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1、第6章数字滤波器的基本网络结构,与模拟滤波器相比的优点：1）精度和稳定度高；2）改变系统函数比较容易；3）不存在阻抗匹配问题；4）便于大规模集成；5)可以实现多维滤波；与模拟滤波器的差别：1)数字滤波器主要处理离散时间信号和数字信号，模拟滤波器主要处理连续时间信号；2）数字滤波器可以用数字硬件构成的专用数字处理器和计算机实现，即硬件实现；也可以用程序的方法来实现，即软件实现；模拟滤波器则是用基本电路元件组成的电路网络系统来实现。,数字滤波器,作用是对输入信号起到滤波；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实
2、现结构的不同。,数字滤波器的特点,h(n),x(n),y(n),则LSI系统的输出为：,数字滤波器结构的表示方法,两 种表示方法：方框图表示法；流图表示法.数字滤波器中,信号只有延时，乘以常数和相加三种运算。DF结构中有三个基本运算单元：加法器，单位延时，乘常数的乘法器。,1、方框图、流图表示法,Z-1,单位延时系数乘相加,Z-1,a,方框图表示法：,信号流图表示法：,a,把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。,2.例子,例：二阶数字滤波器：,其方框图及流图结构如下：,Z-1,Z-1,x(n),y(n),b0,a1,a2,x(n),y(n),b0,
3、a1,a2,Z-1,Z-1,看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。DF网络结构或DF运算结构二个术语有微小的差别，但大抵一样，可以混用。,数字滤波器的分类,滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.从功能上分；低、带、高、带阻。2.从实现方法上分:FIR、IIR 3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器等等。,1、经典滤波器,假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去
4、除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。,|X(ejw)|,w,wc,有用,无用,wc,|H(ejw)|,|Y(ejw)|,w,wc,2.现代滤波器,它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲经典滤波
5、器，外带一点自适应滤波器.,3.模拟滤波器和数字滤波器,经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass analog filter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。,研究DF实现结构意义,1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。2.不同
6、结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。,IIR DF的基本网络结构,IIR DF特点,1.单位冲激响应h(n)是无限长的n2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的。4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内。,IIR DF基本结构,IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）,1、IIR DF系统函
7、数及差分方程,一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：,以下我们讨论M=N情况。则这一系统差分方程为：,2、直接I型（1)直接I型流图,IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）,x(n),b0,b1,b2,Z-1,Z-1,y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。,(2
8、)结构的特点,此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。(2)共需(N+M)级延时单元(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。,3、直接II型（正准型/典范型）（1)直接II型原理,从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：（1）交换两个
9、级联网络的次序（2）合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接II型。,(2)直接II型的结构流图过程1-对调,x(n),b0,b1,b2,Z-1,Z-1,y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,第一部分,第二部分,对调,x(n),y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,Z-1,对调,(3)直接II型的结构流图过程2-合并,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,合并,x(n),a
10、1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,bM,y(n),y(n),由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。,这就是直接II型的结构流图。,(4)直接II型特点,直接II型结构特点：(1)两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。(2)实现N阶滤波器（一般N=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。(3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。,例子,已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。,解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有
11、理式；,x(n),8,-4,11,Z-1,Z-1,y(n),5/4,-3/4,Z-1,Z-1,Z-1,1/8,Z-1,-2,5/4,Z-1,Z-1,Z-1,-3/4,1/8,-4,11,-2,8,y(n),x(n),注意反馈部分系数符号,4、级联型结构(1)系统函数因式分解,一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：,(2)系统函数系数分析,(3)基本二阶节的级联结构,(4)滤波器的基本二阶节,所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：,一般用直接II型（正准型、
12、典范型表示）,x(n),1i,a2i,Z-1,Z-1,a1i,2i,y(n),(5)用二阶节级联表示的滤波器系统,整个滤波器则是多个二阶节级联,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,例子,设IIR数字滤波器系统函数为：,1,Z-1,1,1,1,Z-1,Z-1,1,1,y(n),x(n),(6)级联结构的特点,从级联结构中看出：它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整1i,2i,只单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点。同样，调整a1i,a2i,只单独调整滤
13、波器第I对极点，而不影响其它极点。级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。,5、并联型(1)系统函数的部分分式展开,将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。,“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。,(2)基本二阶节的并联结构,AN1,Z-1,a1,x(n),aN1,a11,Z-1,Z-1,A1,11,y(n),A0,.,01,a21,a1N2,a2N2,0N2,1N2,其实现结构为：,.,(3
14、)并联型基本二阶节结构,并联型的基本二阶节的形式：,其中：要求分子比分母小一阶,x(n),0,a2,Z-1,Z-1,a1,1,y(n),(4)并联型特点,(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).注意：(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是
15、不同的。,（5）例子,其并联结构为：,x(n),Z-1,Z-1,1,4,y(n),1,6,1,-6,1,Z-1,6 转置定理,如果将原网络中所有支路方向加以反转，支路增益保持不变，并将输入x（n）和输出y（n）相互交换，则网络的系统函数不会改变。,FIR DF的基本网络结构,一、FIR DF的特点,(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。,二、FIR的系统函数及差
16、分方程,长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：,三、FIR滤波器实现基本结构,1.FIR的横截型结构（直接型）2.FIR的级联型结构3.FIR的快速卷积型结构4.FIR的线性相位型结构5.FIR的频率抽样型结构,1、FIR直接型结构（卷积型、横截型）(1)流图,h(0),h(1),h(2),h(N-1),h(N),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),倒下,h(0),h(1),h(N-1),h(N),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,y(n),x(n),（2）框图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,.,x(n),h(0),h(1),h(2),h(N-1),y(n),2、级联型结
17、构（1）流图,当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：,即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。,x(n),11,Z-1,Z-1,21,12,Z-1,Z-1,22,1N/2,Z-1,Z-1,2N/2,y(n),.,01,02,0N/21,（2）级联型结构特点,由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。,3、快速卷积型（1）原理,设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n),且长
18、度L=N+M-1若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。其中：而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。,（2）快速 卷积结构框图,L点DFT,L点DFT,L点IDFT,X(k),H(k),Y(k),x(n),h(n),当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。,4、线性相位FIR型结构（1）定义,所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。因此，在滤波器通带内的信号通过滤波器后，除了有相频特性的斜率决定延迟外，可以不失真地保留通带内的全部信号。,（2）线
19、性相位FIR DF具有特性,h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：h(n)=h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n);下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。,（3）h(n)为偶、奇对称，N=偶数时(a)FIR的线性相位的特性,令n=N-1-n代入,用n=n,应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n),(b)线性相位FIR的结构流图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),x(n-N/2+1),h(0),h(1),h(2),h(3),h(N/2-1),.,h(N-1),其
20、中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2),.,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,（4）h(n)为奇、偶对称，N=奇数时(a)FIR的线性相位的特性,当N=奇数时，,(b)线性相位FIR的结构流图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),h(0),h(1),h(2),h(3),.,其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2,共有(N-1)/2+1项,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,5、频率抽样型结构(1)频率抽样型结构的导入,若FIR DF 的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：,h(n),H(z),
21、H(k),H(ejw),DFT,取主值序列,N等分抽样,单位圆上频响,Z变换,内插,所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：,来表示系统函数。,（2）频率抽样型滤波器结构,由：,得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。,其中：级联中的第一部分为梳状滤波器：第二部分由N个谐振器组成的谐振柜。,(3)梳状滤波器(a)零、极点特性,它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位圆上有N个等分的零点、无极点。,由,看出：,(b)幅频特性及流图,频率响应为：,w,|H(ejw)|,0,.,.,幅频曲线：,1,x(n),y(n),-Z-N,梳状滤波器信
22、号流图：,（4）谐振器,谐振器：是一个阶网络。,Z-1,H(k),Hk(z),谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：,(5)谐振柜,谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。,这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).,将两部分级联起来，得到频率抽样结构。,（6）频率抽样型结构流图,Z-1,H(0),Z-1,H(1),Z-1,H(2),Z-1,H(N-1),-Z-N,x(n),y(n),.,(7)频率抽样型结构特点,(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。(2)结构有两个主
23、要缺点：(a)所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，存储量。(b)所有谐振器的极点都是在单位圆上,由 决定考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。,6、修正的频率抽结构（1）产生的原因,为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为r(r1)的圆上，同时梳状滤波器的零点也移到r圆上。（即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上）,(2)修正的频率抽样结构的系统函数,为了使系数是
24、实数，可将共 轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。,(4)修正频率结构的复根部分：第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络,因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。,因此，可以将第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。,(5)有限Q的谐振器,第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位圆内，而不是在单位圆上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的谐振器。其谐振频率为：,(6)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分,除了共轭复根外，还有实根。当N=偶数时，有一对实根，它们分别为 两点。,当N=奇数时，只有一个实根z=r(k=0），即只有H0
25、(z).,r,-r,(7)修正频率抽样结构流图（N=偶数）,r,-r,x(n),y(n),.,(8)修正频率抽样结构流图（N=奇数）,r,x(n),y(n),.,(9)修正频率抽样结构的特点,（1）结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分-梳状滤波器。（2）它的零、极点数目只取决于单位抽样响应的长度，因而单位冲激响应长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数0k,1k,H(0),H(N/2)不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器（3）其结构可以高度模块化，适用于时分复用。,(10)频率抽样结构的应用范围,(1)如果多数频率特性的采样值H(k)为零，例：窄带低通情况下，这时谐振器中剩下少数
26、几个所需要的谐振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存储器还是比直接型多用一些。（2）可以共同使用多个并列的滤波器。例：信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时可采用频率采样结构的滤波器，大家共用一个梳状滤波器及谐振柜，只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器。这样结构具有很大的经济性。（3）常用于窄带滤波，不适于宽带滤波。,数字滤波器的格型结构,一、全零点（FIR）格型滤波器,一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式：,全零点格型滤波器网络结构,2.导出格型结构的参量,从上看出，要分析这一格型结构，先讨论如何由横向结构的参量导出格型结构的参量。或
27、由格型结构的参量如何导出横向结构的参量。,在FIR横向结构中有M个，共需M次乘法，M次延迟；在FIR的格型结构中也有M个参数ki(i=1,2,M),ki称为反射系数，共需2M次乘法，M次延迟。此格型结构的信号只有正馈通路，没有反馈通路，所以是一个典型的FIR系统。,3、格型网络单元,由上结构可看出：它们是由M个格型网络单元级联而成。每个网络单元有两个输入端和两个输出端，输入信号x(n)同时送到第一级网络单元的两个输入端，而在输出端仅取最后一级网络单元上面的一个输出端作为整个格型滤波器的输出信号y(n).,4、推导出格型结构网络系数ki的递推公式,如上图所示的基本格型单元的输入，输出关系如下式：
28、,且,式中：fm(n)、gm(n)分别为第m个基本单元的上、下端的输出序列；fm-1(n)、gm-1(n)分别为该单元的上、下端的输入序列；,设Bm(z)、Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元的上、下端的输出端 fm(n)、gm(n)对应的系统函数，即：,对(1)、(2)式两边进行z变换得：,对上式分别除以F0(z)和G0(z)再代入Bm(z)、Jm(z)式，得：,以上两式给出了格型结构中由低阶到高阶（或由高阶到低阶）系统函数的递推关系。,反过来,由于上式中同时包含B(z)和J(z)。实际中只给出Bm(z)，所以应找出Bm(z)和 Bm-1(z)之间的递推关系。,(6.37),5
29、、导出km与滤波器系数bm之间的递推关系,(6.38),(6.39),6、实际中具体递推步骤,实际工作中，一般先给出H(z)=B(z)=BM(z),要画出H(z)的格型结构，需求出k1,k2,kM。,7、例子,H(z)格型结构流图如图所示：,二、全极点（IIR）格型滤波器,IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。设一个全极点系统函数由下式给定：,1、全极点格型网络单元,全极点IIR系统格型结构的基本单元为：,全零点FIR格型结构 基本单元,全极点IIR格型结构 基本单元,全极点（IIR）滤波器格型结构：,例子,IIR格型结构：,最后说明：一般的IIR滤波器既包含
30、零点，又包含极点，它可用全极点格型作为基本构造模块，用所谓的格型梯形结构实现。,三、零、极点系统（IIR系统）的格型结构,一个在有限z平面（0|z|)既有极点又有零点的IIR系统的系统函数H(z)可表示为,系统的格型结构流图,看出：（1）若k1=k2=kN=0,即所有乘k（或-k)处的联线全断开，则上图将变成一个N阶的FIR系统的横向结构；（2)若c1=c2=cN=0,即含c1CN的联线都断开，C0=1那么上图将变成全极点IIR格型滤波器结构（3）因此，图上半部分对应于全极点系统；下半部分对应于全零点系统B(z),且下半部分无任何反馈，故参数k1,k2,kN,仍可按全极点系统的方法求出，但上半
31、部分对下半部分有影响，所以这里的Ci和全零点系统的bi不会相同。任务：想办法求出各个ci,i=0,1,，N。,推导,由上式，设,是由g0(n)至gm(n)之间的系统函数,是由x(n)至gm(n)之间的系统函数又因为,则,整个系统的系统函数,应是 分别用 加权后的相加(并联）,求解参数c1,c2,cN的方法,第一种方法：以N=2为例，则有,其中,令等式两边的同次幂的系数相等，可得,由上式，可求得c2，c1，c0。一般情况下（任意N时，有）,第二种方法：,则有,又定义,对一般项m来说，可有,由此得出：,起始条件为：,已给定,例子,已知,解：（1）极点部分由全极点模型：,按求全极点模型的方法求出，实
32、际上是用求全零点型的方法求得。即：,利用式子,可求得：,由H(z)可知：,其格型流图结构为：,数字滤波器的有限字长效应,一、有限字长效应,前置预滤波器,A/D变换器,数字信号处理器,D/A变换器,模拟滤波器,模拟,Xa(t),PrF,ADC,DSP,DAC,PoF,模拟,Ya(t),完成DF设计后，接下来要实现DSP（数字信号处理）。具体实现时，字长总是有限的，因为存储器是有限字长的，所以有限字长效应有DF的有限字长效应、DFT（FFT）有限字长效应、A/D变换器的量化误差。,1.有限字长效应,有限字长意味着：有限运算精度有限动态范围,2.有限字长引起误差,表现在以下几个方面：（a)A/D变换
33、器的量化误差 即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平时产生的量化误差。（b)系数的量化误差 即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误差。（c)算术运算的运算误差 数字运算运程中，为限制位数而进行尾数处理，以及为防止溢出而压缩信号电平的有效字长效应。,3.有限字长效应,在量化和运算过程中，由于有限字长必然产生误差。这些误差给数字信号处理的实现精度和滤波器稳定性带来不良影响称之。,二、研究有限字长效应目的,1.若字长（通用计算机）固定，进行误差分析，可知结果的可信度，否则若置信度差，要采取改进措施。一般情况下，由于计算机字长较长，所以可以不考虑字长的影响。2.用专用DSP芯片实现数字信号
34、处理时，定点与硬件采用字长有关：(1)一般采用定点实现，涉及硬件采用的字长。(2)精度确定字长。因此，必须知道为达到设计要求所需精度下必须选用的最小字长。(3)由最小字长选用专用DSP芯片类型由于选用不同DSP芯片，价格差很大。目前TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等价格差异很大,数的定点制表示及A/D变换器的量化误差,一、数字信号中数的定点表示,用专用DSP芯片实现数字信号处理时，一般采用定点二进制数补码表示方法和舍入量化方式。因此定点、补码、舍入重点分析。,1.定点数表示三种形式,（1）原码（2）补码（3）反码二进制符号位：0-表示正号，1-表示负号；,例子：
35、（1）原码,从x10=0.75和x10=-0.75看看原码、补码、反码的表示方法。解:（1）原码为x10=0.75=(x2)原=0.110原码x10=-0.75=(x2)原=1.110原码通用公式：其中B0:符号位，B0=1代表负数；Bi：i=1,b,其中b代表字长位数，B1Bb代表b位字长的尾数,0.1 1 0 0,1.1 1 0 0,0.2-1.2-b,1.2-1.2-b,正数：负数：,（2）补码和反码,补码通用公式：,x10=0.75=(x2)补=0.110=原码x10=-0.75=(x2)补=1.010=反码+1,x10=0.75=(x2)反=0.110=原码x10=-0.75=(x2
36、)反=1.001=除符号位外原码各位取反,2、定点表示产生误差,（1）加法：任何加法运算不会增加字长，但可能产生溢出 xB1:0.110-0.110-xB2:1.010-1.010 xB1-xB2=1.5 1.100（2）乘法：不会溢出，但字长加倍,溢出，使其变为负数,例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.001111,成为六位数，截尾变成0.001。产生误差。,二、数的量化误差范围,量化对尾数处理产生的误差，其量化方式可分为：1.截尾量化：即把尾数全部截断不要。2.舍入量化：即把小于q/2的尾数舍去，把大于尾数“入”上来。其中q=2-b,称为量化步阶，b为字长的位数。,1.
37、截尾量化,截尾量化可分为：（1）对于正数的截尾量化误差（2）对于负数的截尾量化误差,（1）对于正数的截尾量化误差,一个信号x(n)：,由于有限字长：,看出:b1b所以，原码和补码的截尾误差为：,发生在被截去的位数上的数都为1情况。,发生在被截去的位数上的数都为0情况。,0.2-1.2-b 0 0.0,b1-b,b,最小误差,0.2-1.2-b 1 1 1,最大误差,（2）对于负数的截尾量化误差,截尾量化误差与负数表示方式有关。,负数原码表示，其截尾量化误差：,发生在被截去的位数上的数都为1情况。,发生在被截去的位数上的数都为0情况。,0.2-1.2-b 0 0.0,b1-b,b,最小误差,0.
38、2-1.2-b 1 1 1,最大误差,负数补码表示，其截尾量化误差：,同样，负数截尾量化误差，最大误差=q,最小误差=0.,2、舍入量化,0.1 0 1 0 1 0 1 0 0,b,b1,舍去：0.1010-信号比原来小;舍入：0.1011-信号比原来大;所以，最大误差为q/2,最小误差为-q/2舍入量化误差范围为|en|q/2对于正数和负数补码、负数的原码与负数反码的舍入误差都为：,3.结论,由于舍入误差是对称分布，截尾误差是单极性分布，所以，它们的统计特性是不相同的，一般来讲截尾误差舍入误差。e(n)量化误差是随机变量，所以要用统计方法，统计公式去分析。,应用比舍入少些,三、量化误差的统计
39、方法,上面我们分析了量化误差的范围，但要精确地知道误差究竟是多大，几乎是不可能的。视信号具体情况而定。所以我们只要知道量化误差的平均效应即可。它可以作为设计的依据。例如：A/D变换器量化误差-决定A/D所需字长。,1、量化误差信号e(n)四个假设,为了进行统计分析，对e(n)的统计特性作以下假设：(1)e(n)是平稳随机序列即它的统计特性不随时间变化。即,均与n无关。（2）e(n)与取样序列x(n)是不相关的。即Ee(n)*x(n)=0(互相关函数=0）e(n)与输入信号是统计独立的。(3)e(n)序列本身的任意两个值之间不相关。即e(n)本身是白噪声序列 Ee(n)*e(n)=0(自相关函数
40、=0）(4)e(n)在误差范围内均匀分布（等概率分布的随机变量）即P(e)（概率密度）下的面积=1,2、截尾误差与舍入误差的概率密度,截尾误差：正数与负数补码截尾误差：,截尾误差：负数原码与负数反码截尾误差：,舍入误差：,P（e),e,-2-b,2b,P（e),e,2-b,2b,0,0,P（e),e,-2-b/2,2b,2-b/2,0,3、量化误差的定义,根据以上假设可知：量化误差是：一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，即称量化噪声。它与信号的关系是相加性的。,4、量化噪声的统计模型,理想A/D采样器,xa(t),x(n)=xa(nT),e(n),5、量化误差信号e(n)的均值me和方差,下
41、面，分别对舍入误差及截尾误差的均值和方差进行分析。,(1)对于舍入误差,P（e),e,2b,0,-2-b/2,2-b/2,(2)对于正数及负数补码截尾误差,P（e),e,2b,0,-2-b,(3)对于负数原码及反码的截尾误差,P（e),2-b,0,2b,(4)结论,从上看出：量化噪声方差与字长直接有关。字长越长，q越小，量化噪声越小。字长越短，q越大，量化噪声越大。,（5）信噪比,对于舍入处理：,看出：（1）信号功率 越大，信噪比越高（但受A/D变换器动态范围的限制。（2）随着字长b增加，信噪比增大，字长每增加1位，则信噪比增加约6dB.(3)最小信噪比：S/N=10.79+6.02b,例子,
42、在Modem中，语音和音乐可视为一随机过程，因此可用概率分布来表示这些信号。它们幅值在零附近，概率分布有一峰值，且随幅度加大分布曲线急剧下降。当抽样信号幅度信号均方根值的34倍时，P(e)-0,则如对信号进行压缩为Ax(n),并令,则一般不会出现限幅失真。若需要信噪比70dB,至少需要多少位modem.,P(e),e,6.量化噪声通过线性系统,h(n)或H(z),求：量化噪声通过线性系统后：1.系统输出 2输出噪声3输出噪声均值 4输出噪声方差,（1）对于舍入噪声,分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。（2）e(n)舍入噪声，均值=0（3）线性相加（加性噪声）-到输出端,输出噪声方
43、差求解,（2）对于截尾噪声,分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。（2）e(n)截尾噪声，（3）线性相加（加性噪声）-到输出端,数字滤波器的系数量化误差,一、系数量化误差,DF的系统函数：理想设计ak,bk 是无限精度 实际实现时，ak,bk放在存贮单元内，必须要对ak,bk进行量化（截尾或舍入），造成DF（零点、极点）位置偏移，影响DF性能，使实际设计出DF与原设计有所不同。严重时，极点跑到单位圆外，导致系统不稳定，滤波器不能从使用，这就是系数量化效应。,二、研究滤波器系数量化误差目的,选择合适的字长，以满足频率响应指标的要求，保持DF的稳定性及系统的灵敏度。,例子,设H(z)=
44、0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求维持系统稳定性系数需要最小字长.(设滤波器作舍入处理）解：求系统稳定性是求分母=0，求出极点，且极点1.若量化,设此时极点都在单位圆上，则z=1代入：则量化误差：,三、IIR DF系数量化的统计分析,系数无限精度：系数量化后：,系数量化误差:系数量化后，偏差DF的输出：,看出系数量化后，实际：,H(z),HE(z),2.系数量化造成频响偏差（舍入）,四、FIR DF 系数量化统计分析,由于线性相位FIR DF，有四种滤波器（h(n)=奇、偶；N=奇、偶）,为系数量化后单位冲激响应,DF定点运算中的有限字长效应,一、分析前题,设DF：在定点运算，
45、舍入运算情况下分析相关误差。即：IIR DF中：(1)存在反馈环，由舍入处理在一定条件下引起非线性振荡。（2）分析舍入噪声（用统计方法）FIR DF中（1）不存在非线性振荡（除频率采样型结构）。（因为无反馈）（2）直接用统计方法分析,二、IIR DF中的零输入极限环振荡,什么是零输入极限环振荡？因为IIR DF有一反馈，在一定条件下就可能发生振荡。当将输入信号去掉后，由于舍入引入的非线性作用，输出端会停留在某一数值上，或在一数值间振荡，这种现象称为“零输入极限环振荡”。,例子,输入x(n)=0.87(n),系统差分方程：y(n)=0.5y(n-1)+x(n)起始条件：n,limy(n)=0.当
46、做系数舍入量化：起始条件n0,2.极限环现象的利弊,在许多实际问题中，要尽量克服极限环现象。例：在通讯中，极限环现象会在空截线路中产生不需要的信号。但有趣的是：可以利用极限环现象，设计周期性信号发生器，产生各种序列振荡器。,二、IIR DF定点运算中有限字长效应的统计分析（1）分析前题,对e(n)进行四个假设：（1）所有噪声（量化误差）都是平衡随机序列。（2）量化噪声与信号不相关，且各噪声之间也不相关。(3)噪声是白色的，Ee(n)*e(n)=0(4)每个噪声都均匀等概率分布。,2.例子,一个二阶IIR DF 低通，采用定点算法尾数舍入处理，分别计算：直接型，级联型，并联型三种结构的舍入误差。
47、其系统函数：,(1)直接型,1.7,-0.72,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),其中，e0(n),e1(n),e2(n)分别为系数0.04，1.7，-0.72相乘后的舍入噪声。,输出噪声ef(n)是由这三个噪声通过H(z)=1/B(z)网络形成的。ef(n)=(e0(n)+e1(n)+e2(n)*h0(n),0.04,(2)级联型,0.9,0.04,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),0.8,(3)并联型,0.9,0.04,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),0.8,e4(n),0.36,-0.32,三、FIR DF的运算中有限字长效应,我们讨论横截型FIR DF：FIR DF系统函数：在无限精度下：在量化误差（有限字长）下：每次相乘以后产生一个舍入噪声，有N个相乘即有N个误差。,四、结论,从上看出：(1)输出噪声不经过系统，所以与系统的参数无关。(2)输出噪声方差与字长b(q=2-b)有关。(3)输出噪声方差与阶数N（单位冲激响应长度）有关。阶数越高，FIR DF运算误差越大；在相同精度下，N增加，则q下降，则b字长越长。,例子,
