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1、1.3.2函数的奇偶性,1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象。,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x),-x,x,f(-x),f(x),1.偶函数的概念:,偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.,2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=
2、-8 f(2)=8,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)f(-x)=-f(x),-x,f(-x),x,f(x),1.奇函数的概念:,奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.,奇函数、偶函数定义的说明:,(1).函数具有奇偶性的前提：定义域关于原点对称。,（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。,（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说
3、函数f(x)具有奇偶性。,练习1.说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x4 _ f(x)=x-1 _,f(x)=x _,奇函数,f(x)=x-2 _,偶函数,f(x)=x5 _,f(x)=x-3 _,说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。,例1.判断下列函数的奇偶性,(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),=-x3-2x,=-(x3+2x),即 f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x
4、)为偶函数,定义域为R,解:,定义域为R,即 f(-x)=f(x),先求定义域，看是否关于原点对称;再判断f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。,用定义判断函数奇偶性的步骤:,练习2.判断下列函数的奇偶性,(2)f(x)=-x2+1,f(x)为奇函数,f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1,f(x)为偶函数,解：定义域为x|x0,解：定义域为R,即 f(-x)=-f(x),即 f(-x)=f(x),(3).f(x)=5(4)f(x)=0,解:(3)f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数,解:(4)定义域为R f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=
5、-f(x)=0f(x)为既奇又偶函数,说明:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。,(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2 x-1,3,解:(5)f(-x)=-x+1-f(x)=-x-1 f(-x)f(x)且f(-x)f(x)f(x)为非奇非偶函数,解:（6）定义域不关于原点 对 称 f(x)为非奇非偶函数,奇函数 说明：根据奇偶性,偶函数 函数可划分为四类:既奇又偶函数 非奇非偶函数,偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.,奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.,o,
6、y,x,例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,例2.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.,y,x,y,x,y,x,用定义法判断函数奇偶性解题步骤:,(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;,(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.,(3)作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。,2.奇偶函数图象的性质:,奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.,偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.,注：奇、偶函数图象的性质可用于：.简化函数图象的画法。.判断函数的奇偶性。,课堂小结,1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。2图象性质:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3判断奇偶性方法：图象法，定义法。4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,奇偶函数定义,图像性质,定义域对称,图像法、定义法,作业：课本 P39 A T6 B T3,
