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1、1,第三讲 微分中值定理与导数的应用,习题课,内容提要,典型例题,2,一、内容提要,1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange),2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.,3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数,定理.,的单调性和求极值的方法.,3,5.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.,6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和,曲率半径.,4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.,会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).,4,Rolle定理,Lagrange中值定理,常用的泰勒公式,Cau
2、chy中值定理,Taylor中值定理,一、内容提要,5,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,6,2.微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(3)证明恒等式或不等式,(4)证明有关中值问题的结论,(2)证明方程根的存在性,7,利用,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用,若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法,(1),可用原函数法找辅助函数.,(2),柯西中值定理.,中值定理.,(3),(4),有时也可考虑,多考虑用泰勒公式,逆向思维,
3、设辅助函数.,多用罗尔定理,必须多次应用,对导数用中值定理.,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.,8,(1)研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,(2)解决最值问题,目标函数的建立,最值的判别问题,(3)其他应用:,求不定式极限;,几何应用;,相关变化率;,证明不等式;,研究方程实根等.,4.导数应用,9,二、典型例题,例 证明方程,在(0,1)内至少有一实根,分析,如令,不便使用介值定理,用 Rolle 定理来证,证,令,则,且,故由Rolle 定理知,10,且满足罗尔定理其它条件,练习,证：,11,例,提示：,满足Rolle 定理的条件,12,在,内可导,
4、且,证明至少存在一点,使,上连续,在,问题转化为证,设辅助函数,用Rolle定理,使,即有,例,证,分析,?,13,例,分析,构造辅助函数F(x),则问题转化为,的零点存在问题.,证,设,设,Rolle定理,使得,因此必定有,14,例.,设函数 f(x)在0,3 上连续,在(0,3)内可导,且,分析:所给条件可写为,试证必存在,想到找一点 c,使,证:因 f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理,至少存在一点,由罗尔定理知,必存在,15,例,极限不等于零的因子,16,你还打算做下去吗?,这样做,分母中 x 的次数将越来越高,而分子不变
5、,极限始终无法求出.,例,17,将原极限稍加变形:,例,此题也可用变量替换，令,18,运用取对数法.,例,19,20,运用取对数法.,例,21,这是数列的极限,罗必达,例,思考：此题如何用重要极限的方法求解？,22,例,23,思考：此题如何用重要极限的方法来求解？,24,例,解法1罗比达法则,25,例,解法2泰勒展开式,26,例,证,法一,用单调性,设,即,由,证明不等式,27,可知,即,法二,用Lagrange定理,设,Lagrange定理,由,得,即,28,例 证明不等式,证,29,例.求数列,的最大项.,证:设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值.,又因,中的最大项.,极大值,列表判别:,30,例,解,同时也是最大值,分三种情况讨论,31,由于,方程有两个实根，分别位于,方程仅有一个实根，即,方程无实根,32,32,33,五、设 f(x)在 0,1上连续，在(0,1)内导，且f(1)=0,试证：至少在一点，,使得,34,35,附：,证,不妨设,由Lagrange定理，有,36,得,注,此题还可利用泰勒公式来做,
