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1、1,第十三章 电流和恒磁场,一，概述,1.大量电荷作定向运动形成电流（传导电流，运流电流）,2.恒定电流形成的条件,有可移动的带电粒子或带电体,导体内建立不随时间变化的恒定电场（恒定电势差）,闭合回路中有一电源,二.几个重要的物理概念和物理量,1.电流：,单位：安培(1A=1库仑秒),漂移速度(drift velocity)：外场作用下，自由电子定向运动平均速度,设的大小为，方向为,正电荷运动方向的电流取正值,由此得,e为电荷电量的绝对值,对小面元,二电流密度(current density),大小规定：等于在单位时间内过该点附近垂直于正电荷运动方向的单位面积的电荷,由此定义得,大小：单位时间
2、内通过该点附近，垂直于正电荷运动方向的单位面积的电荷,方向：该点正电荷运动方向,则有,所以通过任一截面电流,7,电流密度(electric current density)是描述电流分布的矢量。在导体中任意一点的方向与正载流子在该点的流动方向相同，大小等于通过该点并垂直于电流的单位截面的电流强度。,通过任一面元单位面积的电流强度等于该处电流密度矢量沿该面元法向的分量。,电流密度的单位是Am-2。,8,在有电流的导体中，每一点都具有一定大小和方向的电流密度矢量，构成了矢量场，称为电流场。引入电流线形象描述电流场中电流的分布，规定曲线上每点的切线方向都与该点的电流密度矢量的方向相同。由电流线围成的
3、管状区域称为电流管。恒定条件下，通过同一电流管任一横截面的电流相等。,由电流密度的定义知通过导体中任一曲面S的电流I为 与电通量定义式相比较，,I 与 j 的关系也是一个通量与其矢量场的关系。,恒 定 电 流,三稳恒电流(steady current),若闭合曲面 S 内的电荷不随时间而变化，有,单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷，等于此时间内闭合曲面里电荷的减少量,对应图中,第三章 稳恒电流,10,必有 I=0,稳恒情况必有 I入=I出,基尔霍夫第一定律,规定从节点流出：I 0，,流入节点：I 0。,由基尔霍夫第一定律可知,稳恒情况,i=1,2,在电路的任一节点处 流入的电流强度之和等于流
4、出节点的电流强度之和,1）在恒定电流情况下，导体中电荷分布不随时间变化形成恒定电场；2）恒定电场与静电场具有相似性质（高斯定理和环路定理），恒定电场可引入电势的概念；3）恒定电场的存在伴随能量的转换。,恒定电流场中过任意闭合曲面的电流必等于零。电流线从某处穿入必从另一处穿出。恒定电流场的电流线必定是头尾相接的闭合曲线。,解,(1)铜的自由电子数密度就是铜分子数密度,1 mol 铜有NA个分子，其质量为摩尔质量M，体积为,(2)由,(3),自由电子漂移速度的方向就是导线切向，与导线的横截面垂直，所以,问题引出：如图示 带电导体，欲保持 间电势差 不变，就必须要有一个提供非静电场力的装置,四、稳恒
5、电场的建立,第三章 稳恒电流,15,一、电源,1、形成稳恒电流的条件,回路中存在非静电力场。,2、什么是电源？,在电路中提供非静电力的装置叫电源。,3、电源的符号表示：,4、非静电力场的场强定义：,Ek表示单位正电荷所受的非静电力。,提供（产生）非静电力（非静电场）的装置（器件,16,七、电动势(electromotive force),在导体中有稳恒电流流动不能单靠静电场，必须有非静电力把正电荷从负极搬到正极，才能在导体两端维持有稳恒的电势差。,提供非静电力的装置就是电源，如化学电池、硅太阳能电池、发电机等。电源是把能量转换为电能的装置。静电力使正电荷从高电位到低电位。非静电力使正电荷从低电
6、位到高电位。,单位正电荷所受的非静电力，定义为非静电性电场的电场强度，用K表示。,17,在电源内部，即内电路电荷同时受到恒定电场和非静电性电场的作用，而在外电路却只有恒定电场的作用。,遵从环路定理，上式化为,因此，在电荷q沿电路运行一周的过程中，各种电场所作的总功为:,18,电源的电动势 定义为单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功，表征电源将其它形式的能量转变为电能的本领。,非静电性电场只存在于电源内部，其方向沿电源内部从负极指向正极。考虑到一般情形，非静电性电场可能存在于整个电路，于是,是标量，可取正、反两种方向。我们规定，从负极经电源内部到正极的方向为电动势的方向。,19,欧姆定律
7、(Ohms law),取长l 截面积S的细电流管，根据欧姆定律I=U/R，其中I=jS，U=El，R=l/S，,反映了金属导体导电的基本特性，电阻是常量，电流与电势差成正比。适用于金属导体，电解液和熔融盐。,反映金属导体中任意一点上 j与E之间的关系。适用于恒定电流的情形和变化的电流场。,R是与U 和I 无关的常量。,欧姆定律的微分形式：,20,导体的电阻,金属和电解液导体的伏安特性曲线是一条过原点的直线。这种性质的电阻称为线性电阻或欧姆电阻，具有这种性质的器件为线性器件。也有非线性器件。,伏安特性曲线以电势差U作横坐标电流I作纵坐标。,电阻单位是(欧姆)：1=1VA-1，电阻的倒数称为电导，
8、用G表示，单位是S(西门子)：1S=1-1。,电阻定义为两端电势差与电流之比,21,导体的电阻率,导体材料电阻率决定于材料自身性质。金属材料的电阻率为:=0(1+t)，为电阻温度系数。,纯金属线膨胀系数要小得多，可忽略其长度和截面积变化，R=R0(1+t)，可制成电阻温度计。常用电阻温度计有铜电阻温度计(-50150)和铂电阻温度计(-200500)。,电阻率定义为电场强度E大小与同点电流密度j大小之比,22,电阻率单位m(欧姆米)。电阻率的倒数为电导率(conductivity)用表示，单位是Sm-1(西门子/米)。,某些材料电阻率在其特定温度TC以下减小到接近零的现象称为超导现象。处超导状
9、态的材料为超导体(superconductor)。TC称为超导转变温度，不同材料具有不同TC。钛的TC为0.39K，铝为1.19K，铅为7.2K，Hg-Ba-Ca-Cu-O系氧化物为134K等。,超导体还具有其它一些独特的物理性质。,23,例：一块扇形碳制电极厚为t，电流从半径为r1的端面S1流向半径为r2 的端面S2，扇形张角为，求：S1和S2之间的电阻。,dr 平行于电流方向，dS 垂直于电流方向。,解：,24,例2：碳膜电位器中的碳膜是由蒸敷在绝缘基片上的厚为t，内外半径分为r1、r2 的一层碳构成的。A、B为引出端，环形碳膜总张角为，电流沿圆周曲线流动。求：A、B 之间的电阻？,解：A
10、、B 间电阻可视为由若干不同长度而截面相同的电阻并联而成。电导为：,25,例3：长为a半径为R1、R2的金属圆筒内、外缘电势差为U，电阻率为r，求圆筒的径向电流。,解1：取半径r和r+dr作两个圆柱面 柱面面积为S=2pra，柱面间电阻为,径向总电阻为,由欧姆定律得径向电流,26,解2：由对称性知，圆柱面上各点的电流密度 j 大小相等方向沿径向向外，通过半径r 的柱面S 的电流为：,由欧姆定律微分形式求圆筒的电场分布为,圆筒内外缘的电势差为,径向电流为,27,六、电功率(electric power)和焦耳定律(Joules law),在电流场中一细电流管运用焦耳定律，得 P=I2R=(jS)
11、2(l/S)=j2(lS)=j2 单位导体体积的热功率为热功率密度p=E2,焦耳定律的微分形式。,如果电势能的降低全部转变为热能，则 Q=A=I2R t,P=I2R，焦耳定律的数学表达式。,在电路中电场力作的功称为电流的功或电功。电流作功为dA=dqU=IUdt,U从A到点B电势降落。,电流作的总功 A=IUt，电功率为,28,电功率和焦耳定律,在稳恒电流的情况下，在相同时间间隔 dt内，通过空间各点的电量 相同。电场力对导线中运动电荷做的功等于把电量 从a移到b所做的功：,相应的功率为,其中,是导体的体积。,根据能量守恒定律，在时间,内从导体内放出的热量为,29,13-2 磁场和磁感应强度,
12、一、磁现象(magnetic phenomenon),磁现象的发现比电现象早很多。东汉王充“司南勺”，北宋沈括航海用指南针“四大发明”。,同号磁极互相排斥，异号磁极互相吸引。磁极周围存在磁场，处于磁场中的其它磁极或运动电荷，都要受到磁场的作用力，此作用力称为磁场力或磁力。磁场力是通过磁场这种特殊物质传递的。,磁铁磁性最强区域称为磁极。磁铁指向北方的磁极为磁北极或N极；指向南方的为磁南极或S极。,30,1820年奥斯特发现电流的磁效应后，人们才认识到磁与电的密切联系。,1820年安培发现磁体对电流作用和电流之间相互作用，提出一切磁现象都起源于电流，一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形
13、电流。这种环形电流称为分子电流。,安培分子电流假说与近代关于原子和分子结构的认识相吻合。原子是由原子核和核外电子组成的，电子的绕核运动就形成了经典概念的电流。,31,物质磁性起源不能完全用经典理论来描述。量子理论表明，核外电子对磁性有一定的贡献，但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩，铁磁物质的强烈磁性则与相邻原子间电子自旋磁矩的交换作用有关。都不能用经典概念予以描述。,磁现象与电现象有很多类似，在自然界有独立存在的电荷，却至今没找到独立存在的磁荷，即所谓“磁单极子”。寻找“磁单极子”是当今科学界面临的重大课题之一。,32,二、磁感应强度(magnetic induction),1.任一点P的磁
14、感应强度的方向 当试探电荷q0以速度v沿某特定直线通过磁场中的点P时，作用于它的洛伦兹力总等于零，与试探电荷的电量和运动速率无关。这条特定直线是点P的磁场自身的属性，称为零力线。把这条直线规定为点P的磁感应强度的方向。,用磁感应强度描述磁场，以矢量 表示。,运动电荷在磁场中所受的磁场力称为洛伦兹力。,33,2.点P的磁感应强度的大小,3.点P的磁感应强度的指向 B、v、F 满足右螺旋关系：,电荷速度与该特定方向垂直时受到的磁力最大。点P磁感应强度的大小,正试探电荷所受洛伦兹力大小为F=q0vBsin,单位特斯拉(T),NsC-1m-1,Vsm-2,NA-1m-1。,34,三、磁感应线和磁通量,
15、磁场中某点磁场方向是确定的，磁感线不会相交。载流导线周围磁感线都是围绕电流的闭合曲线，没有起点，也没有终点。,磁感应线(magnetic induction line)形象表示磁场分布状况：曲线上每点切线方向与该点磁感应强度B方向一致；在与磁场垂直的单位面积上穿过曲线的条数，与该处B的大小成正比，即疏密程度反映出B的大小。一簇磁感应线围成的管状区域称为磁感应管。,35,长直电流周围的磁感应线，在垂直于电流的平面内磁感应线是一系列同心圆，圆心在电流与平面的交点上。,磁感线和电流满足右手螺旋法则。,为描述磁场的强弱，规定磁场中某点处垂直于B 矢量的单位面积上通过的磁感线数目(磁感线密度)，等于该点
16、B 的数值。,圆电流周围的磁感应线，在与圆面正交并过其 直径的平面内，磁感应线是两簇环绕电流的曲线。,36,任意曲面 S 的磁通量(magnetic flux)定义为，曲面上任意一点的磁感应强度B与该处面元dS的标积BdS 在整个曲面S上的代数和，即,在国际单位制中，磁通量的单位是Tm2，也称为Wb(韦伯)。,37,对闭合曲面，规定正法线方向垂直于曲面向外。当磁感线从曲面内穿出时，磁通量为正，而当磁感线从曲面外穿入时，磁通量为负。,在不均匀磁场中，通过任意面积元的磁通量：,在均匀磁场中通过面积S 的磁通量为：,38,13-3 毕奥萨伐尔定律(Biot-Savarts law),其中:k=0/4
17、真空磁导率:0=410-7TmA-1,电流元 是电流与导线元的乘积，导线形状任意，导线元在空间有各种取向，电流元是矢量。,电流元产生磁场规律遵从毕奥萨伐尔定律。电流元在空间某点产生的磁感应强度大小与电流元大小成正比，与电流元和由电流元到点P的矢量间夹角正弦成正比，与电流元到点P的距离的平方成反比；垂直于 和 所组成的平面，指向满足右手定则。,39,点P 的磁感应强度的大小为,不能由实验直接证明，但结果都和实验相符合。,先化为分量式后分别积分。,整个载流导线L在点P产生的磁感应强度，等于各电流元在点P产生的 的矢量和，即,40,例1：在一直导线MN中通以电流I，求距此导线为a的点P处的B。从导线
18、两端M和N到点P的连线与直导线之间的夹角分别为 1和 2。,l,解：在距点O为l处取电流元Idl，Idl在点P产生B，方向垂直于纸面向里,41,l=acot()=-a cot，r=acsc，dl=acsc2d,无限长载流直导线，1=0，2=，距离导线a处的磁感应强度为,42,解：其磁场方向只有沿x轴的分量而垂直于x 轴的分量求和为零。,例2：求载流圆线圈在其轴上的磁场。,43,B的方向沿着轴线，与分量dBx 的方向一致。圆电流环，在其轴上一点的磁场，磁场方向与电流满足右手螺旋法则。,*两种特殊的情况：,轴上无穷远的磁感强度,x=0时圆电流环中心磁感强度,44,圆形电流磁场的磁感应线以其轴线为轴
19、对称分布，与条形磁铁或磁针的情形相似，行为相似。引入磁矩描述圆形电流或载流平面线圈磁行为。,S是圆形电流包围平面面积，n是该平面法向单位矢量，指向与电流的方向满足右螺旋关系。多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝线圈的电流的乘积代替。,圆形电流的磁矩 m=ISn,也可写成：,圆电流,45,运动电荷的磁场,电流元：,单个载流子产生的磁场,是在 导线中载流子数,电流激发磁场实际上是由大量定向运动的电荷所激发的。以电荷为q、速度为 的正电荷作研究对象，在电流元中其电流密度 j=nqv,46,一个以速度v作匀速直线运动的电荷q与电流元是相当的，在dt时间内粒子位移为dl=vdt,等效电流元为Idl
20、=(Idt)v=qv，根据毕奥-萨伐尔定律，在距它r处点P所激励的磁感应强度为：,47,例3：求带电旋转圆盘中心的磁感强度。,解：半径为r 的环带上的圆电流dI 为:,圆电流中心磁感强度B=m 0I/2R,盘心磁感强度,设圆盘带正电荷，B 的方向垂直纸面向外。,48,解：长度为dx内的各匝圆线圈的总效果，是一匝圆电流线圈的ndx倍。,例4：载流螺旋管(solenoid)在其轴上的磁场,求半径为R，总长度l，单位长度上的匝数为n 的螺线管在其轴线上一点的磁场？,选坐标如图示,49,选坐标如图示,载流螺旋管在其轴上的磁场，磁场方向与电流满足右手螺旋法则。,50,讨论几种特殊情况,1.若 l R，在
21、无限长的螺线管中心处,2.在管端口处：,51,从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎等于零了。,52,10-4 磁场的高斯定理和安培环路定理,一、磁场的高斯定理(Gauss theorem magnetic field),根据毕萨定律，电流元的磁场以其为轴对称分布，电流元平面内磁感线是头尾相接的闭合同心圆。穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。,由叠加原理，整个电流回路的磁场中任意闭合曲面的磁通量必定都等于零，磁场的高斯定理。,恒定电流磁场是散度
22、为零的场,53,二、安培环路定理(Amperes circulation theorem),1.安培环路定理的表述,恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。,表达式,符号规定：穿过回路 L 的电流方向与 L 的环绕方向服从右手关系的，I 为正，否则为负。,不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。,54,2.安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场,在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。,在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路。,r,55,闭合路径L不包围电流，在垂直平面内的任一回路,围绕单根载流导线的任一回路 L,对L每个线元 以过垂直导线平面作参考分
23、解为分量 和垂直于该平面的分量,证明步骤同上,56,围绕多根载流导线的任一回路 L,设 电流过回路，根电流不穿过回路L。令 分别为单根导线产生的磁场,所有电流的总场,穿过回路的电流,任意回路,57,安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分重要的性质。,安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。,根据矢量分析,闭合路径包围的电流为电流密度沿所包围的曲面的积分,安培环路定理微分形式,58,3.安培环路定理的应用,例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。,解：圆柱体轴对称，以轴上一
24、点为圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路,圆柱外磁场与长直电流磁场相同，而内部的磁场与r成正比；若是柱面电流则内部磁场为零。,59,例2：求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。,由对称性分析场结构,1.磁场只有与轴平行的水平分量；,2.因为是无限长，在与轴等距离的平行线上磁感应强度相等。,解：一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管由于是密绕，每匝视为圆线圈。,60,取 L 矩形回路,ab 边在轴上，cd 边与轴平行，另两个边bc、da 垂直于轴。根据安培环路定理：,其方向与电流满足右手螺旋法则。,无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：,61,
25、例3：求载流螺绕环内的磁场。,根据对称性知，在与环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。磁感线是与环共轴的一系列同心圆。,磁场的结构与长直螺旋管类似，环内磁场只能平行于线圈的轴线(即每一个圆线圈过圆心的垂线),解：设环很细，环的平均半径为R，总匝数为N，通有电流强度为 I。,62,设螺绕环的半径为，共有N 匝线圈。以平均半径 作圆为安培回路 L得：,其磁场方向与电流满足右手螺旋。,n 为单位长度上的匝数。,同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：,63,例4：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流密度为 j,求无限大平板电流的磁场分布。,解：
26、可视为无限多平行长直电流的场。因此 P 点的场具有对称性。,做 PO 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。,电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。,64,作一安培回路如图：bc和 da两边被电流平面等分。ab和cd 与电流平面平行，则有,结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。,方向如图所示。,一.安培力（洛伦兹力）,方向满足右手关系.,在SI制中,K=1,写为矢量式为:,则一段导线受力为:,可证明:安培力的实质就是洛伦兹力.,一个自由电子受洛伦兹
27、力,f=evBsin,方向向里,在体积元dV=Sdl中,有nSdl个电子,则所受的合力为,13.4.磁场对运动 电荷的作用,dF=nSdl f,=nSdl evBsin,=IdlBsin,=(nevS)dl Bsin,=IdlBsin,写成矢量式为,dF=IdlBsin,因此,这正是安培力.此规律叫安培定律,方向满足右手关系.,有限长载流导线所受的安培力,安培定律,意义 磁场对电流元作用的力，在数值上等于电流元 的大小、电流元所在处的磁感强度 大小以及电流元和磁感应强度之间的夹角 的正弦之乘积,垂直于 和 所组成的平面,且 与 同向.,实验证明：运动电荷在磁场中受力,洛仑兹力做功吗？洛仑兹力与
28、安培力的关系？,洛仑兹力,根据对称性分析,解,例 1 如图一通有电流 的闭合回路放在磁感应强度为 的均匀磁场中，回路平面与磁感强度 垂直.回路由直导线 AB 和半径为 的圆弧导线 BCA 组成，电流为顺时针方向,求磁场作用于闭合导线的力.,因,由于,故,例 3 半径为 载有电流 的导体圆环与电流为 的长直导线 放在同一平面内（如图），直导线与圆心相距为 d，且 R d 两者间绝缘,求 作用在圆电流上的磁场力.,解,二 电流的单位 两无限长平行载流直导线间的相互作用,国际单位制中电流单位安培的定义,在真空中两平行长直导线相距 1 m，通有大小相等、方向相同的电流，当两导线每单位长度上的吸引力为
29、时，规定这时的电流为 1 A（安培）.,问 若两直导线电流方向相反二者之间的作用力如何？,可得,一 磁场作用于载流线圈的磁力矩,如图 均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP,磁场对载流线圈的作用,线圈有N匝时,结论:均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面通电线圈所受的力和力矩为,0,p,q,q,=,=,稳定平衡,非稳定平衡,磁矩,例1 边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝，通以电流2A，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁场中.问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？,问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？,二.两通电平行长直导线的相互作用,1.两无限长平行载流直导线间的相互作用
30、,无限长平行直导线AB和CD,相距为d,通有同向电流I1和I2,AB在CD处产生的场B1,CD导线上电流元受力dF2,则CD上每单位长受力,2.电流的单位,同样的方法可算得,AB导线单位长受力为:,若两导线载有同向电流,则两导线相互吸引;若反向电流,则相互排斥.,安培的定义:,在真空中有两根平行的长直导线,它们之间相距1m,两导线上电流的流向相同,大小相等.,调节电流,使两导线单位长的吸引力为2107N/m.,规定此时的电流为1A.,由此可得出:,11-7磁场对载流线圈的磁力矩,考虑均匀磁场中有载流线圈.,MN受力：F1=BI l2,OP受力：F2=BI l2,PM受力：F3=BI l1sin
31、(),NO受力：F4=BI l1 sin,由图可知：,但力矩不为零,即F1F2构成力矩,M=F1l1cos,=F1l1sin=BIl2l1sin,=BISsin,磁力矩,M=BISsin,力矩使线圈逆时针转动.,考虑方向后有:,注意:上式对任意形状的平面线圈同样成立.甚至对作圆周运动的带电粒子也成立.,讨论:,1.当=0时,M=0,线圈处于平衡状态.,2.当=90时,M=BIS,线圈受磁力矩最大.,3.当=180时,M=0,线圈处于非稳定平衡状态.,如刚性平面载流线圈处于不均匀磁场 中，则用积分求出磁力矩,84,例2.载流导线间的磁场力,如图,一无限长载流直导线与一半径为R的圆电流处于同一平面内,它们的电流分别为I1和I2,直导线与圆心相距为d,且R d.求作用在圆电流上的磁场力.,方向向外,已知 dl=Rd,上式为,dF沿Ox轴和Oy轴的分解,dFx=dFcos,dFy=dFsin,例题2续,即:,则:,于是圆电流所受的力为,受力方向指向载流长直导线.,
