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1、第五章 数字滤波器的网络结构,5.1 概述 5.2 IIR滤波器的基本网络结构 5.3 FIR滤波器的基本网络结构,5.1 概述,一.数字滤波器的基本原理,是数字信号处理的一个重要技术分支；是用一有限精度算法实现的离散时间系统；具有对信号进行滤波处理的功能，即在形形色色的信号中提取所需要的信号，抑制不需要的信号（噪声、干扰）；滤波器实质是一种运算过程（差分方程的计算或卷积的计算）,二.数字滤波器的数学模型,时域离散系统,时域中：,差分方程,卷积公式,Z域中：,系统函数,同一种数学模型，具有不同的算法。数字滤波器的工程实践要用计算机的硬件和软件来完成，不同的算法会影响系统的一些实际性能。,(1)
2、计算的效率，即完成整个滤波所需要的乘法和加法次数；,(2)需要的存储单元；,(3)计算机的位数对滤波系数的量化误差；,本章着重研究系统结构的等效变换方法。,数字滤波器的实质是一个运算过程，对输入序列x(n)进行一定的运算操作，从而得到输出序列y(n)。,三.基本运算单元的信号流图表示,数字滤波器的差分方程模型：,包含三种运算：加法、数乘、单位延时,(1)加法,(2)数乘,(3)单位延时,四.数字滤波器网络结构的分类,1.IIR数字滤波器,特点,网络结构存在输出到输入的反馈。,单位脉冲响应h(n)是无限长的。,Infinite Impulse Response,2.FIR数字滤波器,特点,网络结
3、构没有输出到输入的反馈。,单位脉冲响应h(n)是有限长的。,Finite Impulse Response,5.2 IIR滤波器的基本网络结构,IIR滤波器的差分方程：,IIR滤波器的系统函数：,一.直接型,采用加法、数乘、单位延时三种基本运算单元，由差分方程直接实现。,设M2,N2,则,直接I型,b1,z-1,x(n),y(n),z-1,b2,b0,-a1,-a2,z-1,z-1,直接I型,系统函数,先实现系统函数H(Z)的分子部分，后实现其分母部分，然后再将两部分级联起来。,b1,z-1,x(n),y(n),z-1,b2,b0,-a1,-a2,z-1,z-1,直接I型,H1(z),H2(z
4、),交换级联两部分的连接次序，得,b1,z-1,x(n),y(n),z-1,b2,b0,-a1,-a2,z-1,z-1,直接I型,H1(z),H2(z),w1(n),w2(n),可共用延时单元,直接II型,直接II型,系统函数,直接II型与H(Z)的关系：,H(Z)的分子系数决定非反馈支路的系数，符号相同。,H(Z)的分母系数决定反馈支路的系数，但要注意：符号相反；a0要归一化为1。,例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的直接型结构。,说 明,yfilter（b，a，x）,在matlab中，输入信号x(n)通过IIR直接型滤波器的输出y(n)可由filter函数求得
5、，调用方式为：,bb0，b1,bM%系统函数的分子系数,aa0，a1,aN 系统函数的分母系数,二.级联型,1.基本原理,将分子、分母多项式进行因式分解：,式中：ck、dk 为实数零、极点；,G 为增益。,把任意两个实数零、极点组合，每一对共轭零、极点也进行组合，这样，就得到一些实系数的二阶子系统。,H（z）分解为二阶子系统的乘积：,每一个子系统具有如下形式：,每一个二阶子系统都用直接型网络结构实现：,2.用Matlab求级联形式的各系数,sos,G=tf2sos(b,a),b H(z)分子多项式按z1升幂排列的各项系数；,a H(z)分母多项式按z1升幂排列的各项系数；,H1(z),H2(z
6、),Hk(z),G 整个系统归一化以后的增益,例5.3.2 设系统函数H(z)如下式：,试画出其级联型网络结构。,解:b=8,-4,11,-2;a=1,-1.25,0.75,-0.125 sos,G=tf2sos(b,a),注意,教材上：,b,a=sos2tf(sos，G),说 明,由级联型到直接型的转换：,3.求信号通过级联形式滤波器的输出,y=G*sosfilt(sos,x),式中：x 输入序列 sos 级联各系数 G 级联增益 y 系统输出,4.级联型网络结构的优点,三.并联型,1.基本原理,将级联型H(z)展成部分分式形式，就得到IIR滤波器的并联型结构。,其中，每个子系统Hi(z)具
7、有下列形式：,其中，每个子系统Hi(z)具有下列形式：,每个子系统也用直接型网络结构实现：,2.用matlab求并联型各系数,Matlab中没有直接把 b、a 转换成并联型结构的函数。,1.r,p,c=residuez(b,a),求出留数、极点、直接项,2.Bk,Ak=residuez(rk,pk,ck),将共轭的极点留数或二个实极点留数进行合并，形成一个二阶子系统。,rk,pk,ck 共轭留数、极点、直接项,Bk,Ak 二阶子系统分子、分母系数,例5.3.3 设系统函数H(z)如下式：,试画出其并联型网络结构。,解:(1)将H(z)进行部分分式分解,r,p,c=residuez(b,a),r
8、=-8-12i p=0.5+0.5i c=16 8 0.25,解:(1)将H(z)进行部分分式分解,r,p,c=residuez(b,a),r=-8-12i p=0.5+0.5i c=16 8 0.25,(2)将一对共轭极点、留数进行合并,rkr(1)，r(2),pkp(1)，p(2),ck,Bk,Ak=residuez(rk,pk,ck),Bk=-16 20 Ak=1-1 0.5,将每一部分用直接型实现，其并联型结构如图所示：,3.并联型网络结构的优点,(2)各基本网络并联，产生的运算误差互不影响，相对直接型和级联型，并联形式的运算误差最小。,(3)可同时对输入信号进行运算，运算速度最高。,
9、5.3 FIR滤波器的基本网络结构,特点,网络结构没有输出到输入的反馈。,单位脉冲响应h(n)是有限长的。,FIR滤波器的差分方程：,FIR滤波器的系统函数：,FIR滤波器的卷积公式：,h(n)的长度是N，但此滤波器的阶数是N-1阶。,说 明,FIR滤波器总是稳定的，同IIR结构相比，简单。,FIR滤波器可设计成线性相位结构。,(N-1)个极点全部位于z0处。,一.直接型（横截型）,设N5（四阶FIR滤波器）,x(n),z-1,z-1,b1,b2,b0,b3,b4,z-1,z-1,x(n),z-1,z-1,b1,b2,b0,b3,b4,z-1,z-1,x(n),h(0),z-1,h(1),y(
10、n),FIR的系统函数H(z)与直接型关系,z-1,z-1,h(2),h(N2),h(N1),二.级联型,将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个实系数的二阶形式。,Matlab：,sos,G=tf2sos(b，a),b H(z)分子多项式按z1升幂排列的各项系数；,a1；,H1(z),H2(z),Hk(z),G 整个系统归一化以后的增益,例,设FIR网络系统函数H(z)为：H(z)=0.962.0z-12.8z-21.5z-3画出H(z)的级联型网络结构。,解:b 0.96，2，2.8，1.5；,a1；,sos,G=tf2sos(b，a),sos1 0.8333 0 1
11、0 0 1 1.2500 1.8750 1 0 0,G0.9600,sos1 0.8333 0 1 0 0 1 1.2500 1.8750 1 0 0,H1(z),H2(z),G0.9600,故：H(z)=0.96(10.8333z-1)(11.25z-11.875z-2),0.96,注意,H(z)=0.96(10.8333z-1)(11.25z-11.875z-2),0.96,教材上：,三.线性相位类型的网络结构,1.FIR滤波器线性相位定义,频率响应：,线性相位,第一类线性相位,第二类线性相位,2.FIR滤波器满足线性相位的条件(对h(n)的要求),满足第一类线性相位的条件：,h(n)是实
12、序列，且对 偶对称，,即 h(n)=h(N-n-1),满足第二类线性相位的条件：,h(n)是实序列，且对 奇对称，,即 h(n)=h(N-n-1),3.线性相位FIR滤波器的网络结构,数学模型:,(1)N为偶数,例如 N6，h(n)如下：,-1,-1,-1,-1为第二类线性相位,(2)N为奇数,例如 N5，h(n)如下：,x(n),y(n),z-1,z-1,z-1,z-1,h(0),h(1),h(2),-1,-1,-1为第二类线性相位,四.频率采样结构,频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：,频率采样定理：,由H(k)恢复H(z)的内插公式,频率采样的FIR网络结构,令,则,H(z)由两部分级联构成的,FIR滤波器的频率采样结构(第一部分）,零点：,HC(z)有N个零点，均匀分布在单位圆上,HC（z）的频率特性,幅值特性,/4,2/4,梳状网络,HC(z)的结构,FIR滤波器的频率采样结构(第二部分）,极点为,第一部分的零点与第二部分的极点位置相同，它们级联后零极点相互抵消，这使得在频率点=2k/N（k=0，1，N-1)处的响应正好等于H(k)。,FIR滤波器频率采样结构,FIR滤波器的频率采样结构的优缺点,优点,缺点,
