，保险期50年，在这段期间，每年
27、末缴纳150元保险费，在保险期间内，若发生人身死亡或期末死亡，保险人均可获得10000元。问投这段保险期的实际利率？若该人活到52岁去世，银行年利率为6%，问保险公司是否吃亏？解：先画现金流量图如图4-18。图4-18 现金流量图,已知A=150元，F=10000元，n=50年，求i=？根据公式（4.6）F=A（F/A，i，n）10000=150（F/A，i，50）（F/A，i，50）=66.667=f0 查复利表：i1=1%时，（F/A，1%，50）=64.463=f1 i2=2%时，（F/A，2%，50）=84.579=f2,说明所求i介于i1与i2之间，利用公式（4.14）：(f0-f1
28、)(i2 i1)66.667-64.463 i=i1+=1%+(2%-1%)f2-f 1=1%+0.11%=1.11%所以,50年保险期的实际利率为1.11%。,若此人活到52岁就去世了，则在保险期内的第27年保险公司要赔偿10000元，看其是否吃亏，就与存银行所得本利和作比较：F=A（F/A，i，n）=150(F/A，6%，27)=15063.706=9555.9（元）保险公司亏损：10000-9555.9=444.1（元）可见此人投保期间的实际利率只有1.11%，若此人52岁时去世了，则保险公司就亏444.1元。说明社会保险是一项社会福利事业，如果社会投保面广，经营得当，也是盈利大的事业。
29、,三、计算未知年数 在计算技术方案的等值中另一种可能的情况是：已知方案现金流量P、F或A，以及方案的利率i，而方案的计算期n为待求的未知量。例如，要求计算方案的投资回收期，借款清偿期就属于这种情况。这时仍可借助查复利表，利用线性内插法近似地求出n来。其求解基本思路与计算未知利率大体相同。,例:假定国民经济收入的年增长率为10%，如果使国民经济收入翻两番，问从现在起需多少年？解：设现在的国民经济收入为P，若干年后翻两番则为4P，由式（44）F=P（F/P，10，n）4P=P（F/P，10%，n）（F/P，10%，n）=4 当i=10%时，4落在年数14年和15年之间。当n=14年时，（F/P，1
30、0%，14）=3.7975，当n=15上时，（F/P，10%，15）=4.1772。用直线内插法得到：,(4-3.7975)(15 14)n=n1+年=14.53年 4.1772-3.7975上述的例子推广到一般情况，仿照式（414），可得出：(f0-f1)(n2 n1)n=n1+(416)f2-f 1,例:某企业向外资贷款200万元建一工程，第三年投产，投产后每年净收益40万元，若年利率10%，问投产后多少年能归还200万元贷款的本息。解：先画出现金流量图（图4-19）。图4-19 现金流量图 为使方案的计算能利用公式，将第二年末（第三年初）作为基期，计算F2。,P2=200（F/P，10%
31、，2）=2001.210=242（万元）然后，利用式（48）计算从投产后算起的偿还期n。P=A（P/A，10%，n）242=40（P/A，10%，n）（P/A，10%，n）=6.05在i=10%的复利表上，6.05落在第9年和第10年之间。当n1=9时，（P/A，10%，9）=5.759；当n2=10时，（P/A，10%，10）=6.144。根据式（415），有,(f0-f1)(n2 n1)(6.05-5.759)(10-9)n=n1+=9+年 f2-f 1=9.7547年 即投产后9.756年后能全部还清货款的本息。,(五)计息期与支付期相同的计算,1）计息期为一年的等值计算 计息期为一年时
32、，实际利率与名义利率相同，可利用等值公式直接计算。2）计息期小于一年的等值计算 计息期小于一年时，实际利率与名义利率不相同，要先求出计息期的实际利率后，再利用等值公式计算。,(六)计息期与支付期不相同的计算,1）计息期短于支付期例：按年利率12%，每季计息一次，从现在起连续3年的等额年末借款为1000元，问与其等值的第3年末的借款金额为多少？,解：先求出支付期的实际利率,由,得,2）计息期长于支付期规定：存款必须存满一个计息期时才计算利息。,计息期间的存款或借款应放在期末，计息期间的提款或还款应放在期初。,例:假定有某项财务活动，其现金流量如图所示，试求出按季度计息的等值将来值为多少(假定年利
33、率为8%)。,解：按照计算期长于支付期的等值计算处理原则，将上图加以整理，得到等值的现金流量图，如下图所示,年利率为8%，则,假定存入为正，取出为负，则按季计息的等值将来值为,即：该财务活动完成后，还存有现金262.30元,1、一位购房者在2001年12月，以50万元购得一处房产。他首付30%，其余部分由银行按揭贷款解决。按揭贷款年限为20年，每年5%的实际利率。他从2002年12月开始每年偿还银行贷款。他想知道，在2015年12月，在他刚偿还贷款后，即他将退休时，还欠多少钱？2、某企业欲建立一笔专用基金，在十年中每年将一笔款项存入银行，自第十一年起（第十一年末），连续5年各提5万元。如果银行
34、存款利率为10%，那么十年中每年应等额存入银行（）元。A、2.5410 B、1.1884 C、1.9885 D、0.9776,3、下列选项中，满足有效利率与名义利率的差值最大的是（）。A、名义利率不变，计息周期数减小 B、名义利率不变，计息周期数增大 C、名义利率增大，计息周期数减小 D、名义利率增大，计息周期数增大4、某企业借贷资金8万元，偿还期为4年，年利率10%，按复利计算，有A、B、C、D四种还款方式，各还款方式中支付总金额最多的是（）A、每年年末偿还2万元本金和所欠利息 B、每年年末只偿还所欠利息，第4年年末一次还清本金C、在4年中每年年末等额偿还D、在第4年末一次还清本息,5、某企
35、业年初投资3000万元，10年内等额回收本利，若基准收益率为10%，则每年末应回收的资金是（）万元。A、188.1 B、296.7 C、361.3 D、488.16、有一笔资金100000元，在年利率10%、每月计息1次的条件下存入银行，则5年后应得多少资金？如每年计息一次，5年后应得多少资金？（按复利计算）,7、某公司在3年之内需要10000平方米的储藏场所。一种方案是以8000元购得一块地，并搭建一个临时性、金属结构仓库，建造成本估计为7元/平方米；3年之后，该公司打算以9000元卖掉土地，并以12000元卖掉建筑物。另一种方案是租赁一个仓储场所，每月租金为0.15元/平方米，每年初付款一次。假设利率为10%，试绘出现金流量示意图并分析该公司应以哪一种方式解决仓储问题。,
